CHAPITRE II. Méthode des limites

1. Déllailioiis. 16. Infini. En mathématiques, le mot infini a un sens conventionnel qu'il faut apprendre dans chaque cas particulier. Nombre infini, temps infini, espace infini, sont des expressions qui ne signifient rien par elles-mêmes, parce que nombre, et infini, dans le sens propre du mot, sont des termes qui s'excluent (Voir Caucht, Sept leçons de physique générale. Paris, Gauthier- Villars, 1868, leç. III).

17. Limite finie. On appelle limite d'une quantité variable X, une quantité constante A, dont la variable approche indéfiniment sans jamais l'atteindre; ou telle que la différence X — A entre cette variable et cette constante, puisse devenir et rester aussi petite qu'on le veut en valeur absolue, sans jamais être nulle. La limite A de X satisfait donc k trois

conditions. Exemple :S» = ^-*-^-f-|-*-»" -♦--^«=1 La pour limite

l'unité; car 1 — S» devient et reste aussi petit qu'on le veut, sans jamais être nul, quand n va en croissant indéfiniment de manière à dépasser un nombre quelconque (ou, comme on dit, pour n«»oo); la limite de S» n'est pas 2, car 2 — S» qui décroit sans cesse, ne devient pas aussi petit qu'on le veut.

IS. Remarque. La variable X, dont on cherche la limite, est toujours une fonction de une ou plusieurs variables indépendantes, qui tendent, par hypothèse^vers des valeurs inaccessibles. A cause de cette supposition, la valeur limite A de X est dite ne pouvoir être atteinte, quoique, pour certaines valeurs des variables indépendantes, X puisse prendre la valeur A. Ex. : Si, par hypothèse, x ne peut devenir nul, x sin r~*, qui est compris entre — x et + x a pour limite 0, quand x s'approche indéfiniment de zéro. Néanmoins, pour x"* = tt, 27r, Stt, etc., x sin or"* =0. La représentation géométrique de la fonction fait très-bien saisir le sens des mots sans jamais l* atteindre.

19. Limite infinie. Limite indéterminée. Limite (Tune constante. Une variable X est diie avoir une limite infinie^ si X"* a pour limite zéro, c'està-dire si X"' devient et reste aussi petit qu'on le veut sans jamais s'annuler; une limite indéterminée, si clic n'a ni limite finie, ni infinie.

On dit quelquefois que la limite d*nnc constante est cette constante même.

%0. Exemples I. La somme de n termes d'une progression gëomé* trique de raison q, pour n«-> oo, a une limite finie, si 9* < 1, infinie, si 9'>i (29, I); infinie, pour q = i; indéterminée, pour q = — i. If. Y = x — E(x)9 oscille continuellement entre (valeur effective) et I (valeur inaccessible), sans avoir ni 0, ni i pour limite, car la différence entre Y et ces quantités ne reste pas aussi peiite qu'on le veut. De même i : [x — E (x)] oscille entre 1 et ac» , sans avoir de limite. Z = x — E(x)-4-x~* est compris entre x~* cl x"* -4- 1 et n'a pas non plus de limite. U = 2x — E (x) = x — E (x) -4- x est compris entre x et X + 1 ; U a donc une limite infinie, et U'^ a pour limite 0, pour x = 00 .

*tl. Oscillations. Ces exemples prouvent que les quantités tendent vers leurs limites, soit en variant toujours dans le même sens, soit par une série d'oscillations, dont l'amplitude peut être finie ou infinie, si la limite est indéterminée.

II. PriDcIpeA de la méthode des limites t9. Lemhe. Une quantité variable X ne peut tendre^ en même temps, vers deux limites distinctes A et B. Car si X — A devient et reste aussi petit qu'on le veut sans s'annuler, X — B = (X — A) -♦- (A — B) devient et reste aussi peu différent de (A — B) qu'on le veut, et, par suite, X n'a pas B pour limite. Une variable peut avoir des limites distinctes, pour des valeurs différentes des variables indépendantes. Ainsi, x sin x~* -4- (a — x)'sin(a — x)""*pour X s= 0, a la limite a* sin o"~*; pour x = a, la limite a sin a~* (30, 34, F).

95. Principe I. Les limites XetBde quantités variables X, Y, égales dans leurs variations^ sont égales. X — A, et, par suite, Y — A, deviennent et restent aussi petits que Ton veut, sans s'annuler; donc Uni Y = A. Mais lim Y==B; donc (22), A = B. Ce principe supprime toute différence entre les valeurs limites et les valeurs effectives des variables, dans le calcul des égalités.

94. pRiNaPB II. Si deux quantités variables X, Y inégales, ont même limite A, toute quantité intermédiaire Za la utéme limite. En effet Z — A, compris entre X — A, Y — A devient et reste aussi petit que l'on veut, en même temps que ces quantités. Ce principe subsiste si Y est constant.

96. Principe III. i^' cas. La limite A d'une variable X toujours positive (négative) est positive (négative) ou nulle. Car si A était négatif (positif). X deviendrait négatif. 2"** cas. La limite d'une variable X toujours p(us grande (petite) que A, est égale à k ou est plus grande (petite) que A

(voir 3* cas). 3* cas. La limite d'une variable X plus grande {petite) que Y, est égale ou plus grande (petite) que lim Y. i** liiu X — lim Y = lim (X — Y) (30). 2«» lim (X— Y) est positive (négative) ou nulle, a» Donc, etc.

96. AxiÔHB FONDAMENTAL. Une quonlité toujours (dé)croissanle a une limite finie ou une limite infinie positive (négative). Car elle dépasse, en valeur absolue, une grandeur donnée quelconque^ ou il y a une première grandeur qu*elle ne dépasse pas et qui est sa limite finie. Cet axiome, avec ou sans les principes précédents, sert à démontrer qu'une variable a une limite. Si on le rejette, on doit établir toute l'analyse sur une base purement formelle (Voir R. Lipschitz, Grundlagen der Analysis, Bonn, 1877).

97. Passage d la limite. Passer à la limite, c*est déduire, au moyen des principes précédents et des propriétés des fonctions, d'égalités ou d'inégalités entre deux variables, des égalités ou des inégalités entre leurs limites. Cette opération ne suppose pas que la limite d'une variable en soit une valeur effective.

M. Méthode des limites. La méthode des limites consiste à trouver des relations entre des quantités, par passage à la limite, ces quantités étant limites de variables ayant entre elles des relations connues. Remarquons, avec Edclide (vers 300 av. J. C), que cette méthode ou une autre équivalente, est indispensable, dès les éléments, pour définir les quantités incommensurables et les opérations sur ces quantités (l'addition exceptée).

%9. Exemples. I. (1 -+- 13)» > 1 + n^ > n|3 ; donc < (i -*- (5)-* < (n^)-« . Si n=<30 , lim (1 -♦-(3)-»=0, ou lim (1 -f-(3)" = oo . Pour n fractionnaire, compris entre p,p-*- 1 , même conclusion, car(i -♦-j3)P<(i -4-j3)"<^(1 '\'^Y^K

II. lU = i "* -♦- 2~* -f- 3"* -♦-•••+ n"' , pour n = 2*, est compris entre i +^ AetA; pourn=3 0o, on a donc (24, 19) lim H»=H=oo.

III. Lti»:=Hti» — Hn est plus grand que ;i fois (2/1)"' ou |, plus petit que n fois w^ ou i . En outre, quand n se change en (n + i), Lt» augmente de

2n -^ 1 ■** 2/n- 2 n t- i°^2/i 4-1 2ii-^2'

h%n croit donc avec n. Lin, compris entre | et 1 et toujours croissant, a une limite L finie comprise entre | et 1 (15,26; voir n"* 44). En retranchant,

de Ht», successivement 2 fois I-h ^ et"^ "' "^ â~y ^" trouve :

De mémC; pour #? «= oo, en posant Lkn »= ^kn — H^, i i 1 i 4 .

■Il

ont des limites L',L", telles que |< L' < 1 i, i ^< L" < 2.

IV. Définition et recherche de la longueur de la circonférencej de l'aire du cercle (voir n** 406-408). Euclidb et ÀRCHiMèDE ont exprimé ces quantités au moyen du nombre n, Lambert (4728-4777) a prouvé (4764) que TT et tt' sont incommensurables (Legendre, Géométrie, note IV). On n'a pas démontré que tt n'est pas racine J*une équation algébrique, à coefficients entiers, du 2^ degré, ou d'un degré supérieur.