Dtt? = — sin" u? ca

in*w 4-1- X*

Si u est une fonction de Xy on a, évidemment, D Arc sm u = ———-—- , D Arc cos ti

Du "-Du

D Arc tang w =» ; r , D Arc cot u = .

Ainsi, par exemple, tous calculs faits, on trouve u arc sin • = -, D arc tang

Rbmarqub. Si X est positif, y a son extrémité dans le premier quadrant, Y dans le deuxième, z dans le premier, Z dans le quatrième. Si x est négatif, y a son extrémité dans le quatrième quadrant, Y dans le troisième, z dans le second, Z dans le troisième. On trouve

D(y + Y) = 0, D(y-^jc)=»0, D(z^-Z)c=sO; ce qui 8*accorde avec les n"^ 81 et 104, puisque Ton a, k étant entier^

y + Y = A:7r, y-i-jc=5 2A7r -♦- J tt, jc -h Z = âiff. De même D (t? -h tr) =» 0, ce qui provient de ce que t? + te?=|7r -+- 2fc7r.

149. Déricéts des fonctions patres, impatres, périodiques, etc. i"* Les dérivées des fonctions transcendantes inverses sont algébriques; au contraire, les dérivées des fonctions algébriques ou des transcendantes directes sont de même espèce que les fonctions dont elles sont déduites.

2« Soit Fx = F (— x). Posons a = — x, d'où Dii =1^ — I . Il viendra

Px = D,Fi« == F'iiDw = — F (— x).

Soit ensuite fx = — f{ — x). On trouve de même, par dérivation, f*x = f{ — x). Donc la dérivée d^une fonction paire (impaire) est impaire (poiré). Exemples : a-^bx*, Chx, cosx; ex + j^x', Shx, Th X, sin x, tang x.

3* Si Fx = F (x -I- P), on trouve, en posant x -*- P = «, F'x = F'iiDii sa ^(x + P). La dérivée d'une fonction périodique est une fonction périodique de même période.

169. Cas des rariables imaginaires. Les résultats précédents s'étendent au cas où les variables sont imaginaires, puisque les formules des §§ I, II, III, d'où ils sont déduits sont démontrées aussi bien dans ce cas que dans celui où les variables sont réelles.

y. W m w irt e céMéralc de dérlvaU^M (dlfl^reatlaltoB) dtë tmmmiimmm g si yé c a , 1S1. Règle générale. On peut résumer les quatre formules

D (m + r — tr^ = Dm + Do — Dr, rf (« -4- © — w) = du -^ dv — rfr,

D.vrir =^ nrD» + «irDr + ntDtr, d.uvw =» vurdu -%- uwdv + ucdwj

u vDu — «Dr u rdu — udv

D,tr *= wi^'Dii -H ir l n Dr, An' = rir-" Ai -t- ^-Idr,

dans les rè^es suivantes : La dérivée (différentielle) tune fonctwn eouqtosée y de plusieurs variables u, v, ..., fonctions de x, esi égale à la souune des dérivées (différentielles) de y, prises suc c e ssi vement comme si chacune de ces fonciwns composantes «, r^ ..., était seule variable avec X. Ainsi, par exemple, si j/ = r + r — ir, les dérivées de y, quand on suppose successivement «, r, tr seules fonctions de x, sont Du, Dr, — Dit; leur somme est précisément égale à Dg. Si y = m', la dérivée de 5^, quand on suppose u seule fonction de x est rti"^*Dv (145); quand OQ suppose r seule fonction de x, «MvDii ^I4il; somme : m*^"*!)!! -«- « "^ I if Dif^ e esl-à-dire Dy.

169. Formules générales. D*après le n<* iSi, les dërivëes de y = F (u, Vy tr), par rapport à x, en supposant successivement u, v, u? seule fonction de x, sont

(fy du dy dv dy dw du dx dv dr dw dx

La règle du n" i5i donne donc, pour la dérivée de y^

dy dy du dy dv dy dto dx du dx dv dx dw dx

ou explicitement,

d^y dmy d.u d^y dj^ du,y d,w

Ax Au Ax At7 Ax Aw Ax

et, pour la différentielle,

. dy , dy , dw .

^ au do dy

, duU , rfrV I ^«^ I d,y =--^ d,M -t- -rr-d^v -♦- -r-^d,w?.

•^ Ati Av Au;

Le dernier terme du second membre doit être supprimé si y ne contient pas une troisième fonction w.

Les formules précédentes s'appliquent évidemment au cas où le s variables sont imaginaires.

16S. Première extension des règles et des formules. Si les formules du n° 152, ou les règles du n9 151 sont vraies pour une fonction ^ = F (m, t;, w)y elles sont vraies aussi pour une fonction y = fs de s. En effet, on a (134), en se bornant aux dérivées,

dy dy ds dx ds dx

puis, par hypothèse (152),

ds ds du ds dv ds dw

^la^^iN fti^a^** ^■^■■^ ^^m^^ ^^kM mmm^a^ ^M^W ^ ■ « ••■■^^ •

dx du dx dv dx dw dx

Donc

dy dy ds du dy ds dv dy ds dw dx ds du dx ds dv dx ds dw ds

ou, par le n* i34 encore, la formule h démontrer

dy ây du dy dv dy dw

^Mi^^B ^^S^S ^Êmm^ ^^a^^^ ^V^ ^«waa ^^^^^ MmA^ ^^^mma^ a^HNaMM a

dx du dx dv dx dw dx

164. Seconde extension des règles et des formules. Si la formule de dérivation du. n"* 452 est vraie : 1^ Pour deux fonctions «, f, de «, v, fonctions de x, de manière que

ds ^ *f ds^ dv dt dt du dt dv , .

dx du dx dv dx^ dx dvlbs dv dx^ ^

2* Pour y considéré comme fonction de s et de I, « et ( étant fonctions de Xf de manière que

^=.^*4.^*, Ib)

dx dsdx dtdx^ ^ ^

50 Pour y considéré comme fonction de s et de f, < et ( étant fonctions de u, de manière que

du ds du dt du ^ '

ou de V, de manière que

dv d$ dv dt dv^ ^

si toutes ces conditions sont remplies, dis-je, la formule de dérivation du n" i5â existera aussi pour y considéré comme fonction de ti, t?, fonctions de x.

En effet, en combinant les formules (a), (6), il vient

dy dy ds du dy ds dv dy dt du dy dt dv .

dx ds dv dx ds dv dx dt du dx dt dv dx

ou, en rapprochant, dans le second membre, le premier et troisième

terme, le deuxième et le quatrième,

dy /dy ds dy dt \du /dy ds dy dt \dv^ dx \ds du dt du) dx \ds dv dt dvjdx*

c'est-à-dire, à cause de (c) et (d),

dy dy du dy dv dx du dx dv dx

et, par conséquent, pour la différentielle,

du dv

15S. Conclusion. Les raisonnements précédents s'appliquent au cas où les variables sont imaginaires. De proche en proche, par les procédés des n°* 153, i54, on peut étendre les règles et les formules des n"* i51, d52, à toutes les combinaisons des fonctions élémentaires. Ces règles et ces formules sont donc générales.

Comme exemple de l'usage que l'on peut faire de ces formules générales, cherchons la différentielle de y «=> (u »h v) W. On peut remplacer cette relation par les suivantes :

y = st^ s S3 u -t- V, ! = «''.

D'après (151), la règle générale de la différentiation des fonctions composées est applicable Ji la somme 8,k l'exponentielle f, au produit y, fonctions composées de fonctions de x; elle existe aussi pour y considéré comme produit de deux fonctions de u, ou comme produit de deux fonctions de V. Donc (154), la règle générale subsiste pour y considéré comme fonction composée de k, v, fonctions de x. On a donc

dy = [u'du -♦- (u -H v) vur-^du] -*- [w'du -4- (u -+- 1) u" lu dv].

Il importe de remarquer que les règles et les formules du n* 151, dont la généralité est démontrée dans les n""' suivants, sont surtout utiles dans des recherches théoriques. Au point de vue pratique, les règles des §§ I, II, III, IV suffisent k tous les besoins. Ainsi, dans le cas de l'exemple précédent, elles donnent immédiatement

dy = {du -*- dv) u" -♦- (u -*- v) {vu'^*du -h «• lu dv).

Cependant^ comme on le verra au n* suivant, dans certains cas, on trouve la dérivée ou la différentielle d'une fonction composée plus rapidement par la règle du n"" 151 que par tout autre moyen.

156. Dérivée (différentUlle) ^un déterminant. Considérons, par exemple, le déterminant

=pP -f- 9Q + rR = «SH- rT -♦- kU «= vV -♦- wW -4- /T, V w f

Pi 99 •••9 /^ étant des fonctions de la variable indépendante, auxquelles correspondent les mineurs P, Q, ..., F. Si/), q, ..., f sont successivement considérées chacune comme seule fonction de cette variable, les dérivées de A sont

PDp, QDy, RDr, SD5, TDt, UDu, VDr, WDtr, FDf.

Donc, en faisant la somme de ces expressions, nous obtenons

ou encore

Dp Dq

r Du

Dtl7

Hp D« Do

p Dq r

ê Dt u

s t Du

V Dw f

V w Df

Formule analogue pour dA, ou pour un déterminant quelconque.

167. Dérivées partielles. Si Ton considère une fonction F (x, y, z) de plusieurs variables indépendantes x, y, 2, on appelle dérivées partielles de F par rapport aux variables x, y, je, les dérivées obtenues en regardant successivement x, y ou Zy comme seule variable indépendante. On les représente par les notations suivantes

dF dy'

dF dz'

D'après la définition générale (94), elles sont égales respectivement à

,. F( x-^ Ax,y,x) — F(x,y,g) A.F A,F A.F

lim — ^ ^-x-^ ^^ — - — - c= lim -r— , lim -~- , lim -7—

Ax Ax ' Ay Az

et, par conséquent, ne dépendent nullement de la forme de la relation qui lie X, y, z et F.

Jacobi emploie, pour ces dérivées partielles, les notations

dF dx

ày

dF dz

qui n*ont pas d'utilité réelle.

Si une fonction d'une ou de plusieurs variables indépendantes est exprimée, partiellement ou complètement, au moyen de variables auxiliaires t«, v, etc., on peut dériver la fonction par rapport à chacune des lettres x, y, z, u, v, etc., qui entrent dans son expression, en regar^ dant chacune d'elles comme indépendante. Les dérivées ainsi obtenues sont appelées dérivées partielles par rapport aux lettres x, y, z, «, Vy etc. On peut désigner ces dérivées par les notations précédentes.

relatives au cas où toutes les variables sont indépendantes; ou bien Ton peut recourir à une notation plus expressive. Soit, par exemple,

f aura cinq dérivées partielles que Ton désigne par

A l'aide de ces notations, on déduira de F =» /,

dF if Sf du if dv dx ix du dx $v dx

dF if if du if èo dy iy iu dy iv dy

dF if if du if dv

^^■^^■^ BSS3 MMBH^ V^B» ^H^^i^ p^a^^BV aiVV ^pwv^^ v^hb^m*

dz âz Su dz dv dz

Une fonction d'une ou de plusieurs variables peut se mettre sous diffi' renies formes^ quand on récrit au moyen de variables auxiliaires. Par exemple, si l'on pose

ti=acy, v = yzj F (a:, y, x) «uy* -*- sin xy -♦- ly«,

on peut écrire

F = /■(«, y, z, w, »), /•=» %yz h- sin ii -t- Iv,

F = © (y, II, »), 9= i-8intf-4-lv, etc.

Quand on parle des dérivées partielles d'une fonction par rapport aune leltrey il importe évidemment de faire connaître la forme donnée à la fonction, car la valeur de ces dérivées dépend de cette forme. Ainsi, les fonctions /*, 9, quoique égales entre elles, n'ont pas même dérivée par rapport aux lettres x, y, js, u ou v.

Rbmarqub. Souvent, dans l'expression d'une fonction F (x, y, z) n'entrent que des variables indépendantes x, y, z. Alors, évidemment, on peut écrire à volonté

-, dF dF „, dF cff «, dF dF

^•Mx^^dT' ^-dî;^"^^ ^-dT^^dz-

Dans la suite , nous n'emploierons la notation au moyen des d que

pour éviter des ambiguïtés. A la rigueur, il aurait déjà fallu en faire usage auxV» i5â,iS3 et même auparavant.

Application des notations précédentes. Soit F une fonction f{u, r, tv) des différences u = y — z, v=z--a?, ti7=a? — y de trois variables indépendantes. On aura

dx du dx dv dx dw dx dv ïw^

^^^ dF df df dy au dw dz dv du

Donc

dF dF dF dx dy dz

Ainsi ta somme des dérivées partielles par rapport d diverses variables, d^une fonction des différences de ces variables, est nulle. Par exemple, si

on trouve, en appliquant cette remarque,

dx dy dz dx dy

d^ dz

relations qu'il est intéressant de vérifier par le n"* i56. VI. DérlTalloQ et diffléreatlaiion des foDCtIons Implicites.

15S. Préliminaires. Lorsqu'il existe entre deux variables x, y, une relation /*(x, y) *= 0, y peut avoir une ou plusieurs valeurs correspondant à une seule valeur de x; ces valeurs peuvent être exprimées ou non au moyen des fonctions élémentaires (15). Il en est de même dans le cas où il y a deux relations entre trois variables, trois relations entre quatre variables, etc. Dans ce qui suit, nous supposons que les fonctions implicites considérées sont des fonctions élémentaires auxquelles s^appliquent, par conséquent, les règles des paragraphes précédents. De plus, nous étudions h part les diverses valeurs de chaque variable dépen-

dante en fonction de la variable indépendante. Ainsi, par exemple, si y* — X = 0, nos raisonnements se rapportent à y = -+- j/ar, y == — \/x séparément.

1 59. Cm d'une seule relation, i* Soient F (x,y)=0, une équation entre X, y; y =fxy une quelconque des valeurs de y exprimée en x que l'on peut en déduire, /* étant une fonction élémentaire. On aura identiquement F (x, fx) = 0. Le premier membre a la forme F (u, t?), u étant égal à x, v a fx ou y. On a donc, en dérivant les deux membres par rapport à x (i 52),

n («, ») ^ -^ F^". «) ^ = 0. «" F:(x,/x)-^Ff(x,/x)/"« = 0, OU encore, en écrivant y au lieu de /*x,

On en déduit, en multipliant par Ax,

F;(x,y)Ax-t.F;(x,y)rfy = 0, que Ton écrit plus souvent

•rr ax -^ jrdy =0.

ox dy ^

La valeur de la dérivée y' est donc donnée par la formule

y '"^ dx \ dx'dy)

Dans le second membre y est supposé remplacé par sa valeur fx déduite de F (x, y) = 0. On peut encore écrire sous forme de proportion

dx: dy =-r^ : — —••

'^ dy dx

Par exemple, si ax' -t- 6y- -+- c + 2Axy h- 2yx -+- 2/y = 0, du aT -\- hh -^ g , ,. , ^ , . .

2'' En prenant y pour variable indépendante, x pour variable dépendante, on trouve de même

dF d,x SF ^ d¥ , SF ^

dx dy dy dx ^ dx "^

La dernière relation s'écrit plus souvent

5* On peut introduire dans les calculs une variable auxiliaire (. Soit, par exemple, x «» çt, ce qui donne y = f{^t) =» ^(. On aura (i34)

dy dy dx di^dx'Â

ou ^*t==fxX<p*t.

Substituons la valeur de f'x tirée de \i dans la relation (1), il viendra

dV dx dF dy

iF dF

5j,p'.-.-^4.'« = 0, ou

et en multipliant par A(,

dF 3F

j-dtx-k'j^d,y = 0, ou

dx dt'^ iy dt '

dx'" ' dy"''' ^' ^^ (îx^ • 3y

On arrive directement & ces résultats en dérivant (diffcrentiant) Tidentité F (cpt, ^t) « 0.

io Que X, y, ou t soit variable indépendante, la relation entre dx et dy est toujours la même, savoir iF^dx -^ F, dy = 0.

160. Casd^un nombre quelconque de relations, i"" Si l'on a deux relations

on trouve, comme dans le cas précédent, que x, y, 2 ou I soit variable indépendante^

SF iF dF

— dx^-^dy-^j-Jz^O,

dx ' dv'*'^ ' dz

Par suite, si l'on pose

dF *F dy dz

Il ^

èy dz

if Sf df

Sx dx

àx

dz $z

on obtient

dy X

dx : dy : dz = X : — Y : Z:-5^ = — --, etc.

^ 'dx Y

3* Si Ton a trois relations F K y» «• w) == 0» fi^y y y «> «*) = 0, ? (x, y, «, u) = 0,

on trouve encore, quelle que soit la variable indépendante,

SF . SF . dF . iF

4^dx -*- j-dy -»■ -Tz^^ "♦"ir^^ = 0,

ày

df df df df

•sr-àx -♦-—• dv •♦- -^ rf* -*- x^du X dy ^ ^- -*"'

dx dy ^ dz du

équations d'où Ton peut déduire les valeurs de trois des différentielles clx, dy^ dz, duy en fonction de la quatrième, ou les dérivées de Tune quelconque des variables par rapport à une autre considérée comme indépendante.

3® Ce qui précède s'étend à autant de relations que Ton veut. Les variables peuvent être supposées imaginaires. Les formules du présent numéro contiennent d'ailleurs les formules les plus générales données précédemment; car toute fonction explicite peut être mise sous forme implicite, en faisant passer dans un seul membre tous les termes de la relation qui la définit. Par exemple, si l'on a, comme au n" i5S, y «=r F (t*,t;,tr), u — /j7, V « çx, w = ^pjr, on écrira y — F (tt,v, w>) = 0, u — pF ==: 0, V — cpx «=» 0, u? — ^|/x = 0, d'où l'on tirera

^ du

— -^rdv '

-dU7==0,

du — /''xrfx = 0, dv — (f-'xdx =* 0, dw —

(p'xcte — 0,

relations équivalentes à celles du n<* 152.

VU. Des délerinloaDls foncllonneU. 101

. Définition.

représente par

d(x, y, z)' d{Tyy,z)

les déterminants

dF dF dF

dF dF

dx dy dz

dx dy

df df df dx dy dz

èf if

àx iy

d(p d(p ddft

dx dy dz

ix iy

F, /*, 9 désignant des fonctions de trois variables x, y, je, qui sont indépendantes l*une de l'autre dans le premier déterminant, et, indépendantes ou non, dans le second. L'un et l'autre sont appelés déterminants fonctionnels de F, /*, cp, le premier par rapport aux variables X, y, z, le second par rapport aux lettres x, y, z. Des notations analogues s'appliquent à n fonctions et à n lettres ou variables. ExEHPLB. Si l'on a

X s=: X sin y cos z, Y == X sin y sin z, Z = x cos y

on trouve, tous calculs faits,

d (XYZ) , .

169. Application à la différenliation des fonctions implicites. Au moyen des notations du n" précédent, on peut écrire les relations différentielles du n^" 160, 2"* y comme il suit :

(?(F,/;y) ^ 3(F,/,(p) c/j/ $ (x, z, u) $ (y, z, u) dx

ou, en considérant à la fois toutes les variables,

dx : dy : dz: du

^ ^(F>/;9) . 3(F,/;cp) , 3(F,/',9) . 3 (F, /, 9) * (y> «, «) ' à (x, z, u) ' 5 (x, y, w) ' d (r, y, z) '

dont l'analogie avec celles du n" i59, i", est évidente.

163. Déterminant fonctionnel de fonctions composées explicites. Soient

ti = 'nX,Y,Z) i; = X (X, Y, Z), u; = 7: (X, Y, Z), X = F (r, y, z) Y = f{x, y, «), Z == ç (r, y, r).

On a

d { u, v,iv) ^ d (cp, y, tt ) $ (F, /*, 9)

Pour démontrer cette formule, il suffît de décomposer le premier membre, après avoir remplacé

du du du dw

Tx' d^' di^'-'d^'

par leurs valeurs

du du dX du dY du dZ cbc^dXdi'*"dY di^dZdi'^^^'

ou bien d'effectuer le produit des déterminants du second membre.

On ëcrit souvent la formule précédente sous la forme un peu ambiguë :

d (ti, V, w) d {uy r, u?) d (X, Y, Z) d(x,y,z) ^d(X,Y,Z) d(x,y,z) '

qui est plus facile à retenir à cause de l'analogie avec celle du n® i 54.

164. Déterminant fonctionnel de fonctions inverses. Si u = Xy v >= y^ w = z, auquel cas ^, ;(, tt sont les fonctions inverses de F, /", <p, il vient

d(y.y,it) i î(F./;y) d(x.y,z) d(X,Y,Z)

formule analogue à celle du n* 137.