CHAPITRE I. Définition et propriétés fondamentales des oérjvées

I. Dérivée. 94. Dérivée. La dérivée d'une fonction Fx, par rapport à la variable x, est la limite du rapport (AFx : Ax) de Taccroissement AFx de la fonction à l'accroisse ment Ax de la variable, quand celui*ci tend indéfiniment vers zéro. On désigne la dérivée par les notations suivantes: Fx (Newton), F'x (Lagrange), DxFx, D,F, DFx ou DF (Gauchy). Ainsi lim (AFx : Ax) = Fx = F'x= DFx. La notation de Newton est tombée en désuétude; celle de Lagrange, employée surtout pour les fonctions désignées d'une manière générale, ne Test pas pour les fonctions élémentaires. Ex. :

i* D(ax -4- h)zmm\\nï [|<ï(x -♦- Ax) -♦- 6 — (ax -4- 6)j : Ax] = Um a »» a.

^ |)(x») = lîm [ K» + Ax)» — x»j : A«] = lim (3x« -4- 5xAx + Aa?«) = 3x«.

X L\x -h Ax x/ J x(x -+- Ax) X*

« ,v / .. l/x-i- Ax — i/jf

— 2j — Ax 2

(x-4-Ax)« ~~x»

^* |/xTAx-»- |/x 2j/x

•S. Interprétation yiométrique. La corde qui passe par les points {Xf y){x H- Ax, y -t- Ay) de la courbe y «= Fx a pour coefficient angulaire (Aj^ : Ax). La limite vers laquelle tend cette corde, quand Ax tend vers 0, ou la tangente en (x, y), a pour coefficient angulaire y' ==> Dy = DFx, Exemples considérés plus haut.

M. Rbmabqubs. I. Dans la courbe y &=: x : (4 -i- e'), la corde qui joint l'origine au point (x, y) a pour coefficient angulaire (y : x) ; ce coefficient a pour limite ou i, quand x tend vers 0, selon que x est positif ou négatif. Si x était imaginaire, de la forme x^ + tx,, la dérivée lim (y : x) serait absolument indéterminée. Dans la courbe y = x sin x~', le coefficient analogue est égal à sinx"', quantité comprise entre -h i et — 1, dont la limite est indéterminée. A priori, on ne sait donc pas, si pour une valeur de x, une fonction Fx a une, deux, plusieurs dérivées, ou si elle n'en a pas du tout. il. Par définition, la dérivée de y e= Fx, pour une valeur Xo de x qui rend y infini ou indéterminé est la limite de la dérivée DFx pour une valeur x voisine de Xo, quand x tend indéfiniment vers Xo. Ainsi pour x = 0, la dérivée de y «=» x~' prend la valeur unique — oo, tandis que y saute brusquement de — od & + oo. La dérivée dezs=x~*, pour x = Oy prend les deux valeurs + oo et — oo, tandis que la fonction 2 à la valeur unique oo. Interprétation géométrique. Hl. Par définition, la dérivée de y = Fx, pour x = db oo est la limite de DFx, pour x =a db oo. Ainsi, y = x~*, u = |/x, pnl pour dérivée, quand x=3 oo. Interprétation géométrique.

•7. Différentielle, La différentielle d'une fonction Fx est le produit F'xAx de la dérivée F'x de cette fonction par l'accroissement Ar de la variable. On la désigne par dFx (Leibniz), de sorte que cfFx === F'xAx. Ainsi d{x') = 3x*Ax, d |/x == Ax : 2 j/x. Gomme D(x) = 1 , d'après le

premier exemple du n? 94, dx=^Ax; donc Vaccroissement eî ta diffiren'tiellô de la variable indépendante sont égaux. On a donc, dFx^s F'xdx;

d¥x dFx dF ^ , ^ , . ^ d

DFx = F X =: --— s=--— B=s — - . Par conséquent, D, ou plutôt D,, et --

Ax ax ax ax

sont des notations équivalentes.

9S. Relation entre Vaccroissement et la différentielle d'une fonction. De lim (AF : Ax) = F% on déduit successivement, quand F', dF ne sont pas nuls, e étant infiniment petit en même temps que Ax :

AF AF e AF

-— = F'-i-£,AF«F'Ax^£Ax=dF + eAx, — =i-f- — » iim^=l. âiX ur F dF

L'accroissement et la différentielle d'une fonction peuvent donc se substituer l'un à l'autre dans une limite de somme ou de rapport d'infiniment petits (53). Géométriquement, dF est raccroissement de l'ordonnée de la tangente à y=Fx, au point (x,y), correspondant à l'accroissement Ax.

99. Corollaire. Une fonction qui a une dérivée finie est continue. Car, si F' est fini, lim AF = 0, pour Ax = 0, d*après l'équation AF = FAx -4- eAx,