Généralisation, Soient

tt = ^ (X, Y, Z, Ç), v = X (X, Y, Z, a tr - TT (X, Y, Z, ?), X = F (x, y, z), Y = /"(r, y, z), Z c= (p (t, y, z), $ == 6 (i, y, z). On trouve, dans ce cas,

/ $ (■!. y, tt) d if, <p, 6) ^ a (4<, y, tt) d (F, 9, 6) d («,!?,«>) ) a (Y, Z, $) 5 (X, y, z) 5 (X, Z, Ç) d (X, y, z)

<i(a;,y,«)~l a (I, y, tt) ^ (F, f, 8) 3(t,y, ir)a(F,/;9)

comme on le prouve aisément en décomposant le premier membre. Cette formule est analogue à celle du n" 152.

106. Déterminant fonctionnel de fonctions composées implicites. Soient

F (x, y, s, tt, V, ti?) == 0, / (x, y, y, tt, v, te) = 0, cp (x, y, r, m, r, ti?) = 0.

d (tt, v, 11?)

On trouve -r-^ r au moyen de la relation

, ^., ^(F,/',cp) ^ a(F,/,(p) d(tt,t;,K;) ^ «î («> y, «) ^ (w> V, w) d{x,y,z)'

analogue à celle du n"" 159. Pour la démontrer, il suffit d'effectuer le produit indiqué dans le second membre, puis de simplifier les éléments du déterminant ainsi obtenu au moyen des relations

d^ r. d^ ^ d¥ ^ df ^ d(p ^

167. Généraliêotion. Soient F = 0, f^O, (d=0, ^ = 0^ X^^' cinq relations entre x, y, z, variables indépendantes, ti, v, tr, variables dépendantes, ^, y) variables auxiliaires. On trouve

^ a (iT, y, Zj Ç, r)) à (m, t?, tu, g, rî) d (x, y, z) '

formule facile à vérifier, en effectuant la multiplication du second membre, après y avoir remplacé le dernier facteur par

d (x, y, z, Ç, Yi) '

La formule précédente est analogue à la première du n"" 462. On remarquera que l'exposant de (— i), dans le premier membre, est égal au nombre des variables indépendantes.

16§. Application. Soit, par exemple,

ti$ — x = 0, t?Ç — y=-0, trÇ — jr = 0, x* -4- y* -f- 2* -+- Ç* == 4.

On trouvera, par la formule du n** 167,

d (m, v, tt?) 1

Trois des quatre relations qui lient t, y, z, 1/, v, u?, Ç peuvent se mettre aisément sous forme explicite; mais chaque fois qu'il y a, au moins, une relation implicite, comme ici, on mettra toutes les équations données sous forme implicite afin de pouvoir appliquer la formule du n» 167.

169. Remarques. 1*" Le cas des fonctions implicites de plusieurs variables (166) comprend le cas des fonctions explicites (165), puisque les relations explicites peuvent se mettre sous forme de relations implicites (160, 3®). En particulier , la formule du n^" 165 peut se déduire de celle du n"* 166, au moyen du théorème de Laplacc sur la décomposition des déterminants en somme de produits de déterminants. 2'' Les formules données plus haut s'étendent au cas où le nombre des variables est supérieur à trois. Z"* Dans tout ce qui précède, les variables peuvent être supposées imaginaires.

- S9 — CHAPITRE II. Dérivées et différentielles d'ordre quelconque