III. Formule de Leibniz. On a successivement

D (uv) .= ttDi? -+- uDtt, D»(tti;) = uD*v -*- 2T)uDv -*- vDk, D»(«i;) = wD'v -♦- 3DuD*t; -t- 5D»wDt7 -4- vD'k, etc.;

puis, en général, nf, n„ ^s» etc. désignant les coefficients binomiaux,

D"(t/i;) = wD"i? -^ niDttD"-*!? -4- w^D^mD»-»!; -♦-nsD'MD"-'r-4- ... -4- rD"i/,

formule vraie encore, si Ton remplace n par n -i- i ; car

D'«+«(ttt?)=(wD*+*v-+-niDMD"i; -i- n«D't«D"-'v -4-n5D*uD«-*r-H • • H-D-tiDi;) -4- (DttD"v -4- WiD*tiD"-*t; -4- nJ)^uD'''*v -4- .-• -4- n,iD"tiDi? -♦- vD"+*u) = ttD*+*r -4-(ni-4-i) DiiD"v -«• (n8-*-ni) D'uD'-'v -4- (nj -4- ns) D'uD*-*!;

-♦-...-♦- vD»+*w.

Mais wi -4- i = (n-*- 1)1, (nt -4- iii) = (n -4- i)8, (nj -4- n«) = (n -4- 1)5, etc.

Donc

D"+*(ttt?) = «D'+'t? -4- (n -H 1)1 DuD"t7 -4- (» -h 1), D^iiD»-*!?

-*- (n + i), D'iiD"-*r -h etc.

Il existe des formules analogues pour J)'*(uvti;), D''(t«VK7<), etc.

Exemples : i' D» [x(4 -4- x)"] =sx. m (m — 1) - • (m — n -♦- 1) (i -4- x)"»-» -*- «. 1. m (m — i) (m — 2) ... (w — n -h 2) (1 -4- x)"'-"+* = m (m — i) ... (m — n -4- 2) (1 -h x)'"~"+* (mx -4- x -4- n). 2»Dv cos 5x=e*'(a* cos 6x — ni o'^'ft sin 6x — n^ a*~'6* cos 6x -4- etc.)

Remarque. Si p cos a =» a, p sin a = 6, on a aussi D"6^' cos 6x «s p"eo' cos (6j: h na). En effet, on trouve successivement :

De"' cos bx = ad" cos 6x — 6e" sin 6x=pe"' (cos 6x cos a — sin bx sin a)

«= pe"* cos (5x -4- a).

DV' cos 6x = Dpe*' cos {bx -♦-«) = p V' cos (6x -4- 2a); etc«

En supposant a, 6,x, réels, e*" cos 6x est la partie réelle de e(*+^')'. Donc D"(e'"cos 6x) est la partie réelle de D"c(«+*')* = (a + 6i)" e<«+"".

pas (n* 134, ligne 4, quand les fonctions n*ontpasunc dérivée unique ; n"* 442 quand v est nul; etc.). Ainsi (comparez n° 116) il n'est pas sur

que Dja \ f{^9 «)rf«= I>îtx \ /"(^j a)<ir = Dgcfi^j «)> comme on l'admet

souvent. Voir aussi le second exemple ci-dessous,

• • / y x\ X* — V* Exemples. !• Dîy ou DJ, { x' arctang - — y*arctang- )=-5 =^ •

2* Soit 9 (x, y) =» xy (x* — y') : (x* -*- y*). Cette fonction est telle que pour X fini, y = 0, 9(x, 0) = 0; pour x = 0, y fini, (p(0, y) = 0. Pour X = 0, y = 0, elle est indéterminée, au moins si x, y peuvent ne pas être réels; pour la déterminer, posons, par définition, cp (0, 0)=^0. On aura

9i {Of y)=lim j [cp (x, y) — 9 (0» y)] : x j =lim( xy ^^ "^^^ : x )= — y,

cp^ (0, 0) =lim j [cp (x, 0) — cp (0, 0)] : x j =«lim (0 : x) = 0, (p;;(0, 0)=lim I [(pi (0, y)-9; (0, 0)] : y j =lim (--y : y) = - i ;

9; (X, 0)=lim j [9 (x, y) - 9 (x, 0)] :y| =lim^xy|5-^^:yj = x,

9; (0, 0) =lim I [9 (0, y)~ 9 (0, 0)] : y j =lim (0 : y) = 0, 9;; (0, 0)=lim i [9; (x, 0)— 9; (0, 0)] : X j =lim (x : x) = i .

On n'a donc pas 9^^ (0, 0) = (p'J^ (0, 0), ce qui provient de ce que l'une des règles sur la dérivation (celle du n"* i 42, quand t; «= 0, v étant ici X* + y*) n'est pas applicable dans le cas actuel.

17 S. Théorème général. On peut intervertir^ comme on le veut, l'ordre des dérivations d effectuer sur une fonction de plusieurs variables. On déduit ce théorème du précédent, comme on détnontre en arithmétique le théorème de l'interversion des facteurs d'un produit en partant du cas particulier de deux facteurs. Un exemple suffira. On a successivement

K»^.yU = D;y(Di^w) = Dîa:(D*.,j,u) = Dy[DL(D,^w)] -= Dy[D„(D„ytt)]

« D;, [DÎ,(DÎ,tt)] = D«.[DÎ,(D«,u)] =3 DJ, [DÎ.(D»] = D> [D^(D,ii)]

= DJ,. [D,,(D,ii)] = D*, (D*y,.tt) « Dîy (D.V.tt) = D, [D», (D»..u)]

^ D, [Dîy (DJ..U)] « Dî«y^ll.

Dans ces diverses transformations, nous avons chaque fois permuté entre elles deux dérivations successives par rapport à deux lettres dilTé-

rentes, de manière à réunir toutes les dérivations par rapport à chaque lettre.

Rbmarqub. Le théorème s'énonce encore ainsi : on peut, dans l'expression Djyatsy ou DxDyD^D.DjeDy, intervertir comme on le veut les facteurs symboliques Djc, Dy, Dj.

CoROLLAiRB. Lc uombrc des dérivées partielles successives d'une fonction de plusieurs variables est moins élevé qu'on ne le penserait d'après len" 176. Ainsi /l(x, y) n'a que quatre dérivées partielles du troisième ordre, Di./*, DJ./, Dj,,/*, D»./".

IIL Vooclioiis Impllelles. 179. Une relation. De la relation F (x, y) -=3 0, déBnie au n* 139, on déduit d'abord F;(x,y) -^ y' Fi(x,y) ss 0, que l'on peut écrire 9 (x, y, y') = 0. Celle-ci donne, à son tour, d'après le n"» i60, l'équation

?i(a?, y, y') -*- ?i(», y, y') y' -*- 9Î'(jc , y, yO y" •= o,

qui fait connaître y" et peut se mettre sous la forme i(/(x, y, y% y) = 0. On déduit, de là,

+L H- i{;;.y' H- ip;, .y" + 4;;,, .y'" = 0; et ainsi de suite.

Exemple. De xy =3 a, on tire successivement

y ^ xy' = 0, 2y' -♦- xy" « 6, 3y" -4. x y"' = 0, etc.

ISO. Autrement. En se servant du théorème de l'interversion des dérivations, l'on peut écrire les relations du n® précédent comme il suit :

(JF iF , ^ d«F ^ (Î*F , 3»F „ JF „ ^

a"F , d'F , ^ d'F ,, a»F ,^ ^ d«F ,, ,d«F , ,, da^» 3x«(îy^ (îxay«^ ^y' ^ àxiy^ ay'*^^

dF

ou, en introduisant les différentielles, dV S? d»F ^F d*F dF

^-(ix -♦- V- dy = 0, v-T rfx" -4- 2 ^-^ rfxcfe -^ TT ^y' -^ %- d"y = o, etc.

ix dy ^ Jx« dxdy 3y' oy

Si l'on avait choisi une variable indépendante (, d*x, d^x ne seraient pas nulles et la dernière relation serait remplacée par

3*F . d*F i*F iF dF

-5—. CMC' -^ âç-TT^dxdîy -♦- v-T dy' -♦- -T- cPx -♦- -r- (Py = 0.

dx« ixdy, "^ dy* ^ 3x $y ^

1S1. Plusieurs relations. Les relations du n<> 160 donnent, pour déterminer cPjfy d^z^ l'équation

3x^ 3y^ ^ dz^ dxSy ^ Sxdz dyiz ^

SF iF

•^Ty^y^Tz^'^^^^

et une équation analogue en f. On procède de même pour les dérivées et les différentielles d'ordre supérieur.