PREMIÈRE LEÇON

Des Variables, de leurs Limites , et des Qitantités infiniment petites.

On nomme quantité variable celle que Ion considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres; On appelle au contraire quantité constante toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s approchent indéfiniment d une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra , cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones réguliers inscrits, tandis que le nombre de leurs cotés croît de plus en plus ; et le rayon vecteur, mené du centre d’une hyperbole à un point de la courbe qui s’éloigne de plus en plus de ce centie, forme avec l’axe des x un angle qui a pour limite l’angle formé par 1 asymptote

avec le même axe; &c.Nous indiquerons la limite vers laquelle

converge une variable donnée par l’abréviation Uni. placée devant cette variable.

Souvent les limites vers lesquelles convergent des expressions va-

Leçom de Al. Cauchy. A

COURS d’analyse.

riables se présentent sous une forme indéterminée , et néanmoins on peut encore fixer , à l’aide de méthodes particulières , les véritables valeurs de ces mêmes limites. Ainsi, par exemple, les limites dont s’approchent indéfiniment les deux expressions variables

sin et , \ Z

-> I H- OU) y

ot N '

tandis que cl converge vers zéro , se présentent sous les formes indéterminées -, i—°° ; et pourtant ces deux limites ont des valeurs fixes que l’on peut calculer comme il suit.

On a évidemment, pour de très-petites valeurs numériques de cl ,

sin a sin a. sin a.

Sin ex. et tang et

. . sin a

Par conséquent le rapport —-—> toujours compris entre les deux

. , sin et sin a T . ..

quantités — r , et —— = cos cl , dont la première sert de

limite à la seconde, aura lui-même l’unité pour limite.

Cherchons maintenant la limite vers laquelle converge l’expression

( i —H cc)“ ? tandis que cl s’approche indéfiniment de zéro. Si l’on suppose d’abord la quantité cl positive et de la forme m désignant

un nombre entier variable et susceptible d’un accroissement indéfini, on aura

i H— CL

Comme, dans le second membre de cette dernière formule, les termes qui renferment la quantité m sont tous positifs, et croissent en valeurs et en nombre en même temps que cette quantité, il est clair que l’ex-

COURS d'analyse.

pression 11 H—j" croîtra elle-même avec le nombre entier m, en demeurant toujours comprise entre les deux sommes

et = —3 ;

donc elle s’approchera indéfiniment, pour des valeurs croissantes de m, d’une certaine limite comprise entre 2 et 3. Cette limite est un nombre qui joue un grand rôle dans le calcul infinitésimal, et qu’on est convenu de désigner par la lettre e. Si i’011 prend m = 10000, on trouvera pour valeur approchée de e, en faisant usage des tables de logarithmes décimaux ,

Cette valeur approchée est exacte à un dix-miliieme prèsainsi que nous le verrons plus tard.

Supposons maintenant que et , toujours positif, ne soit plus de la forme Désignons dans cette hypothèse par m et // = m -+- 1 , les deux nombres entiers immédiatement inférieur et supérieur à — y en sorte qu’on ait

,fx et v étant des nombres compris entre zéro et 1 unité, L expression

( 1 -+- et)" sera évidemment renfermée entre les deux suivantes

et, comme } pour des valeurs-de et décroissantes à l’infini ou, ce qui revient au même, pour des valeurs toujours croissantes de m et de //,

4 COURS d’analyse.

les deux quantités convergent l’une et l’au-

vers la limite e, tandis que i-t- i- - , s’approchent indéfiniment

de la limite i , il en résulte qùe chacune des expressions

et par suite l’expression intermédiaire ( i convergeront encore

vers la limite e.

Supposons enfin que et devienne une quantité négative. Si Ton fait dans cette hypothèse

I —f- et ~~z: ■

fi sera une quantité positive, qui convergera elle-même vers zéro , et Ton trouvera

puis , en passant aux limites,

tint ( i H— et ) ‘ e = e .

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable décroissent indéfiniment de manière à s’abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite. Telle est la variable et dans les calculs qui précèdent.

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable croissent de plus en plus, de manière à s’élever au-dessus de tout nombre donné, on dit que cette variable a pour limite l’infini positif indiqué par le signe oo, s’il s’agit d’une variable positive ; et l’infini négatif indiqué par la notation —oo, s’il s’agit d’une variable négative. Tel est le nombre variable m que nous avons employé ci-dessus.

cours d’analyse.