TRENTE-HUITIÈME LEÇON
Règles sur la Convergence des Séries. Application de ces Règles à la Série de Maclaurin.
Les équations (6) et (7) [37.° leç.] ne pouvant subsister que dans le cas où les séries (2) et (3) sont convergentes, il importe de fixer ies conditions de la convergence des séries. Tel est l’objet dont nous allons nous occuper.
L’une des séries les plus simples est la progression géométrique (1) a, ax a , ax 3 , &c.. . .
qui a pour terme général ax n . Or, la somme de ses n premiers termes, savoir,
convergera évidemment, pour des valeurs croissantes de //, vers la limite fixe ~r x * si la valeur numérique de la variable x supposée réelle , ou je module de la même variable supposée imaginaire est un nombre inférieur à l’unité; tandis que, dans le cas contraire, cette somme cessera de converger vers une semblable limite. La série (1) sera donc toujours convergente dans le premier cas, et toujours divergente dans le second. Cette conclusion subsiste, lors même que le facteur a devient imaginaire. Considérons maintenant la série
composée de termes quelconques réels ou imaginaires. Pour décider si elle est convergente ou divergente, on n’aura nullement besoin d’examiner ses premiers termes, que l’on pourra même supprimer de manière à remplacer cette série par la suivante
(3) Um» Um+i * n m+z , &c.. . . ,
ni désignant un nombre aussi grand que l’on voudra. Soit d’ailleurs f„ la valeur numérique ou le module du terme général u v ; il est clair que la série (3) sera convergente, si les modules de ses différens termes, savoir,
( 4 ) fmf fm +1 » fm+zt &C.. .
Leçons de A J. Cauchy.
OO
150 COURS d’analyse.
forment à leur tour une série convergente, et qu’elle deviendra divergente, si f n ne décroît pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de //. Cela posé, on établira facilement les deux théorèmes qui suivent.
1 . cr Théorème. Cherchera limite ou les limites vers lesquelles converge, tandis
que n croît indéfiniment, l’expression (f n ) " ; et soit A la plus grande de ces limites . La série (2) sera convergente, si l’on a A< 1 ; divergente, si l on a À> 1.
Démonstration . Supposons d’abord A< 1 ; et choisissons arbitrairement entre les deux nombres 1 et A un troisième nombre p>, en sorte qu on ait A<^< 1. n venant à croître au-delà de toute limite assignable, les
plus grandes valeurs de (/«)" ne pourront s’approcher indéfiniment de la limite A, sans finir par être constamment inférieures à pc. Par suite, il sera possible d’attribuer au nombre entier m une valeur assez considérable pour que, n devenant égal ou supérieur à m, 011 ait constamment
(/«)"</*» fn < p* n . Alors les termes de la série ( 4 ) seront des nombres inférieurs aux termes correspondans de la progression géométrique
et, comme cette dernière sera convergente [à cause de /*.< 1], on devra en dire autant de la série (4), et par conséquent de la série (2).
Supposons en second lieu A> 1 , et plaçons encore entre les deux nombres I et A un troisième nombre pc, en sorte qu’011 ait A>/*>i. Si n vient à croître au-delà de toute limite, les plus grandes valeurs de
( fn) " > en s’approchant indéfiniment de A, finiront par surpasser fu On
pourra donc satisfaire à la condition [f„Y>pc ou f n >f* n > 1 » P ac des valeurs de n aussi considérables que l’on voudra ; et par suite, on trouvera dans la série (4) un nombre indéfini de termes supérieurs à l’unité, ce qui suffira pour constater la divergence des séries (2), (3) et (4).
2. c Théorème. Si , pour des valeurs croissantes de n, le rapport ~~~ converge vers une limite fixe A, la série (2) sera convergente toutes les fois que T on aura A < 1 , et divergente toutes les fois que l’on aura A > 1 •
Démonstration. Choisissez arbitrairement un nombre e inferieur a la différence qui existe entre 1 et A. 11 sera possible d’attribuer à m une
valeur assez considérable pour que , n devenant égal ou supérieur à m, ie rapport ——demeuré toujours compris entre les deux limites A — e ,
À-+-g. Alors les différens termes de la série ( 4 ) se trouveront compris entre les termes correspondais des deux progressions géométriques
fm>
f ,n, / w (A-+-g) r /wz(A-t-g) , f m ( A-+- Ê ) 3 , &C. . . .
lesquelles seront toutes deux convergentes, si Ion a A< i , et toutes deux divergentes, si l’on a A> i. Donc, &c.. . .
Scholie. II serait facile de prouver que la limite du rapport ?
dans le cas où cette limite existe,, est en même temps celle de l’expression [ Voyei XAnalyse algébrique, çhap. VJ. ]
En appliquant les théorèmes (i) et. (2) à la série de Maclaurin, savoir»
on obtient la proposition suivante.
3/ Théorème. Soient f„ la valeur numêri que ou le module de Y expression F (n) {o)>et A la limite vers laquelle Convergent, tandis que n croît indéfiniment ,
les plus grandes valeurs de ( f„) J r ou tien encore la limite unique [ si cette limite existe ] du rapport-— 2 -' La série (6) sera convergente toutes les fois que la valeur numérique ou le module de la variable x sera inférieur à \ „ .df divergente toutes les fois que la valeur numérique ou le module de x surpassera f Exemples * Si Ion prend pour valeurs successives de F(x) e* t si.n.v,•. cos*, l(i-hx), (iA-xj^, pi étant une quantité constante, les valeurs correspondantes de ;, seront;
