CHAPITRE II. Définition et propriétés fondamentales et intégrales
1. Limite de eemme. tO€. Lbhmb I (d'après Caochy; voir Moiono, Statique^ leç. IX). Divisions X — xo, représenté géomëfriquement, en yii parties, égales ou non; puis chacune d'elles en n, parties; et ainsi de suite indéfiniment, de manière que l'intervalle d entre deux subdivisions ait pour limite zéro. Soit dans chaque intervalle d^ fm la plus petite des valeurs de la fonction /x, continue entre Xo et X, /■ la valeur la plus grande. Les sommes Sfmiy Sfmd de Xo à X, mesurent une somme de rectangles inscrits ou circonscrits à la courbe j; ^a fx. Cela posé : i** S/'m^< iM (X — Xo), M étant la valeur la plus grande de fx de Xo k X. 2"* Quand on subdivise chaque d en parties 3i, ^s,..., Sk auxquelles correspondent les valeurs minima /î.». /tmi*.-» fkm, égales ou plus grandes que fmt fmi est remplacé, dans la somme, par la quantité plus grande /im^i -H ftmit •«-••• + fkmHk' 3® S/*m^ a douc (26), une limite finie S. 4" Sfnà a la même limite S (53), car lim {f^i : fji) = \. S^ Si /'est une valeur de fx correspondant à une valeur x^**) de x, infiniment voisine de d, ou comprise dans d, lim (/*: /m) = \ et, par suite, lim S/3 = S. En résumé, S/9, dans ce premier mode de subdivision, a une limite unique bien déterminée. Ce leoime est vrai encore si fx saute brusquement d*une valeur à une autre, pourvu que la somme des produits /d, correspondant jiux valeurs de x où cela arrive, ait pour limite 0; p. ex., si /'restant fini, cette circonstance n'a lieu que pour un nombre fini de valeurs de x.
f 07. Lbnme II. Lim S/3 «= S, pour un autre mode de subdivision quelconque en n parties, n croissant indéfiniment (p. ex., les parties étant égfiles, et n successivement égal à chaque nombre premier, de manière que les subdivisions, à deux instants différents, ne coïncident jamais). Appelons {^fmo)%j (S/H3)t, dans ce second mode, les sommes de rectangles analogues k celles du premier mode, que nous désignons par {^fm9)u
(S/h^)i. On a, comme on le voit géométriquement et par le n* 54,
S{fuS)t = {Sfm9)% -^ 6, lîm e = 0, pour n = œ, (SA3),<(S/i,o>,(S/lid),>(S/-«i).. (S^^). -e<(S/•^3),<(S/l|a),• Donc(24), Vim{SfJ)t==\im{SfJ)t=^\'itn(Sfnd)t^S; el par suite, lim {SfJ)f = lim (S/li3)f = lim (S/3), = S.
10§, Théobèmb I. Limite S fi est une quantité parfaitement déterminée. On récrit, x' étant infiniment voisin de xi, x" de xt^ x^''^ de Xr,
lim S /xAx, lim [(xi — Xo) /x' -♦- (xi — Xj) /a" -♦-.... -4- (X — x«,i)/x*»^]
Géométriquement, par définition, lim S/3 est Taire de la partie de la courbe y *= fx située au-dessus de Taxe des x, moins Taire de la partie située au-dessous. Cette aire est égale à la limite de celle d*un polygone inscrit quelconque, dont le nombre de côtés croit indéfiniment, chaque rôté décroissant indéfiniment; car ce polygone est compris entre une somme Sfmi et une somme S/m3 (24).
109. Théorèhe II. Si S = iim S /xAx, AxS est compris entre fm^x,
Xo
/iiiAx, fm et /h étant les valeurs miiiima et maxima de /x^ de x à x -»- Ax; donc (AS : Ax) est compris entre fm et /m, et D^S = f. Géométriquement : ta dérivée d'une aire, par rapport à la dernière abscisse, est la dernière ordonnée. Si, pour la valeur x, f soute brusquement de A à B, on a lim (AS : Ax) = DS ^=> A ou B selon que Ac est négatif ou positif.
