TROISIÈME LEÇON

Dérivées des Fonctions d une seule Vctiuiblc.

Lorsque la fonction ?=/(*) reste continue entre deux limites données de la variable x, et que l’on assigne à cette variable une valeur comprise entre les deux limites dont il s'agit, un accroissement infiniment petit, attribué à la variable, produit un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Par conséquent, si l’on pose alors A*=», ies deux termes du rapport aux différences

seront des quantités infiniment petites. Mais, tandis que ces deux termes s’approcheront indéfiniment et simultanément de la limite zéro, le rapport lui-même pourra converger vers une autre limite, soit positive, soit négative. Cette limite , lorsqu’elle existe , a une valeur déterminée , pour chaque valeur particulière de x ; mais elle varie avec x. Ainsi , par exemple, si l’on prend f{x) = x m , m désignant un nombre entier, k rapport entre les différences infiniment petites sera

k-,--)’'-»" mx «- .+. *—• * -t-

et il aura pour limite la quantité nuf 1 , c’est-à-dire, une nouvelle fonction

de la variable x. Il en sera de même en général ; seulement, la forme de

.... „ /(*-*-')—/(») la fonction nouvelle qui servira de limite au rappor .

dépendra de la forme de la fonction proposée y —f{x). Pour indiquer cette dépendance , on donne à la nouvelle fonction le nom de fonction dérivée, et on la désigne, à l’aide d’un accent, par la notation / ou /'(*).

Dans la recherche des dérivées des fonctions d’une seule variable x, U est utile de distinguer les fonctions que l’on nomme simples , et que

Leçons de M. Cauchy, B

COURS d’analyse.

ion considère comme résultant d’une seule opération effectuée sur cette variable, d’avec les fonctions que l’on construit à l’aide de plusieurs opérations et que l’on nomme composées. Les fonctions simples que produisent les opérations de l’algèbre et de la trigonométrie '[voyez I* rc partie du Cours d'analyse, ch. I. cr ] peuvent être réduites aux suivantes

a x, a — v, ax, x a , A x , L(x) ,

sin v, cos x, arc sin x , arc cos * ,

A désignant un nombre constant, a = z±z A une quantité constante; et la lettre L indiquant un logarithme pris dans le système dont la base est A. Si l’on prend une de ces fonctions simples pour y, il sera facile en général d’obtenir la fonction dérivée y. On trouvera, par exemple ,

pour y = a-k-x,-y^-=± --- = I , / — i;

pour y z= a x,

pour y — — :

A jy

i xfx-4—n

a , y zi a ;

pour y — sin * , -AL — JÜLjl. cos ( * i),y — cos x = sin [x -+- ?).

pour y — cos x , —-77-^-sin (*“+—sin a* rzz cos [x -h 0.

De plus, en posant? = et XjA'—i-t- fi et (i-{-ct) Æ :=rH-*y, on trouvera pour y — L (x ), ± 2 L— .£0 ±f Qf, ;/ ___ L[e) .

pour y — A

pour y — y a 7 — L. —

Dans ces dernières formules, la lettre e désigne le nombre 2,718 ...

qui sert de limite à l’expression Si l’on prend ce nombre

pour base d’un système de logarithmes, on obtiendra les logarithmes Népériens ou hyperboliques, que nous indiquerons toujours à l’aide de la lettre /. Cela posé, on aura évidemment l [e) 1,

Le le l ■

*-* e — LA — IA IA

et Je plus on trouvera

pour y — l(x) y y = — »

pour y = e* , y = e*.

Les diverses formules qui précèdent étant établies seulement pour les valeurs de .v auxquelles correspondent des valeurs réelles de y t on doit supposer x positive, dans celles de ces formules qui se rapportent aux fonctions L(x), /(x), et même à la fonction **, lorsque a désigne une fraction de dénominateur pair, ou un nombre irrationnel.

Soit maintenant z une seconde fonction de x, liée à la première yz=zf[x) par la formule

Z ou F ( fx') sera ce qu’on appelle une fonction de fonction de la variable x; et, si l’on désigne par Ax, A y, A ^ les accroissemens infiniment petits et simultanés des trois variables x, y, z> on trouvera

A 7 F(y-*-Ay)— F(y) ___ y)-F(y) A y ?

— Tx " ~~ A *

puis, en passant aux limites,

(3) z’ = y.F'(y) = f {x). F\fx).

Par exemple, si l’on fait z = ay, et y = /(*), on aura z=ay'=

A l’aide de la formule (3), on déterminera facilement les dérivées des fonctions simples A x ,x a , arc sin x, arc cos x, en supposant connues

I 2 COURS d’analyse.

celles îles fonctions L (x), sin .v, cos x. On trouvera en effet

pour y = A x , L{y)=x, y y == A x 1 {A)

pour y = x a , l{y) — al{x),y^-=~,y=a^ — ax a -'\

pour yzm arc sin x, sin/ = x , y cos y = i , y’ — -i— — 1 - ;

pour y — arc cos x, cos y—y'x—sin y — i , y'— H-l.— - I - - 1 - ..

' ' ' 9 s sin^y

De plus, les dérivées des fonctions composées

étant respectivement, en vertu de la formule (3) ,

y An {À), y e?, -21,

les dérivées des suivantes

A , e , séc ; descendront

-, cosec a' :

v ' v ' cos* X > sin x

Nous remarquerons,en finissant, que les dérivées des fonctions com posées se déterminent quelquefois aussi facilement que celles des fonc lions simples. Ainsi, par exemple, on trouve

Kcos(*-*-/), ? cos 1

pour/—tang*— cosje > A x — 7 ( CDS “<os*)“ icosxcp^-t-/), y ~7ÔF.

cos x A y 1 fcostx-hî) cos x\ sin/ . j

poury=cotx =-—j —- = t —^- - x —:— =~-———-» y—- 7

1 / sin x Ax z\sin(x-t-/) sin x/ Jfiinxsin(x-w) ' sm

et l’on en conclut

pour y=aretang.x", tang^=.v , i, /= cos'y^x-^-, i

pour y ni arc cor. x, cot y —- x

COURS d’analyse. '