CHAPITRE VI. Propriétés diverses des fonctions
I. Rëdaell«M de toutes les renetl^Bs au toBcitoa» •ioiplea. 741. Fonction simple^ fonction de fonction, fonction composée. On appelle fonction simple^ celles au moyen desquelles on peut exprimer toutes les autres; p. ex., en analyse élémentaire : a d= x,
ctx^*, 1/ Xy C, Ix, sin X, arc sin x; fonction de fonction^ une fonction d'une fonction ; p. ex., cos x = sin (^ tt — x) = sin u, m = i tt — x; Log X »s Mlx =s Ml/, ai «- Ix; sin 1 arc sin e* = sin «, m =: Iv, = arc sin «7, w = e* ; fonction composée^ une fonction de plusieurs fonctions, p. ex., une somme, une différence, un produit, un quotient ou une puissance d'autres fonctions. Ainsi a + 6x + ex* «» a -f- 6x -4- cx.x est une fonction de a, bx, ex, x; m' «s e^«*, Log, v= iv : lu sont dés fonc-
tions des fonctions u, v. On ramène l'étude des fonctions der fonction et des fonctions composées & celle des fonctions simples, ou bien Ton étudie directement ces sortes de fonctions, quand on le peut facilement, comine cela arrive pour les fonctions circulaires auires que sin x, arc sin x.
77. Notations. Pour indiquer que y est fonction de x, on emploie les noiolions y = f(x), F(x), <p{x) ou d'analogues, ou même y ess fxy ^* = /' quand on le peut sans inconvénient. Si u^=»f(z)^ ti et z sont liés par la même relation que y et x dans y s= f(x). Si z est une fonction de X et 1/, on écrit z = /*(x, y), F(x, y);etc. La relation /"(af, y) = 0, exprime que y cl x sont fonctions implicites l'un de Tautre; F(x, y, x) -» 0, que X est fonction implicite de y, z, ou y de z, x, ou z-de x, y. Si y = Fw, u«=icpx, ou y=iFti, M=/b, v = <(^x, y est fonction de fonction de x. Si y = F (m, t»), m = cpx, t? = i|*x, ou y ss F (u, v, ir) u = (pa:, V =3 v{;x, u; = yxy y est fonction composée de x.
If. ClassMcatlon» de» fouctloo» élémentaires. 7S. Fonclions patres, impaires^ ni paires^ ni impaires. Si F ( — x) = Fx, F est une fonction pâtre. Ex. o + Jx* -|- ex*, cos x, Ch x. Si F (— x) ■= — Fx, F est une fonction impaire. Ex. ox -+- 6x', sin x, Sh x, tang x, Th x. Certaines fonctions, e', a -f- 6x + ex* ^^ ^ont ni paires, ni impaires. Toute fonction Fx est la somme d'une fonction paire ^ [Fx -|- F ( — x)] et d'une impaire ^Fx — F( — x)]. Géométriquement, les fonctions paires sont représentées par une courbe qui h Taxe des y pour axe de symétrie, les fonctions impaires par une courbe qui a l'origine pour centre.
79. Fondions directes et inverses. Si, de y^^Fx, ou tire x»/y, F et /* sont des fondions inverses Tune de l'autre ; celles des deux dont les propriétés sont les plus simples s'appelle fonction directe, l'autre fonction inverse. Ex. : Fonctions directes : y = x*, m entier ; y = o', e»;
fj =s cos X, sin X, tang x; y = Gh x, Sh x, Th x. Fonctions inverses: V/y» ï^oga y, ly; Arc cos y. Arc sin y. Arc tang y, Sect Ch y = 1 (y d= j/y* — I) = ± 1 (y + j/y«— i), Sect Sh y = 1 (y + ^^y» + 1), Sect Th y
= 1 |/l 4- y) : (1 — y). Pour x réel, les fonctions directes énumérées plus haut sont réelles; pour x Gni, elles sont finies, sauf si elles ont un dénominateur, comme les fractions rationnelles et tangx. Les fonctions inverses, au contraire, deviennent imaginaires et infinies pour des valeurs réelles et finies de la variable.
ftO. Fonctions périodiques ou non périodiques. Si F (x + P) ==» F (x)
pour toute valeur de x, P étaat constant, la fonction est dite périodique^ P est sa p<^riode, et Ton a F (x) = F (x + kP)^ k étant un entier positif ou négatif. Ex.: Cos x, sin x ont pour période Stt; tang x, ?r; sin (Stt ; P)x, P; E (x) — X, l'unité; C, Ch x, Sh x, âm; Th x, tti; e<*»^'*= ^\ P. Les fonctions algébriques et les transcendantes inverses ne sont pas périodiques. Géomé- Iriquemeat, les fonctions périodiques sont représentées par une courbe ondulée où les ordonnées, distantes de la période, sont égales.
Sfl. Fonctions uniformes, multiformes. Si à une valeur de x, correspond une seule valeur dey =» Fx, Fx est une fonction uniforme de x, niu/ft/brm6 dans le cas contraire. Ex.: les fonctions directes sont uniformes, les inverses, multiformes. Ainsi, N étant entier, positif ou négatif,
Arc sin x = Ntt -♦- ( — i)"^ arc sin x, Arc cos x = SNtt ± arc cos x,
Are tang X *= Ntt dz arc tang x,
— f TT < arc sin x ou arc tang x < ^ rr, < arc cos x ou arc tang x < tt.
L'inverse x = /(y) de la fonction périodique y = F (x) = F (x -♦- P) = F (x -*- 2P) = etc., a nécessairement une infinité de valeurs x, x -*- P, X -^ 2P,... correspondant à une seule valeur de y. En analyse élémentaire, on étudie séparément, autant que possible, les diverses valeurs d*une fonction multiforme, p. ex., les diverses valeurs d*iin radical.
