CHAPITRE VII. Continuité des fonctions

I. Déilnttloiis. S9. Accroissement d*une variable indépendante ou d'une fonction. Si Ton considère successivement deux valeurs (x, X), (Fx, FX), |/(x, y), f{Xy Y)], d'une variable indépendante ou dépendante, on appelle accroissement de cette variable la différence entre la 2" et la i'*- On le désigne par la lettre A précédant la première des deux valeurs. Ainsi Ax = X — x, ou X = x + Ax ; AFx = FX — Fx = F(x + Ax)-Fx;A/'(x,y) = /-(X.Y)-./'(x,y) = /(x + Ax,y + Ay)

— /"(x, y) Ex. : A.x' = 2xAx + Ax"; A.xy = yAx + af Ay -}- AxAy. SS. Accroissement partiel d'une fonction de plusieurs variables. On

peut trouver l'accroissement total d'une fonction de plusieurs variables en donnant séparément un accroissement à cbacune des variables :

^f{^y y) = f{^ + A^» y + ^y) — fi^-^ y) = f{^ + Ax, y + Ay) A+(ir,y,«)=A,4(x,y-|-Ay,jc+Ax)-l-A3,'>J^(x,y,«+A«)+A/i(x,y,2),

àx9 A,, A. désignent des accroissements partiels par rapport k x, y ou z.

§4< Continuité des fonctions. Une fonction fx d'une variable x est dite continue pour la valeur x, si, fx étant finie et réelle, A/s=/'(x-t- Ax)— /à: esl réel et a pour limite 0, quand Ax = U. Elle est continue de Xo 1 X, si la môme chose a lieu pour toutes les valeurs de Xo à X. Définition analogue pour une fonction de plusieurs variables. Une fonction d*uoe variable imaginaire z csa x ^ yi (^ ^^^ e' cos y + ie' sin y, p. ex.) est dite continue si la partie réelle (e' cos y) et la partie imaginaire (tV sia y), considérées comme fonctions de x et de y, sont continues.

S6. Exemples. Discontinuité. La fonction \0x est continue pour toute valeur de x» x~*, x"^, aussi, sauf pour x «= 0, qui donne x"* &= oo » et

fait snutcr brusquement x~' de — oo à -h oo .Pour x«»0, (1 + e')"^ saute brusquement de i à 0; j/l — x est continu, si x n*est pas supérieur à i,

l/\ sin* X ne l'est jamais. Une fonction d'une variable réelle, comme on le voit, peut être discontinue de trois manières : en devenant imaginaire, infinie, ou en sautant brusquement d'une valeur à une autre.

II. C«iillnalté des fonelleos élémeotalres. M. TaénaàiE I. Si Um F (X) s=3 F (lim X), Km X :=» x^ Fx est continu pour la valeur x. En effet, posant X «= x -i- Ax, on aura lim F (x + Ax) = Fx, ou lim [F(x-*. Ax)— Fx] = 0.

87. THéORÉMB II. Si lim F(X, Y,Z,...)=»F(limX, lim Y,limZ,...), limX = x, lim Y=y, lim Z = z,..., F(x, y, a,...) est continu pour les valeurs x, y, «,,.. En effet, soient X=3X-t-Ax, Y = y-4-Ay, X = z 4- A«,... On aura : lim F (x -*- Ax, y •*- Ay, «-♦- Az, ...)«» F(x,y,z,...)j ou limAFssO.

ttS, Corollaire. Les fonctions élémentaires d'une variable réelle, satisfaisant aux conditions des théorèmes I, II, tant qu'elles sont finies et réelles, sont continues. Il est de même des fonctions élémentaires d'une variable imaginaire, tant qu'elles sont finies, car la partie réelle et la partie imaginaire satisfont à ces conditions.

S9. Continuité des fonctions de fontion. Soient y = Fn, u «a fv,

V =3 cpx. Si F, /, 9 sont des fonctions continues, de lim Ax ^= 0, on déduit lim At;=>0, puis lim Ak = 0, enfin lim Ay = 0. Donc y est une fonction continue de x.

•O. Continuité des fonctions composées. Soient z =» F (u, v), u » fx,

V 39 ^x. Si z est une fonction continue de u et i?, u et t; de x, z est

fonction continue de x. En effet, on déduit, de liai Ax bss 0, liai Au ^s 0, limAvcsO; puis, limAcsaO, de limAMwiO et liraAv«sO.

•t. Remarque. En résumé, les fonctions de fonction et les fonctions composées ne sont discontinues que si Tune des fonctions composantes est discontinue. L'étude des discontinuités de tou(es les fonctions clénientaires est donc ramenée à celle des fonctions simples.

IlL Propriétés de» fonctions continues. 99. Théorâme I (Gauchy, Analyse algébrique^ note III). l*' cas. Si une fonction «i*unc variable est continue entre deux valeurs /xo, /X, l'une négative, Tautre positive (ou inversement), elle s*annule pour une valeur intermédiaire entre Xo et X. En effet, divisions X — Xo, représenté géométriquement, en n parties égales. Soient Xi, Xt, deux valeurs de x, en deux points consécutifs de subdivision, telles que /xi est négatif, /Xi positif. Divisons de même Xi — Xi en n parties égales et soient x«, X, deux valeurs de x, en deux points consécutifs de subdivision, telles que /x, est négatif, /X, positif; et ainsi de suite, indéfiniment, si Ton ne rencontre jamais de point de subdivision pour lequel fx = 0. Ln suite Xo, Xi, x^,..., x^, croissante a (26), une limite Ç inférieure à X (25); Ç est aussi la limite de la suite décroissante X, Xi, X,,..., Xp, parce que X^ — x^ = (X — Xo) : nf. Ln fonction étant continue, /^ — fxp et fXp — /^ ont pour limite 0, ou /^e» lim/x, = lim /X^; par suite, /^, limite commune de quantités négatives fxp et de quantités positives /Xp, est nulle (25). 2* cas. Soit V compris entre deux valeurs quelconques /xo,/X de la fonction continue fx. La fonction fpx^= fx — V passe de la valeur positive ou négative /jo — V, à la valeur négative ou positive /*X — V; elle s'annule donc pour une valeur Ç de x, intermédiaire entre Xo et X, ou /^ = V. Une fonction d'une variable^ continue entre deux valeurs, passe donc par toutes les valeurs intermédiaires. On peut déduire de là, ou démontrer d'une manière analogue, un théorème semblable pour les fonctions de plusieurs variables. Ex. : pour x= i, x* — 2 égale — i ; pour x = 2 elle égale -+- 2; donc pour une valeur intermédiaire, elle est nulle, ou égale h i,

•3. ThëorésieII. (Thomas, Théorie dercomplexen Functionen, 2'° Auflage, Halle, 1873, p. 7). Si fx est continu de xo à X, on sait que, d'après la définition, on peut trouver, pour chaque valeur Xr, une valeur dzhr de Ax, telle que pour cette valeur hr et pour toutes les valeurs plus petites, on ait, en valeur absolue, f{Xr 4- hr) — fxr < ^, /r étant donné d'avance. Je dis qu'on peut choisir pour h, un valeur unique assez petite /i, la

mAme pour toutes les valeurs de x comprises entre Xo ei X, satisfaisant h la condition A/ <^ k^ ce qu*on exprime en disant qu'une fonction conlinue de Xo d X est continue égalbment entre ces UnUteë. En ciEet, divisions X — xo en n parties égales, puis chaque subdivision en n parties égales, et ainsi de suite indéûniment. Supposons d'abord que nous arrivions à des ilivisions sutlisamment petites d, pour que la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de f (ou Voscillation de f) dans rintervaiie i soit plus petite que \ k; alors â sera la valeur cherchée de A. En effet, soit x = p(î — d', x -h S'" ^p3 ^ 3", deux valeurs de X, différant d'une quantité d'^' = d' -^ i"^ égale a d, ou plus petite. On aura, en valeur absolue : f{pS)^fx < Jil, /(x-*- i'") — /"(p^Xj*; donc f{x -^ i'") — f{x) <^fc. Supposons ensuite, si c'est possible, que les oscillations de fx ne deviennent jamais plus petites que |ft, dans un intervalle Xp — Xp indéfiniment décroissant, Xp et Xp tendant vers une -valeur ^. Pour h^ et A^ suffisamment petits et positifs, on aurait, en valeur absolue, /% — f{x — AJ < j A, f(x -♦- A,) — /5 < j *. puisque la fonction est continue, et il en serait de même pour des valeurs plus petites de A^ , A,. Donc de ^ — A^ à Ç + A,, roscillation maxima serait <^{ky ce qui est contraire à l'hypothèse et en démonire Tabsurditc. 11 résulte du théorème démontré ici que les fonctions élémentaires sont également continues.