CHAPITRE I. Dérivées et différentielles premières des fonctions
d'une seule variable.
I. Dérivées et dllWrentlelles fondamentales. 1S9. Varia' blés réelles, i" On a
. ,. sin(a;H-Aa;) — sinx ,. 2sin4Aaccos(a:-*-ÎAx)
D sin X => lim — ^^ r— ^ = lim 7-^ — ■' •
Ax Ax
Or (36), si àx tend vers zéro,
,. âsîn 4 Ax ,. sin^ Ax lim r^ = km — i-i = i;
Ax I Ax
donc
D sin X =3 cof X| d sin x =3 cos x efx.
3' En posant Ax » ax, il vient, d*après le n"» 42,
1 fi —^
T.1 ,.^ l(x-4- A x) — Ix .. V ■*■ x/ i,. l{i+a) D Ix «= lim-^ j—^ =: hm — -^ — ^ = -lim -îi ' ,
Ax Ax X a
Dlx=-» alx = —
Cette dernière dérivée est infinie pour x c= 0, nulle pour x =? 00 .
5*» On peut trouver de même, au moyen des n*»» 36, 37, 43, les dérivées de cosx, tangx, cotx, sécx, cosécx, a', e', que nous obtiendrons plus loin autrement.
ISS. Variables imaginaires. 1° Si z -= x -+- yi, il vient (73)
D e* = lim = e* lim — == e*.
Ajc Az
2* En suivant la même marche qu'au n*» i 32 et s'appuyant sur le n" 74, on peut trouver aussi les dérivées de 1((^)), sin z, etc. Maijs nous déduirons plus loin (137) ces dérivées de la relation D, e* c=: e*.
IL Vonctien de fonction. 184. Dérivation. i<* Soient y = /u, u=»(px. On aura
^=^^.— iini^ = liin^.—
Ax Au Ax' Ax Au Ax
On tire de là, si /u, cpx ont une dérivée unique (96, I),
On déduit de cette formule
D,y Ax D«y At< D,u Ax Ax Au At
ou, d'après la définition de la différentielle (97)
d^y d^y dàU
ce que l'on écrit souvent
Ax Au Ax
dy dy du dx du dx
Evidemment, dy a un sens différent dans le premier ou dans le second membre, et les deux du désignent aussi, en général, des quantités différentes (et même, si on le veut, les deux dx sont inégaux). Ainsi, le du -== Au du dénominateur est l'accroissement arbitraire indéfiniment décroissant, de ti, accroissement dont la considération est nécessaire pour définir la dérivée D..t/ ou fu; du= dgU du numérateur est la différentielle (p'xAx, indéfiniment décroissante aussi, mais dont la valeur est déterminée quand on se donne Ax.
2® Soient y = /u, m = ^j^v, v = yx. On a, d'après le !•,
D,y = D.y . D^ti, D^u = D„u . D,v; d'où
formule que l'on obtient directement, par passage à la limite, de
Ay Ay Au Av Ax Au Ar Ax
h!^ Une formule analogue subsiste pour toute fonction de fonction. On peut d'ailleurs y supposer les variables imaginaires. Donc la dérivée d'une fonction de fonction est égale au produit des dérivées des fonctions composantes^ prises chacune par rapport à la variable qu'elle contient.
1S5. Différentiation. Multipliant les égalités du n» i54, 3° par Ax, et joignant aux résultats la valeur de dv^ il vient
cty = fu rf,u, d,u = ^'v d,v, d,v = jf'x Ax,
formules qai donnent d^y. On peut les écrire
dy =3 f'u du, du = ^'v do, dv = x'x ^^•
La valeur de dy a alors la même forme que u, v ou x soit la variable indépendante. Ainsi, p. ex., si u est la variable indépendante d^y = f'u Au, ou dy = /"'u du.
1S6. Applicatiofis. Variable réelle, i"" Si y «^ sin u, u = ça?,
Dy e= cos u • (p'x, dy = cos u du, du = cp'xdx. Par exemple, pour ça; = Ix,
Dsinlx = cos \x . x"*, d sin Ix «s cos Lr . x~^dx. ^ Soient y = lu, ti =» çx, u positif. Il viendra
Dlu = — , alu = — • u u
Soient encore y == 1 ( — u), u = çx = — r, t? positif. On trouvera, en empiétant quelque peu sur le paragraphe suivant,
Dl (— u) = Dit? = — = — i -% f/1 (— - w) ^- dlu = —=^ 1.
Or
. A(— u) — (u -♦- Au) — (— u) ,. —Au
D (— u) = hm -^ — '-= hm — > -^ i ^ = lim— — «
Ax Ax Ax
Au — lim -r— = — Du.
Ax
Donc, u étant négatif,
Comme exemple, supposons u = =t sin x. Il viendra,
¥> 1 /-! • \ D (± sin x) d= cos X , , , . ,
D l(d= sm x) = -^— ^ i =3—^ — = cot X, d 1 (=b sin x) = cot xdx.
±: sin X dr sm X ^ / « w*.
Variable imaginaire. Si y = e», u = çz, D,y = e^D.u = e"ç'z.
181. Fonctions inverses. Si l'on déduit x =^ fy de y = Fx, on a a: «s /"(Fx), c'est-à-dire, x fonction de fonction de x. On a donc, en dérivant,
i = /"'y X F'x, Fx = 1 : /"'y,
149. Quotient. 4" Si y = 4 : v, v n'étant pas nul pour la valeur dcx considérée, on a
Av
\vj' ""xy-^^v vj' 1? (t? -♦- At?) '
Autrement : De vy = 1 , on tire D (vy) = 0, ou vDy -+• yDv = 0,
u 2* Soit y c=-=3 u.«~^. En dérivant ce produit, il vient
^/u\ Dm —Dr vDu — t*Du ,/u\ urfw — wdt?
D( - )« — -♦- u — — = ; dl - )=. T .
Autrement : dériver la relation vy => u, etc. Autrement encore :
Au Av Ay fu -♦- Au u\ Ajc Ax
(u + Au u\ Ajc w -4- Ai? v/ v(v
Ax \w -4- Ai? v/ v(v -I- At?) *
d*où la valeur de Dy, en passant k la limite.
Les formules précédentes subsistent si la variable est imaginaire. Donc la dérivée {différentielle) d'une fraction est égale au produit du dénominateur par la dérivée {différentielle) du numérateur , moins le produit du numérateur par la dérivée {différentielle) du dénominateur, le toiU divisé par le carré du dénominateur.
Dérivée et différentielle logarithmique d'un qicotient. On déduit des formules précédentes :
w u Du Dl? A^ '^ ^^ ^^
On trouve directement ces formules en dérivant ou différentiant
1 (± ^) - 1 (d= «) - 1 (± V), 1 (J^yj = 1 ((H)) - 1 ((!>)).
La dérivée {différentielle) logarithmique d'une fraction est égale à la différence des dérivées {différentielles) logarithmiques du numérateur et du dénominateur.
14S. Puissances réelles de quantités réelles. Soit ys^u"*, et l** m entier positif. On a alors y=u.ti...t/, produit de m facteurs égaux et, par suite, D^ est ]a somme des produits de la dérivée de chacun d'eux par les (m — i) autres^ ou la somme de m expressions égales à ti«-*Dtt. Donc
D.tt"» «=» ««♦"•"'Du, rf.tt* = mw^'^du.
On arrive encore & cette formule en posant U = u -i- Au et observant que
ax U — Il Ax
Au = lim (U*"' -«- U*-»u -♦- U**-'ii* -♦-...-♦- Uu"»-* -f- u*»"*) -T— = mu*"*Du.
Ax
^ m = — ny n entier positif. On a
Tx * — - ï> ("") — »»«**-* Du
D.u-=D— = — - = = — fiu-"-* Du = mw*'^ Du.
5« m s= ' , p et n entiers. Alors y» = u**, D (y*») = D (up) ou
ny**"* Dy «= pu''-* Du, Dy = - — ^^ D u = mW^'* Du.
4" Si «Il est incommensurable, on a, par définition, u*'==e"*^'', ou tt"* = e"*'^~*'S selon que u est positif ou négatif. La même formule est vraie pour m commensurable, puisque lu** == ml (db u). Donc, dans
tous les cas
Du D.u* = De'-ï^i-J = c'"*^^''^ Dml (d= u) = u'^m— = mu"^' * Du,
cJ.ti"» = mu"*"* du.
Puissances quelconques. Si u est imaginaire, m réel ou non, commensurable ou non, on a, par démonstration (si m est réel et commensurable) ou, par définition, u"' = e"'*""^*. On tire de 1&, en dérivant,
Du
D.u"'=D.e"i<<"» = e"**'"»Dml((u))=u"'m — ^mW"'* Du;
d.u" = mu"-* du.
Donc la dérivée {différentielle) de la puissance nt»'** d'une fonction s'obtient en multipliant cette puissance par son exposant, diminuant celui-ci d'une unité et multipliant encore le résultat par la dérivée {différentielle) de la fonction.
144. Exponentielles quelconques, i® Réelles. Soit i/ = u% u étant positif. On aura ly = rlw, y = e'*". Donc
D.tt*' = De*'*" = e"*» D {v\u) = u' /^ v h lu Dv j = ft*"- * Du -h m^Iw Dr,
rfu" = tn*" " * dtt -*- M" \u du.
En particulier, si u =» a, a étant constant,
Da* = a" la Dr, da" = o" la dv.
2*» Imaginaires. Si y = ti", on a, y = e**"-». Donc
Dtt«' = De-» «-» = e"» «•'> Dvl ({«)) = t** /"v — -*- 1 ((i*)) Dt?^
= vu'^^Bu + u" 1 ((u)) Dr.
IV. Dérivée» des ronetlon» élémentaires ezplleiie«« 145. Fonctions algébriques, l** Fonctions entières (i40, i4i, i"», 143) :
D (a -*- 6x -♦- ex* -*- (|f«' -+-...) s= 6 -4- 2cx -h 3ya;* -♦- ••• Ainsi, par exemple,
D(4 -♦- X-*- X* -f- ••• -4- x") = i H- 2x + 3x* -4- ••• -♦- nx""**.
20 Fractions rationnelles (Ib. et 142, 2<>) :
A -h Bx -H Cx* -4- •••
a + 6x -4- ex*
(A -♦- Bx -»- Cx* -t- •••)(^-*-2cx-t-««-) — (a -4- 6x -4- ex' -4- •• )(B-4-2Cx-4- •••\ ™ (A-4-Bx-4-Cx*+.'.)*
Ainsi
i—x^-^^ {i^x){'-n^i)x'*-'{i'—x''-^*){'-i) i— (n-4-i)x"-4-nx"+«
i—x^ {i^xy "" (1 — x)«
On déduit des deux derniers exemples
1 — (n -*- 1) x»* -4- wx»+* . ^ .. .
(1 — xy
Remarque. Étant donnée l'égalité Ex = /*x, on en déduit une autre F'x = /*'x, par dérivation, les limites des quantités égales (AF : Ax), (A/* : Ax) étant égales.
5° Racine carrée (145) :
Donc ^ dérivée {différentielle) de la racine carrée d'une fonction est égale à la dérivée {différentielle) de cette fonction^ diviêée par le double du radicale Ainsi
D >/ 1 zt X* = T D (/a + 6a? H- ex* =
■ — - « p ^ m^ ^j^ ^^^ VhV ^^^ 1/MV ^^^* ^ - — - A
j/i =fc X» 2 j/a -♦- 6x -*- ex*
^____ i -♦- X ,- / ^ -*-g ^ i — œ ds
V ^""^° yT:r^"(i~x)i/T=l^'
4<> Les règles des n<^ précédents donnent de même la dérivée de toute expression algébrique explicite. Exemples :
D l/x* — a' (a 4- 6x -♦- ex*) = (a h- 6x -+- ex*) D (x* — a')i -i-
(ac* — o') » D (g '»• 6x -i- ex*) ^^ (g -♦- 6x -4- ex') -♦- l/x* — g'(6-t-2cx);
r/2m-Hx m-4-2x x — w*\/ * *w x -h m\"|
Reuarqub. D'après le n*" 105, la dernière expression, toutes réductions faites, doit être une constante. Cette constante est 9.
146. Fonctions exponentielles el logarithmiques. V Logarithmes (152, 156, 158) :
Dlx=:— , dix= — , Dlu = — , dlw==
En appliquant ces dernières formules, on trouve
Dl
(fl( X -i-- -4- l/g H- 6x + X* )=—
cH vAl/* + a?»+x):((/T+T«--x) = --^__.
Si Loge désigne un logarithme de base B ou de module M = (1 B)"* (43), il vient
DLogBX = D,4 ou DMlx=-L ou ~,
iiï xlB a-
DLogBU^Dj^ ou m]u=~ ou :î^,
IB ulB
^ U (li;)«V u ^T^J
2" Exponentielles. La formule Dc = c' (138, 2-) donne (134) De" = e«Da. Si u = x 1 a, on a Dm = 1 o, e- = e*»» = a', Da* = o* 1 apuis, comme au n» 144, Da^'^aMaDr, par le nM34 encore. En particulier,
Exemple. De la progression géométrique
c — 1 ' on tire par dériyation
e- + 2e- + 5e»' + ... + -, l -(n + i)e» ^ ne"^»'
formule que l'on peut déduire de la dernière du n" 14S, S*. 3° Fonctions hyperboliques directes. On a
D Ch X =. D Ke* + e-') = i (e* - e-«) c= Sh a, DChM = ShttDtt; D Sh X = D J (e* — e-') = ^ (e* -^ e"') = Ch x, D Sh u = Ch m D« ; DThx = Dg^^^'^'^^^-^''^Shx 1 oT^.^^JD^ dix Ch»* Ch'ï' Chï^i
4® Fonctions hyperboliques inverses. Par le procédé qui a donné la formule du n<* \ 57, ou par cette formule même, on trouve
i 1 i DArgChx— , DArgShg=^ , DArgThx = T =>
=fc|/x« — i /iH-x* ^—^
que l'on peut aussi conclure des n""* 62 et 146,4"* (La notation y = Arg Chx se prononce y égale l'argument dont le cosinus hyperbolique est X. Elle vaut mieux que celle du n"" 79). 5"* Exponentielles composées. On a vu (144) que
D.tt" = vu'" *Di4 + u'iMDt;, rf.ti* = vu»- *du -4- u^'ludv.
Ainsi, d.x' = x*"*(ix -4- x'lxdx«=x'(l •^\x)dx. On ne doit pas confondre la formule donnant D.u* avec c«lles-ci qui en sont des cas partiliers :
D.u* = mvr- *Df*, D.a' =* o^laDr . 148. Fonctions circulaires. 1» Directes. On a (152, 156, 1% 142)
D sin X = cos x,
D cos X =a D sin ({ 71 — x) = cos (^ tt — x) D (^ tt — x) = — cos (J tt — x)
= — sin X,
. ^ sin X cos X cos x — sin x (— sin x) 1 , ,
D tang X =3 D =» ^^ = — r— = sec* x,
cos X cos' X cos' X
D cet X = D tang"* a? = — tang~'a? D tang x « :~r"= — coséc* x,
sin X
^ , i . ^ sin X ,
D sec X = D COS" * x = — cos"' x D cos x = — r- =» tang x sec x,
cos' X
cosx
Dcosécx = Dsin""* x = — sin~* xDsinx = :—-—== — cotxcosécx.
sm'x
De même (154),
D sin tt = cos u Dw, D cos u = — sin u Dm,
Du Du
D tang u = — -— , D cot u = :— r— >
cos* M sin' u
Remarque. De toute formule trigonométrique, on peut déduire une
autre par dérivation des deux membres. Ainsi, en remplaçant les sinus par leurs valeurs exponentielles imaginaires (65 et 71 ), on trouve aisément
sin X + sin (x -f- A) -*- sin (x -♦- 2A) -♦- •••-♦- sin (x h- nh)
Par dérivation, on en déduit
cos X + cos (x -♦- A) -*- cos (x -f- ik) -i- ••• + cos (x + nh)
cos
sin-
Si Ton fait dans ces formules x = 0, puis qu'on remplace A par x et qu'on dérive, on trouve les sommes
« («-4-i)co8nx — ncos(n-f-i)x — 1 cos X + 2 cos 2x + •• • + n cos nx = ^^ ^^ ,
4 sin' { X
a . o (n+l)sinnx — nsin(n-t-i)x sin X -^ 2 sin 2x -t- •••-♦- n sm nx = ^^ ^^ i- ,
4 sin» {x
faciles & déduire de la dernière formule du n"" i47, 2<*, en remplaçant x par xi et — xt, etc.
2* Inverses. On a déjà vu (438) que
Dy = D Arc sin x = , DY = D Arc sin x » —
yi—x* i/i— x«
y ayant son extrémité dans le premier ou le quatrième quadrant, Y dans le deuxième ou le troisième.
Soient de même z ^= Arc cos x, Z =» Arc cos x, z ayant son extrémité dans le premier ou le deuxième quadrant, Z, dans le troisième ou le quatrième. Il viendra
X = cos z, -4- j/i — X* = sin z, I == — sin zDz = — |/i — x" Dz, x = cosZ, — |/t — x»=»sinZ, i= — sin ZDZ =» |/i — x« DZ.
On a donc
Dz s=3 D Arc cos x =s — , d Arc cos x =
ou
«VA -4- i . (f «
DZ e D Apc cos X = — ==i , a Arc cos x
selon que Tare a son extrémité dans les deux premiers ou dans les deux derniers quadrants.
Soient enfin
V = Arc tang x, x = tang v; u? = Arc cot x, x = cot w. 11 viendra
i B=a -— , DVssCOS^V
sm
cos'v' i -I- X*'
