II. Propriétés tomdatnentmlem de la dérivée* 100. Lbmiib I

Si, pour une valeur x intermédiaire entre x^ et xt, Fx a une seule dérivée F'x, on a F'x = lim [{Fx% — Fxi) : (xs — xi)] quand Xt et xt tendent simultanément vers x. En effet de lim [(Fxt -— Fx) : (xi ?*- x)] = F^x, on déduit Fxt — Fx « (x, — x) F'x h- et (xi — x), e^ étant infiniment petit en même temps que x^ — x; de même Fx^ r— Fx = (xi — x) F'x + (X4 — x)^t^ étant infiniment petit en. même temps quexi — X. DoncFxs — Fxi =^{xt — Xj)F'x -+- e, (x, — x)-^ e^ (x — Xi); d'où aisément le théorème. Géométriquement: Soit M un point d'une courbe, compris entre M' et M". Si MM', MM'' ont pour limite une taqgente commune en M, il en est de même de M'M".

toi» Lbiihb II. Soient Xo, Xi, Xt,..., Xn.i, X, (n h- i) valeurs successives de x;yo9yi9 J/ifM y»-i9 Y les valeurs correspondantes dey *» Fx. On a

Y — yo (j/i — yo)-*-(yt — yi)H »-(Y — y»^i) kt h- fct-t-'--«-fc

X — yo (x< — aro)-f-(xt — Xi)-*- ••• -i-(X — x»i) Ai -♦- Aj-*- •••-♦-*»

le rapport [(Y — yo) : (X — Xo)] a donc une valeur intermédiaire entré le plus grand et le plus petit des rapports (k : A), à moins qu'ils ne soient

tous égaux. Autrement dit : Si les rnpports {k : A) ne sont pas tous égaux» il y en a un plus grand et un plus petit que [(Y — yo) : (X — Xo)].

109. Lbvmb III. Subdivisions X — Xocn n parties égales : soit X| — Xi celles des n parties où (& : A) a la valeur la plus grande {ki : ht). Subdivisons Xi — X| en n parties égales : soit X, — x^ celle des n parties où {k : h) a la valeur la plus grande {k^ : A,); et ainsi de suite. Si la fonction a une dérivée unique dans l'intervalle X — Xo, la série de quantités croissantes (&! : AJ, (A, : A,), ..., a une limite qui est la dérivée F'^ pour une certaine valeur ^ de x intermédiaires entre Xq et X. Nécessairement

ri > [(Y — yo) : (X — Xo)]. De même, F'Ç < [(Y — y») : (X - yo)], pour une autre valeur C de x. Dans le cas où le rapport (k : A) est constant, X étant quelconque, par exemple pour y es ax -«• 6, F'x >» (A : A).

10S. Théorémb I. Si une fonction a une dérivée unique et égale à une constante a, cette fonction est de la forme ax -4- b.En effet, si Ton n^a pas [^..y^) : (x — Xo)J = a, une valeur de la dérivée serait plus grande ou plus petite que a. Donc y = ax -4- yo — axo b= ax + 6. Si la dérivée est nullCi la fonction est constante. Géomélriquemcnt : la droite est la seule ligne dont la tangente ait une direction constante. Si la droite est parallèle à l'axe des y, le coefficient angulaire y' est constamment oo ; et réciproquement, car, dans ces cas^ lim (Âx : Ay) &== DyX = 0, ou x «= constante.

104. TBÉotiéiiB II. Deux fonctions qui diffèrent par une constante ont même dérivée; et réciproquement. Si Fx ■= /x + C, F(x -i- Ax) — Fx = f{x -^ Ax) — /x, (AFx : Ax) = (A/x : Ax), et, k la limite, F'x = fx. Réciproquement, si F'x = /^x, soit (px=Fx — /x, on aura ç(x -*- Ax) —

(p(x) «s F(x H- Ax) — /(x -♦- Ax) — Fx -4- /x, (Acpx : Ax) = (A Fx : Ax) — (A/x : Ax), et, à la limite, tp'x = F'x — fx = 0. Donc (105), çx = Fx — /x = C, Fx = /x -»- C.

lOft. Théorème III. Si F'x est continue de Xo à X, elle passe par toutes les valeurs comprises entre Fl, valeur plus grande, et F^» valeur plus petite que [(Y — yo) : (X — Xo)]. Donc (92), pour une valeur X| = Xo -H 9 (X — Xo) (0 <^ 6 < 1), intermédiaire entre Xo et X,

Illi^=.p[xo + G(X~Xo)].

A — Xo

Ce théorème subsiste, même si F'x devient infini entre Xo et X, sans sauter de — oo à -♦- oo. Géométriquement : Si une courbe AIE, co;i(tnKe

entre leê points A (xo, yo) et B (X, Y), et dont la tangente s'infléchit d*une manière continue entre cespoints^ est coupée par la sécante AB, tV y a un point intermédiaire I (xi, yt) où la tangente est parallèle à AB (théorème de Rolle). On peul déduire les théorèmes I, II de celui-ci (Schaar, C. D., n^ 9-10) (Comp. n* \\0, H), quand on le prouve directement.