DES FONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE

I. Vonctioos explicites. 170. Défîniiiom et notations. La dérivée seconde de Fx est la dérivée de la dérivée F x ou DFx; on la représente par F"x ou D'Fx; la dérivée troisième de Fx est la dérivée de la dérivée seconde F"x ou D'Fx; on la représente par F'"x ou D'Fx. De même, P^x = D*Fx, F'x = D»Fx, ..., F'->x ou F'x = D"Fx désignent les dérivées 4«, 5", ... n'^** de Fx, et sont respectivement les dérivées de F'"x, Fi»x, ..., F^-'^x. Il résulte immédiatement de là que D*DTx =. D*+»Fx.

On appelle, de même, différentielle seconde, troisième j ..., n*^"" de Fx et on représente par rf'F, d'F, ..., d"F, la différentielle de dF, cPF, ..., d"-*F. On a évidemment (/*rf'F = d^-^^F.

Pour calculer (/*F, (/'F, ..., «{"F, on doit, d'après la définition (97), multiplier les dérivées D(rfF), D(d*F), ..., D(d"-«F), par Ax. Par convention^ pour simplifier, on suppose égaux les Ax employés dans ces multiplications successives. On trouve ainsi, en se souvenant que Ax est indépendant de x,

cPF = D (dF) Ax = D (DF.Ax) Ax = D(DF) Ax« « D'F. Ax« « F"x.dx», d»F=D(d«F)Ax=D(D-F.Ax*)Ax=«D(D^F)Ax»=D»F.Ax»=F'"x.(ix%

et, en général,

d-F« D(d-«F) Ax = D(D— «F. Ax»-*) Ax = D (D— «F) Ax- « D'F.Ax-

= F<->aT.dx*.

On déduit de 1&

dx* dx* dx"

Par analogie, on écrit quelquefois D'^F ■= F<»x -= Fa, et aussi d**F = F.

Dans la suite, pour abréger, nous ne nous occuperons, le plus souvent, que des dérivées, laissant au lecteur le soin d'écrire les formules pour les différentielles.

171. Fonctions simples. i«De'=e', DV = e*, ..., D*C = «'. De même, D"a'== a' (la)*.

2» D sin X = cos x, D* sin x «^ — sin x, D' sin x =- — cos x, D* sin x

=3 sin X. On trouve de même les dérivées d*ordre quelconque de cos X, Sh X, Ch X. On peut donc écrire

D*** sin X =» sin x, D*'* cos x = cos x, D''' Sh x = Sh x,

D*p^i sin X = cos x, D*p+* cos x = — sin x, 0*/»+* Sh x = Ch x,

D*'+' sin X = — sin x, J)*p^^ cos x = — cos x, D'^ Ch x «= Sh x,

D*H-»sinx=» — cosar; D*''^*cosx ~ sin x; D*''+* Ch x = Sh x.

Ces formules subsistent si x est remplacé par x -t- a.

Autrement. On a successivement Dsin â?=cos x= sin (x + { tt); D'sin x = D(x ^ A tt) = sin (x -h tt), etc. En général, D"sin x = sin (x + > nn). De même, D* cos x = cos (x -4- J nîr).

3» D(x-) = mx"-* ; D'(x-) = »w (m — -J) x"»-* ; D'(x*") = m (m — i) (m — 2) X"-'; ... D" (x-) = m (m — 4) (m — 2) ... (m — n -4- i) x— •. De même, D" (x -*• a)"» = m (m — 1) (m — 2) ... (m — « + i) (x -♦- a)'*~". En particulier a) D»(x-«) == (— 1) (— 2) . . (— k) x-*-» « (— 4)* •1.2.5...fcx~*"*; p) si m est entier positif, D"'(x -t- a)** = 1.2.3.. .m, D*+* (x -♦- a)* = 0.

4* Dix = X-', DMx = D-* (x-*) -= (— 1)-* i.2.3... (n — 1) x— • De même, D"l(x -i- a) « (— l)"-* 4.2.3... (n — 4) (x -♦- o)-" ; D-L (x -*- a) = (—4 )-» 4.2.3... (n — 4) M (x -h a)-».

179. Fonction de fonction et fonctions composées. Si u^^ f{Vy ir),

(fu d/' c{v d/* dw V = ©X, U7 = éxy et, par suite, — -= -f- -- ^ ~/--t- » on trouve aisé-

dx dv dx dw dx

ment les dérivées successives, en dérivant cette somme de produits,

puis celle qui en provient, et ainsi de suite. De même, dans le cas d'une

fonction de fonction (voir 494, 4"*). Mais les formules donnant la

dérivée n*'*^ d'une fonction de fonction ou d'une fonction composée sont

compliquées et peu utiles. Nous ne considérerons que des cas particuliers.

I. D"F (ax -♦- 6). Posant ax -+- 6 = u, on trouve D,Fii = oF'u, DjFtt = aDsF'u = a*¥'% DlFu = a^F"'u, ..., D"Fm = o*F-k, ou, explicitement, D][F (ax -♦- 6) =. a"F" (ox -t- 6). Exemples : D** (ax -♦- 6)", D" l(ax -*- 6), D" sin (ox -+- 6), D"e«'+* = aV"'+*.

II. D" (au) = aD"t*, D" (u 4- r — w) = D-u -h D"v — D"u?. Applications : a) D" (Ax* -♦- Bx*" "* -♦- Cx""* -4- . . ) t= D"* (Ax") -h

D« (Bx*-*) -H D- (Cx"»-*) -*- = D- (Ax-) «> AD" (x") «=» 4.2.3...m.A.

P)D''--^=D'rJ----4-— -1==(---4)M.2....nr ^,, ^, -h , ^ ^i T ^' X*— 4 [x— 4 x+4j ^ ' [(x— -4)"+« (x-4-4)*+*J

En général, on peut trouver, de même, la dérivée n'^'"' de toute fraction rationnelle, décomposée en fractions rationnelles simples A (x — a)~*^,

y) Darctangx= j-^=^.|^;^— .-^;

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D" arc tang x «= D"~* — ; : =>

, ^ 2t[x — t X-HtJ