CoRROLAiRES I. SidFx=fxdx, s =lim S /xAx=Fx — Fio. En

effet, S et Fx ayant même différentielle, S + C=Fx (104). Faisons x=Xo dans cette égalité, il viendra C = Fxo; donc, etc.

11. L'aire S est égale à (x — Xo) /xi, xiy intermédiaire entre x© cl x, étant convenablement choisi. On déduit de là le théorème du n"" 105 :

Fx — Fxo = (x — Xo) fxi ={x — Xo) F'xj.

111. Remarque. Soient, dans une aire plane (ou un volume), une poiiion 3 dont un point intérieur ou infiniment voisin est x, y (oti x,y, z), /*la valeur, en ce point, d'une fonction équiconlinuc (voir (95) p. 273): lim 5/3 dans cette aire (ou ce volume) est une quantité déterminée, qui, par définition, mesure un certain volume (ou le moment d'un volume), et s'appelle limite de somme double (ou triple).

II. Mniégtrmie. 119. Intégrale. On appelle intëgralc d*une différentielle fxdx^ et on représente par ^fxdx une fonction Fa; qui a pour différentielle fxdx. Par saîle, d^fxdx = fxdx, Dj/xrfa:=/x, JdFx=Fx. Ex. : ax -t- 6, x' sont des intégrales de adx, SxVx.

lis. Tb^orâmb I. Toute différentielle fxdx a une intégrale^ savoir,

lim S fxAx (i09); elle en a même une infinité représentées par lim S /xAx

-«- C, G étonf arbitraire (104).

114. Intégrale indéfinie; intégrale définie. L*intégrale J/xdxsFx «-C de fxdx qui contient une constante arbitraire est dite intégrale indéfinie; l'intégrale Fx — Fxo, où G a une valeur telle que cette intégrale s'annule

pour X =3 Xo, s'appelle intégrale définie et est représentée par i fxdxy

qui se prononce : intégrale de Xo ft x de fxdx. D'après le n*' i 10^ J peut se prononcer limite de somme. On conclut immédiatement de là que

J(i# -I- V — 11?) (/x = Jfidx -♦- Jurfx — Jtorfx.

115. Remarque. Par définition, si la limite supérieure, ou la limite inférieure est infinie, ou, si fx, pour une valeur Ç de x, est infinie ou indéterminée, on pose

(* = lim (* , (* == lim (* , (* = lim fj^^" + (* 1

X dans la première égalité, — Xo dans la seconde, tendant vers oo, et c, y}, dans la troisième, vers 0.

$x rx

/•(x,a) dx = I D« f{x,a) dx.

fX Posons, en efTet^ Fa = i /"(Xja) rfx, on aura (98,ii4)

= (^ ^^^ dx = (^ D J(a;,«) dx h- (^ erf^ = S' + R

c étant infiniment petit en même temps que Aa, pour toute valeur de x, si Daf{Xya) est fini, ce que nous supposons. Il viendra, à la limite,

rx fX

DaFa ==. D« I f(x,a) dx = \ Daf(x,a) dx =» S' chaque fois, que pour Aa => 0, lim R := 0. Gela arrivera, les valeurs

A»Fa Aa

maxima et minima e«, £■, de e, de x« i X, convergeant vers 0, en même temps que Aa : i^ quand Xo c( X sont finis; car, l'aire R est comprise cnlre tm{X — Xo) el eu{X — Xo. 3* Quand l'une des iimîiea x§y X, ou toutes deux étant infinies^ l'intégrale S' est la limite finie d'une somme d'infiniment petits, tous positifs, ou tous négatifs, ou la différence de la limite finie d'une somme d'infiniment petits positifs et de la limite finie d'une somme d'infiniment petits négatifs. Dans ce cas, en effet, on peut, au moyen d'un raisonnement analogue à celui des n^ 54, 55, I, prouver que R a pour limite 0.

CHAPITRB III. Définition et propriétés poNDAMSirrALES des séries.

I. BéfÊuMwnm el coBSéqiaciiccs Itninédliitcs. 117. Série convergente^ divergente^ indéterminée. On appelle série une suite indéfinie iij, tit» tfi, ..., de termes formés d'après une loi déterminée, de manière que Un^ terme général de la série, est une fonction connue de son indice n. La série est convergente, divergente, ou indéterminée selon que la somme S» de ses n premiers termes, a, pour n = oo, une limite S, finie, infinie ou indéterminée. La limite S est dite la somme de la série, et on écrit, par convention, S «= Uj -4- ut -4- tis + etc., ou Su«, au lieu de S = lim S». Ex. : Voir n* 20, 1; 29, II, III. La série S [1 : n (n -i- 1)] a pour somme l'unité, car S» = i — (n -4- i)-*, puisque

11§. Conséquences immédiates de la définition. I. Une série à termes tous de même signe est convei'genie ou divergente, jamais indéterminée (26).

119. II. Soient Un = ti4 -{- Ut + ••• -♦- w», V» = t?i -i- Vi -♦- ••• -*- 1^», Wi.ss=ti?i -♦- t«?t -♦- ••• -4- m;»; puis lim U«=U, limVn=V, limW»=W. On auraU»-!- V„— W«e=(ui-*-t?i— iTi) -♦- (t/j -t-t;»— ti7i)-4- ••• 4-(M»-4-t»— ti7„); U-4-V — W=slim[(î/i-f-t;i — t(;4)-*-(wf-*-rj— tt7f)-4- ••-♦-(ti„-t-i?n— u?»)]= (Ui-^Vi — ti?i)-*-(Mf-HVj — ti;i)-4- etc. On peut donc ajouter terme à terme des séries convergentes, en nombre fini, comme des polynômes algébriques.

190. Rbmarqob. On ne peut opérer, avec sécurité, ni sur les séries divergentes, ni sur un nombre indéfiniment croissant de séries convergentes, comme sur des polynômes algébriques. En retranchantL deH(29),

on trouve pour reste H; ce résultat singulier est obtenu, au fond, en faisant nssoo, sans avoir le droit (51, I), dans En'=>lUn — Lm. En ajoutant les séries, en nombre indéfini,

— — -4— ■— —f- " ■■ -t- ••• = 1 , — "4-—— -♦-••• ts= — • —-4- ••• a= — f etc. 1.2^2.5^3.4^ • 2.5^5.4 2 5.4^ 5

on trouve H — 1 = H. On s'explique l'origine de ce résultat bizarre, en ajoutant les n suites finies formées respectivement par les n, n — 1 , n — 2, ... premiers tormes de ces scries, puis faisant n =» oo (52).

191. m. Une série d termes positifs et négatifs est convergente ^ si la série des valeurs absolues des ternies est convergente. Soient Sp la somme des p termes positifs, — S, la somme des q = n — p termes négatifs, compris dans la somme S. des n premiers termes de la série. Par hypothèse, Sp + S, a une limite finie; il en est donc de même de Sp, S„ S„ = Sp — Sç, et lim S» « lim S^ — lim S,. La réciproque de ce théorème n'est pas vraie : L est convergente, sans que H le soit (29, II, III).

199. IV. La série T, obtenue en multipliant les termes d'une série convergente S, à termes positifs, par des quantités positives ou négatives^ comprises entre m et M y est convergente. En effet, la série obtenue en rendant positifs tous les termes de T est comprise entre db mS, d= MS. Donc, etc. (118, 121). Une série h termes imaginaires de la forme pn cas (pn -^ içn sln 9,» cst convcrgcntc, comme somme de deux séries convergentes, si la série des modules p^ des termes est convergente.

H. Propriétés diverses des séries eonveri^enles. 19S. I. Dans une série convergente^ la limite du terme général ti«, est zérOy pour n = oo. En effet, lim S,, = S, lim S»i »S(8); donc lim (S,, — Sn i) = lim t/» >= 0. La réciproque n'est pas vraie : dans la série divergente H (29, II), le terme général n~~* a pour limite zéro, quand n = oo . Mais on est sûr qu'une série ou l'on n'a pas lim ti» = 0, p. ex., S cos nac, est divergente ou indéterminée. IL On a encore, diins une série convergente, lim (S,+p — S») = lim (i/^+i -t- ••• -4- Un^p) = 0, pour nsax , p étant quelconque, fonction de n, p. ex., et même croissant indéfiniment avec n. La réciproque n'est pas vraie : dans la série divergente H (29, II), S.^.;, — S« est plus petit que (1 : |/«), si /? = E (|/n) et a pour limite zéro. Si p = n, S^^^ — S« a pour limite L (29, III).

194. Si Von change Vordre des termes dans une série convergente S, d termes positifs, on obtient une autre série convergente T, de même

somme que ta première. Si (n -h p) est assez grand pour que les n ppemiers termes de S soient parmi les (n 4- p) de T, on a S» <T«4.p; par suite, pour n = oo,S = TouS<T (25)* On prouve de même que T = S ou T <S. Donc S = T. On déduit de là, par les n«* 121, 122, que l'on peut changer, comme on le veut. Tordre des termes, 1° dans une série à termes positifs et négatifs, qui reste convergente quand on rend tous les termes positifs; 2® dans une série à termes imaginaires, si la série des modules des termes est convergente.

196. Théorème de Ribmann {Werke^ p. 221). On peut changer l'ordre des termes dans une série convergente S à termes positifs et négatifs, qui cesse de l'être quand on rend tous tes termes positifs, de manière que la nouvelle série obtenue i^soit convergente était une somme quelconque A; 2° soit divergente; ou bien 5** indéterminée. I. Les termes positifs et les termes négatifs de S, pris séparément^ forment deux séries divergentes P, — Q. En effet P + Q> étant, par hypothèse, une série divergente, P et Q ne peuvent être convergentes (119); une seule des séries P etQ ne peut être divergente, car^ dans ce cas,S=3P — Q serait aussi divergente, comme on le voit sans peine. IL Prenons, dans la série divergente P, la somme Pp des p premiers termes, p étant choisi de manière que Pp.i < A, P^ > A; retranchoos-en la somme Q, des q premiers termes de la série divergente Q, qf étant tel que P|,--Q,«i > A, Pp —Q,< A. Ajoutons à Pp — Q, les p' termes suivants de P, p' étant tel que Pp+p'i — Q,< A, Pp+/— Q,>A; retranchons de Pp+p' — Q^ les q' termes suivants de Q, q' étant tel que PpV — Q,+,' -1 > A, Pp^.p' — Q,^.,' < A; et ainsi de suite, indéfiniment. La série T, ainsi formée^ s'approchera indéfiniment de A, car, à chaque instant, la somme des termes de T diffère de A, de moins qu'un terme de S, lequel a zéro pour limite, puisque la série S est convergente (123). Ex. : L, L\ V (29, 44). III. Démonstration analogue dans les autres cas.

in. Caractères élémentaires de convergence, et de non conversence. 196. Reste d'une série. On appelle reste d'une série convergente et l'on représente par R, R», r, r,, etc., la différence S — S» entre S« = Ui -♦- w« -h ••• -4- ti» et sa limite S. On a donc lim R» = 0, pour n = oo. Ex. : voir n» 117. Comme S =» lim S«4.p pour p = 00, n étant fixe, R» = lim S^+p. — S« = lim [un^i -*- tt«+« ••• -h Win-p]» pour p= 00, ou (117), R, == Un+i -H «••+« -4- etc. Ces dernières expressions sont aussi appelées reste, dans les séries noa convergentes. On remarquera que le caractèi*e lim R» a» 0, nécessaire et suffisant pour qu'une série soit

convergeDle, peut s'écrire lim [lim (««+! -*- ••• -♦- t/»+p)ji««],«0D = 0, la limite pour p «=> oo étant prise avant la limite pour it =: oo. Lu caractère analogue du n"" 125, II, nécessaire, non suffisant, suppose que p teAde vers rinfini, en même temps que n, ou bien reste fini.

%%7, I. Une série est convergente (non convergente), si^ â partir d'un certain terme, on a constamment A; < f {ou ]> q), q désignant une quantité plus petite {grande) que l'unité, k la valeur absolue du rapport d*un terme au précédent, ou la racine n**^' de ce terme, pris positivement, n étant le rang de ce terme. I. Soit^ p. ex., dans une série à termes positifs {un+i : ti,) < 9 < 1, (w,+« : Wn+i) < ç, («•+» : «••+« < ç), etc. On déduit de là : Un^i < Wnqr, «i.+8 < Unq*, ti«+» < ii.ç', etc.; (tin+i -4- ii»+i -♦- — -♦- Un^p) < [m, : (i — gr)] ; donc (126), R» et, par suite, S = S, -i- R» sont finis. Si lim A: = / < 1 , pour n = oo, on a k=l'^ t, e étant aussi petit qu'on le veut, et, par suite, on peut trouver une quantité q telle que / + £ ou A: < 9 < 1 . Si les termes de la série sont alternativement positifs, et négatifs, il suffit de considérer les valeurs absolues des termes (121).

Démonstrations analogues quand k = yun <f<l.Il. Si A;^ç>i, les termes de la série vont sans cesse en croissant en valeur absolue; elle est donc divergente s'ils sont tous de même signe (118, 123); divergente ou indéterokinée, dans le ciis contraire (123). III. Ex. : S[x":(1.2...n)]cst convergente^ pour toute valeur de x; S [(— l)"'"*x" : w], convergente pour X* <i; divergente pourx*> 1 ; S [m (m — 1) ... (m — l)x" : (1.2...»)] convergente pour x* <:^ 1, divergente ou indéterminée pour x* > 1, car les termes vont sans cesse en croissant, en valeur absolue.

t9§. II. Lasérie à termes positifs décroissants S=t<i -t- tit-*-M3 4- etc. est convergente ou divergente en même temps que T=a ui-t'2ui -4-4114+ etc. et réciproquement. En effet, on a T > S, T — t/i < 2S; donc, si T est (in)fini, S est (în)fini et réciproquement. Application : Sn~"*n*cst con* vergente que pour m > 1 (Comp. 29, II),

1*9. III. Une série à termes uUernativement positifs et négatifs et décroissant indéfiniment en valeur absolue {à partir d'un certain terme), est convergente, La suite Sj» = (u« — tu) -f- (us — u^) -4- ••• + (utn-i — wt«)

= ttl {Ui Uz) {Ua Ms) ••• — (Wtit-î — Utn-i) Wt», OU Up <

Up^t, est composée de termes tous positifs, et est comprise entre et i«i ; donc elle a une limite finie (26). St» + tisi.+i a la même limite, car, par hypothèse , pour w = ao, lim tifn+i = 0. Donc i/i — tii — «i — Ué -¥- etc. est convergente. Un raisonnement analogue prouve que

R»= t*=(w»fi — Wn+t -H ■••) est plus petit que t#»^.i en valeur absolue. Ex. : L, L', L" (29, III); i — i 4- ± — i -i- etc., est une série convergente. ^V. Iniéffratloat des «érlcs. 130. Si S==:u^ + ui + ••• + r/»i +r« est une série convergenle, dont la somme et les termes sont des fonctions de or, susceptibles d'intégration entre Xo et X (i08, ii4), on a (144) :

.T«\ Sdx=\ ti«(lx-H--4-l ti^-.4dx-i-R«;R,=[ r„dx=\ (S— &,)rfx

La série des intégrales dos termes de S est égale ^ Fintégrale de S, si lim R»==0. Si les valeurs maxima e( minima r^H» r..,, de r» convergent vers 0, pour n = x (ou si la série S est également convergente de Xo à X, comme on dit), il y a deux cas où lim R» =» : 1° Si X — Xo est Gni, car R, est compris entre (X — x) run et (X — - x) r«« qui ont pour limite 0. 2* Si Rn est une partie de T, supposé fini, indéfiniment décroissante avec n~* (Comp. n* H6). Une série est la dérivée d'une autre, si elle Ta pour intégrale de Xo à x (112). Si la dérivée est finie, l'intégrale est une fonction continue de x (99) (Comp. n<^ 317-322).

Note mur Taire de l'hyperbole éqnlliiière jpy = l.

ISt. I. Soient (1, x,xS..., r" = X), (1, yi, y»,..., 5^» = Y) les coordonnées de (ti -4- 1) points de l'hyperbole xt/ = I. L'aire v des n rectangles ayant pour bases x — 1, x* — a:,..., x" — x"~*, et polir hauteurs, respectivement I, ^i,. •» y»..! est égale à n{x — !)• La somme des n rectangles ayant les mêmes bases et pour hauteurs respectivement yi,y9,...,y»est(i7:x). Si l'on intercale indéfiniment, entre chaque couple de termes de la progression 1, x, x*,..., un même nombre de nouveaux moyens géométriques, n croit indéfiniment, t) décroit, sans devenir nul et tend vers une limite finie u (25, 26; comp. n"" 106); lx = (IX:n) tend vers 0, x vers 1 (54, E), (v : x) vers u (53, C). L'aire v tend vers la même limite Vy quand n croit indéfiniment, X — 1 étant subdivise d'après une autre loi quelconque (Comp. n° 107). Par définition^ cette limite u est l'aire de l'hyperbole. II. Puisque i? = n (x — 1), X = x', « = log X, dans un système à base inconnue B, et u = Log X dans le système à base lim B, comme on le voit, en passant h la limite dans In relation v =3 IX : IB (45). Soit B «= x*, on aura Log B = l = m (x — 1), m pouvant ne pas être entier. Par suite, x == 1 + m"^^ B = P.» (38, 39), et, pour nesOD, x=>l,m=3 0o, lim B =a (39). Donc u = IX.

CALCUL DIFFÉRENTIEL