VARIABLES
I. Vonetlons explicite». 1S9. Définition. La différentielle totale d'une fonction u^^fix^y^z^ ...) de plusieurs variables est la somme dzU + dyU + cl,t« -H ... des différentielles partielles (97, 157)
df . , df. - df.
dgU =9 -^ (la?, ayU = — dyj a,ti =-'- dz, ...
dx rfy ^^
„ . a: - dx j xdy , yefa — xrfy
2o t* = œy -*- yz H- zx, du = (y -*- z) dac -♦- (x -4- z) dy -*- (x -*- y) dz. 1§S. Fonction de fonction. Soitu = Fv, v = /'(x,y, z). On a (155)
- dF. j dF . ^ ^i
d,u «= -7- dsV, d^u B= — d,t?, duU == -7- d.v,
du e= d,w -*- d,i# -»- d»u =3 :ï-(d,v -«- d,» -4- d,v) = -r-d»,
ai? dv
c'est-à-dire que la règle est la même que dans lé cas d'une seule varia-
ble(155). Par suite, comme au n° 135, si ti = Fî?, v = çtr, w = ^(x,y,<),
X X t/dx — xdy ducsF'vdv, dv = (i>'wdw.Ex.: dl8in-= cot- x "^ : — -'
IftJ. Fonction composée. La règle est auçsi la même que dans le cas d'une seule variable indépendante. En effet, soient u*=»F{v, tr), v = cp (r, y, z), w = ^ (jr, y, z). On a (151)
^^j ^^ j j ^F. dF, ^ dF. dF dv du? dv dw dv div
et, eo ajoutant,
du = d,u H- d^u H- d,v = T-(iv -h d^v -^ d.v)-^ — {d,w -♦- d^w + Au;),
dv dw
Ex. : d (xy -♦- yz -h zx) = (ydx -i- xdy) -*- (zrfy -h ydz) -*- (xdz -♦- zdx).
ISft. Différentielles successives, i"* Soient
On trouve, en supposant les nouveaux (iâ^^ dy égaux aux anciens,
dV d*/" d*/"
d'tt = d^dii + d,dii = -4da:t + 2—^- dxdy -^ ~A dy«.
* dr* dxdy ^ dy* '^
On a ensuite, en procédant de même,
d'u == dxd*M -t- dyd*u «=
-T-^dx' -+- 5 3--^ dx'dy -h 3-t—/-r dxdy* +-p^dy'. dx» dxMy ^ dxdy* ^ dy* ^
La loi de formation des différentielles successives est facile à voir si l'on écrit
ou, symboliquement,
l'exposant signifiant que l'on doit faire sur l'expression symbolique
comprise entre parenthèses, des opérations analogues à celles de rélévation au carré, au cube. On conclut, en passant de l'ordre n à Tordre n -4- 1 , que l'on a, en général,
d'u^Ç^dz^ldyJu,
OU encore, en écrivant, en abrégé, rfpour^rfx -♦- T"*'y>
La raison de l'analogie de cette formule avec celle du bînAme est
la suivante: Pour déduire d^du de du^ il suffit de multiplier du^ par
— rfjt; pour déduire dydu de rfw, il suffit de multiplier du par -T-dy\
donc on obtient d«(fu + d^du ou d!^u en multipliant symboliquement du
nsiT^dx-i du: la même propriété s'observe quand on déduit d'v
^ dx dy
de d*Uy d*u de d^u, etc. Donc la loi de formation est générale (compares
2" Soit u = f{x, y, z). On aura
^ df, df. df, idu = ^ cix» ^ ^^ cfady H- 5-^dxdz,
Les opérations reviennent, comme on voit, à une multiplication
symbolique par t- dx, — dy ou ^ rfz. On a ensuite
cPti = dxdw -t- dydu -4- AdM =
Kdz*^^<Py^^dz*^i^dxdy^^Prdxdz^^^dyi^ d?" dy*^ dz* dxdy ^ dxdz dydz '
ou, en abrégé, ^ ^ rf \«
De même,
\dx dy ^ dz J \dx dy ^ dz J '
186. Fonction de fonction et fonctions composées. Soient u «=» f{Vy w)j
et, par suite, du===-rdv -^-r-dw. On aura
dv dw
\dv* dvdw dv J \d\>d\o dtv dto }
\dt;' at?rfti7 au?' y dv dw
et ainsi de suite, d'après le n'' 184^ en observant que dvydw ne sont pas indépendantes de x, y, z, ... comme dx, c/y^ cfz. Tétaient au n** précédent.
II. Vonction» lonpilcite». 1S7. Première différentiation. 1» De F (x, y, Zy u) = 0, on déduit, par le n° 159, en différentiant par rapport
^dx^-d.«==0, 5^rfy-*-5;;rf,t.==0, -d.^^^d,^^0, (1)
et en ajoutant, puisque du =^ dxU + dyU + cfjt«^
rfF ^ «iF ^ dF ^ rfF ^
dx dy ^ dz du ^^
La relation (â), qui se déduit des relations (i), est, à elle seule, équivalente à celles-ci. Car
. du , du , du , du = -rr dx '\- -r- du •\- -r- dzi
dx dy -^ dz
on peut donc écrire, au lieu de (2),
\dx dudxj \dy dudyj \dz dudzj ~" *
Comme dx^ dy, dz sont des constantes indépendantes l'une de l'autre, on déduit de là,
dx dudx ' dy du dy ~ ' rfz du dz "~ ' qui sont identiques aux relations (1), aux facteurs dx, dy, dz près.
3^ Si tiy t? sont des fonctions implicites de x, y, z^ définies par deux
relations, F{x^ y, Zj Uj v) = 0, /[x, y, z, u, v)a> 0, on trouve, de même, par le n*» 160,
dF , dF . dF. dF , dF ^
-j- ax -^ -^dy -^ -r dz -h -7- c/m -+- -r-oP = 0,
dx dy dz du dv
df ^ df ^ df ^ df ^ df ^ dx dy dz du dv
Ces relations restent de même forme, quelles que soient les variables indépendantes.
t^H, DifférentxaJtions successives. Il suffit d'appliquer les formules du n^ 187, ou les règles correspondantes aux résultats de la première^ deuxième et troisième différentiation. En différentiant les produits
^d., ..., f-au, ... on devra observer que leB différentieUes seconde. dx ^ ^ du ^
des variables indépendantes sont nulles. Soient, par exemple,
r./ \ r. ^ j àF j dF,
F(x, M, tt) 8= 0, 7-djc -♦- -7- dti -H -— du = 0. ^ "^ ^ * dx dy ^ du
Alors, u étant la variable dépendante,
-T-^dx' -i- 2-r- 7-da?dy -♦- 2--— ^-dxdu -4- -r^dy^ -¥- ^-r—rdydu dx* dxdy ^ dxdu dy* ^ dydu ^
d*F ^ , dF ., -H -r-rdtt' -♦- -r- d*u ^ 0.
du* du
189. Remarques générales sur la différentiation, I. Par la pensée ou en réalité, toute relation entre des variables peut être mise sous forme implicite F(t, y, z, ... t/, v, ...)== 0. D'après les n**» 133, 160, 183, 187, on déduit de là,
F;dx -♦- F'ydy -f F\dz -h -. -♦- F^du h- F[dv -4- .. = 0,
quelles que soient les variables considérées comme indépendantes et quel qu'en soit le nombre. Pour trouver des relations entre des différentielles secondes, il faut, au contraire, savoir quelles sont les variables indépendantes.
II. Les règles de différentiation sont les mêmes pour les fonctions élémentaires d'une variable réelle ou pour les fonctions d'une variable imaginaire.
