TRENTE-SEPTIÈME LEÇON

Théorèmes de Taylor et de Maclaurin. 'Extension de ces Théorèmes aux Fonctions de plusieurs variables .

O N appelle série une suite indéfinie de termes (i) u 0 , u, , u x . . . . u n , &c.. . .

qui dérivent les uns des autres suivant une loi connue. Soit

la somme des ti premiers termes, n désignant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s n s’approche indéfiniment d’une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite s représentée par fa notation

ffo + a,+^ + « 3 + &c.

s’appellera la somme de la série. Si au contraire, tandis que n croît indéfiniment, la somme s n ne s’approche d’aucune limite fixe, la série sera divergente, et n’aura plus de somme. Dans l’un et l’autre cas, le terme correspondant à l’indice n, savoir, u n , se nomme le terme général. De plus, si dans la première hypothèse on fait s=s„-+-r fl , r n sera ce qu’on nomme le reste de la série, à partir du ti. me terme.

Ces définitions étant admises , il résulte évidemment des formules

(2) et (3) de la 36* leçon que les séries

seront convergentes, et auront pour sommes respectives les deux fonctions F[x), f(x-+-h) t toutes les fois que les deux intégrales

convergeront, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro. On trouvera, en conséquence,

(6) F(x) = F(o)+-f F'(o) + ^ F*{<>)-*- £*f^(o)H- &c., si l’expression (4) s’évanouit par des valeurs infinies de n, et

(7) A *+*) =/(*)-+--7- /»■+■ rr/"W- 1- 775/"(*) &c - >

si l’expression (5) satisfait à la même condition. Les formules (6) et (7) renferment les théorèmes de Aîaclaurin et de Taylor. Elles servent quand les intégrales (4) et (5) remplissent les conditions prescrites, à développer les deux fonctions F[x) et f[x-\-h ) en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières des quantités x et h. Les restes de ces séries sont précisément les deux intégrales dont nous venons de parler.

Supposons maintenant que l’on désigne par uz=i f (x* y, £ • • •) une fonction de plusieurs variables indépendantes, et qu’aux équations (2) et (3) de la leçon précédente on substitue l’équation ( 14)• O* 1 conclura de cette dernière

( 8 ) f{x-\-<Ldx,y-\-o.dy i -^-\-a.d-7 t , ...) = u - du -+■ d'u - — d'u -+* Scc.. .

toutes les fois que le terme 7-77—- F (n) {§d) t ou plutôt l’intégrale* que ce terme représente, et que l’on peut écrire sous la forme (j>) pwfa dy

s’évanouira pour des valeurs infinies de n. O11 trouvera par suite , en posant cl =: 1 ,

(i°) f{x-'rix;y±ij.z+dz ,..• •}=«-*-7^ &c ** * * pourvu que l’intégrale

vérifie la condition énoncée. Quand les variables indépendantes x,y, £..L

COURS D’ANAt/ïsSE. <i?

se réduisent à la seule variable x, k i équation (io) devient , y du d 2 u ' d*u . « .

Celle-ci coïncide avec'i’ëquation (7), c’est-à-dire, àVdc k formule de Taylor. En y remplaçant .v par zéro, et dû- par -x, on letrouverait le théorème de Maclauriii. Ajoutons que Equation. ( Là), et celle qu’on en déduit lorsqu’on y remplace x,y , £. .. par zéro, puis dx, dy, dç. .. par x, y, i ... fournissent le moyen d’étendre les théorèmes de Taylor et de Maclaurïn aux fonctions de plusieurs variables. Remarquons enfin que les équations (6) / (8) , (i o), fr 2)' coïriciJent avec ies équation* (fl, (6), (7), (8) de la ip. c leçon, dans le cas ioïï F[x) et/(fl représentent des fonctions entières du degré V. . - 1

Comme, en vertu de la formule (19) [22/ leçon], i’integrale ( 4 ) ést équivalente à un produit de la forme

6 désignant un nombre inférieur à l’unité; il est clair que des valeurs infinies de « feront évanouir cette intégrale, si elles réduisent à zéro la fonction

M Tæ&ry

pour toutes les valeurs.de g renfermées entre les limites ç> et r ^ Cette dernière condition sera évidemment remplie, si la yafeur. numérique de l’expression supposée réelle, qu le module de la même expres¬

sion supposée imaginaire, ne croît pas indéfiniment, pendant que a augmente. En effet, puisque la quantité m\n —-7-4 c roît

avec le nombre m entre les limites m.= 1 , m—\, et que l’on a par suite

on peut affirmer que la valeur numérique ou le module de l’expression (i 4 ) restera toujours inférieur à la valeur numérique ou au module du produit

L4° COURS d’analyse.

Or, ce produit deviendra nul, dans l’hypothèse admise, pour «moor Exemples. Si ion prend pour valeurs successives de la fonction F(x) P*., sinx, » cos x,

on trouvera pour les valeurs correspondantes de -.Ff^Jdx)

«n'jÿ+O*), cos^-i-dx).

Comme ces dernières quantités restent finies, quel que soit x, tandis que « augmente, on doit en conclure que le théorème de Aîaclaurin est toujours applicable aux tr^is fonctions proposées. On aura, en conséquence, pour des valeurs quelconques de x, et pour des valeurs positives de A ,

( I 7) ——sin ^-h&c. = 1 —- —< 3 cc.

(l 8 ) cosx = ços(o)-i--cps^-J-h— ços^— -L- cos^^^-i-&c. — 1—-—1-—- — &c.

Lorsque la fonction F (n) (Qx) devient infinie pour des valeurs infinies de //, l’expression (14) peut encore converger vers la limite zéro. C’est ce qui arrivera, par exemple, si l’on prend F(r) = /(i+r), et si en même temps on attribue à .y une valeur numérique plus petite que l’unité. En effet, on trouvera dans ce cas, en supposant 1= ôx, 0 < 1, x"~ < 1 ,

et, comme la fraction - 1H 9x sera évidemment inférieure à limité, il est

clair que fexpression (19) s’évanouira, pour n = o o. On trouvera, en conséquence, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites —-1

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