QUATRIÈME LEÇON

Différentielles des Fonctions d’une seule variable.

So.ENT toujours ,=/(*) »ne fonction de la variable .«dépendante -v,

/ une quantité infiniment petite, et h une quantité finie. Si Ion pose i = a.h, a sera encore une quantité infiniment petite , et Ion aura identiquement

-• Th •

d’où i’on conclura

La limite vers laquelle convergé le premier membre de l’équation (.) tandis que la variable ce s’approche indéfiniment de zéro, la quantité h demeurant constante, est ce qu’on appelle la différentielle de la fonction y—f{x). On indique cette différentielle par la caractéristique d. ainsi qu’il suit :

dy ou <//(*)•

Il est facile d’obtenir sa valeur, lorsqu’on connaît celle de la fonction dérivée y ou /'(*). En effet, en prenant les limites des deux membres de l’équation (i), on trouvera généralement (a) df(x) = hf (*).

Dans le cas particulier où f{x)=zx, l’équation (2) se réduit a

Ainsi la différentielle de la variable indépendante x nest autre chose que la constante finie /;. Cela posé , l’équation (2) deviendra

(4) df[x) —f{x).dx,

Leçons de M. Cauchy.

•i4 COURS d’analyse.

ou, ce qui revient au même ,

( 5 ) , dy = y dx.

Il résulte de ces dernières que la dérivée y = f (x) d’une fonction quel-

dy

conque y = f(x) est précisément égale à —j —, c’est-à-dire , au rapport

entre la différentielle de la fonction et celie de la variable, ou, si l’on veut, au coefficient par iequel il faut multiplier la seconde différentielle pour obtenir la première. C’est pour cette raison qu’on donne quelquefois à la fonction dérivée le nom de coefficient différentiel.

Différencier une fonction , c’est trouver sa différentielle. L’opération par laquelle on différencie s’appelle différenciation.

En vertu de la formule ( 4 )» on obtiendra immédiatement les différentielles des fonctions dont on aura calculé les dérivées. Si l’on applique d’abord cette formule aux fonctions simples, on trouvera

d(a-\-x) = dx, d[a—x)-=z—dx i d[ax)=ad x, d(~^j = — d[x a ) =: ax a ~ l dx ; d.A* — A x l{A).dx , d.e* = e*dx;

d.L{ X )—L{e)^-, d.!(x)=^-i d, sin*=cosA-</*=sin [x-^-^jdx, d .cos x——du\ x d x = cos {x-\-^dx ;

d. arc sin x — > </.arccos.v:

O11 établira de même les équations

J j. d x , dx

tf.tang.viii: -, d. cot x zzz — -7-7- ;

0 cos*x sin x

tf. arc tang x -- > tf .arc cot x= -,

d. séc x z=z

[-t-x* sin x dx

d. coséc

cos x dx

Ces diverses équations , ainsi que celles auxquelles nous sommes parvenus dans la leçon précédente, ne doivent être considérées jusqu’à présent comme démontrées que pour les valeurs de x auxquelles corres-

cours d’analyse. I 5

pondent des valeurs réelles des fonctions dont on cherche les dérivées.

En conséquence, parmi les fonctions simples, celles dont les différentielles peuvent être censées connues pour des valeurs réelles quelconques de la variable x, sont les suivantes ,

a-\-x, a—x, ax, — , A*, e x , sin x, cos x ,

et la fonction x* , lorsque la valeur numérique de a se,réduit à un nombre entier ou à une fraction de dénominateur impair. Mais on doit supposer la variable x renfermée entre les deux limites i, —I— i, dans les différentielles trouvées des fonctions simples arc sin x, arc cos x, et entre les limites o , oo, dans les différentielles des fonctions L (v), /(x), et même dans celle de la fonction x a , toutes les fois que la valeur numérique de a devient une fraction de dénominateur pair ou un nombre irrationnel.

II est encore essentiel dobserver que, conformément aux conventions établies dans la i. re partie du Cours d’analyse, nous faisons usage de l’une des notations

arc sin x, arc cos x, arc tang x, arc cot x, arc sec x, arc cosec x,

pour représenter, non pas un quelconque des arcs dont une certaine ligne trigonométrique est égale à x, mais celui d’entre eux qui a la plus petite valeur numérique, ou , si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires, celui qui a la plus petite valeur positive; en conséquence, arc sin x, arc tang x, arc cot x, arc cosec x, sont des arcs compris entre les limites-et arc cos x, arc secx, des arcs

compris entre les limites o et vr.

Lorsqu’on suppose yz=zf[x) et A.vz= / = a h , l’équation (i), dont le second membre a pour limite d /, peut être présentée sous la forme

fi désignant une quantité infiniment petite; et ion en conclut [6) b.y — a,[dy+fi).

16 COURS d’analyse.

Soit z une seconde fonction de la variable a-. On aura de même Az = d ,

y désignant encore une quantité infiniment petite. On trouvera par suite A Z

A y dy + f )

puis, en passant aux limites,

(7) Um-^- = ±L'—X±L — 3 L.

A y dy y‘ dx y'

Ainsi, le rapport entre les différences infiniment petites de deux fonctions de la variable x a pour limite le rapport de leurs différentielles ou de leurs dérivées • Supposons maintenant les fonctions y et z bées par l’équation

On en conclura

Ay A y 9

puis, en passant aux limites, et ayant égard à la formule (7), -7f=jr = F'b),

( 9 ) d Z= F'(y) dy. z’=y'F'(y).

La seconde des équations (p) coïncide avec l’équation (3) de ia leçon précédente. De plus, si l’on écrit dans la première F(y) au lieu de z, on obtiendra la suivante

(10) dF{y)z=. F' (y) dy,

qui est semblable pour 1a forme à 1 équation (4), et qui sert à différencier une fonction de y, lors même que y n’est pas la variable indépendante. Exemples. d[a-\-y)—dy, d (—y) ~—dy, d [a y)=ady, de y z=z e y dy, Jl(y)= d -f, d.I(y‘)=lin- = *£L, d.±l(S)= JLL, &c...

d .ax m =a d [x m ) = rnax m ~' d x, de' ”—e ’’ d[e’) = e'’ e’ d x,

d./sin x = d -^l

cosx d x d x . .

sin x tang x ’ * tan & x s in * cos x

La première de ces formules prouve que l’addition d’une constante à une fonction n en altère pas la différentielle , ni par conséquent la dérivée .

COURS d’analyse.