SECONDE LEÇON

Des Fonctions continues et discontinues. Représentation géométrique des Fonctions continues.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles, que, la valeur de lune d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles , qui prend alors le nom de variable indépendante ; et les autres quantités, exprimées au moyen de la variable indépendante, sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles, que, les valeurs de quelques-unes étant données, on puisse en conclure celles de toutes les autres , on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes; et les quantités restantes, exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables. Les diverses expressions que fournissent l’algèbre et la trigonométrie, lorsqu’elles renferment des variables considérées comme indépendantes, sont autant de fonctions de ces variables. Ainsi, par exemple ,

L ( x ) , sin .v, &c.. . .

sont des fonctions de la variable x ;

x H-/, xyz> .

des fonctions des variables x et y, ou x, y et &c.. . .;

Lorsque des fonctions d’une ou plusieurs variables se trouvent, comme dans les exemples précédens, immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables, elles sont nommées fonctions explicites. Mais lorsqu’on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c’est-à-dire, les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire,

6 COURS d’analyse.

tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement, les folietions, n’étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables, sont appelées fonctions implicites . Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équations qui les déterminent. Par exemple, y étant une fonction implicite de v déterminée par l’équation

si l’on nomme A la base du système de logarithmes que l’on considère, la même fonction, devenue explicite par la résolution de l’équation donnée, sera

Lorsqu’on veut désigner une fonction explicite d’une seule variable x, ou de plusieurs variables x, y, £ ... , sans déterminer la nature de cette fonction , on emploie l’une des notations

Souvent, dans le calcul, on se sert de la caractéristique A pour indiquer les accroissemens simultanés de deux variables qui dépendent l’une de l’autre. Cela posé, si la variable^ est exprimée en fonction de la variable x par l’équation

A y, ou l’accroissement de y correspondant à l’accroissement Av de la variable v, sera déterminé par la formule

(2) y-+-Ay =f{x-+-Ax).

Plus généralement., si l’on suppose

on aura

( 4 ) F {x -f- Av, y~\~ Ay) — o.

Il ! est bon d’observer que des équations (1) et (2) réunies on conclut

( 5 ) Ay—f(x-+-Ax)—f{. r).

Soient maintenant h et i deux quantités distinctes, la première finie, la seconde infiniment petite, et oc = le rapport infiniment petit de

ces deux quantités. Si Ton attribue à Ax la valeur finie h, ia valeur de Ay, donnée par réquation (5), deviendra ce qu’on appelle la différence finie de la fonction f[x ), et sera ordinairement une quantité finie. Si au contraire l’on attribue à A x une valeur infiniment petite, si l’on fait par exemple

A x = i au h , la valeur de A y , savoir ,

/(*-+-*) — /(*) 011 /(*-HctA) — /(*),

sera ordinairement une quantité infiniment petite. C’est ce que l’on vérifiera aisément à l’égard des fonctions

A x , sin x , cos x,

auxquelles correspondent les différences

A*+‘ i — A*z={A i -i)A', sin (x -+- i ) — sin x =: 2 sin — cos -H cos (x—i) — cosx — 2 sin sin ^x-f--^ >

dont chacune renferme un facteur A 1 —1, ou sin-^-, qui converge indéfiniment avec i vers la limite zéro.

Lorsque, la fonction /(x) admettant une valeur unique et finie pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données, la différence

est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite , on dit que/(x) est fonction continue de la variable x entre les limites dont il s’agit.

8 COURS d’analyse.

On dit encore que la fonction f(x) est, dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable a-, fonction continue de cette variable , toutes les fois quelle est continue entre deux limites, meme très-rapprochées , qui renferment la valeur en question.

Enfin , lorsqu’une fonction cesse d’être continue dans le voisinage d’une valeur particulière de la variable x, on dit qu’elle devient alors discontinue, et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité'.

Ainsi, par exemple, il y a solution de continuité dans la fonction-^

pour x = o ; dans la fonction tang a - , pour x = dt ( 2k ~^ 1 ) ?

k étant un nombre entier quelconque ; &c.

D’après ces explications, il sera facile de reconnaître entre quelles limites une fonction donnée de la variable a- est continue, par rapport à cette variable. ( Voye% , pour de plus amples développemens, le chapitre II de la i. rc partie du Cours d’analyse, publié en 1821.)

Concevons à présent que l’on construise la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires y :=/*( x). Si la fonction f(x) est continue entre les limites x x 0 , x = X, à chaque abscisse x comprise entre ces limites correspondra une seule ordonnée; et de plus, avenant à croître d’une quantité infiniment petite A a , y croîtra d’une quantité infiniment petite A y. Par suite, à deux abcisses très-rapprochées x , at-+-Ax, correspondront deux points très-rapprochés l’un de l’autre, puisque leur distance ]/a at s -+- &y* sera elle-même une quantité infiniment petite. Ces conditions ne peuvent être satisfaites qu’autant que les différens points forment une ligne continue entre les limites a zz: x o, x zz: X.

Exemples. Construire les courbes représentées par les équations y — x m , y = Z-, y — A\ y = L ( x ), y = sin*,

dans lesquelles A désigne une constante positive, et m un nombre entier. Déterminer les formes générales de ces mêmes courbes.

COURS d’analyse.