CHAPITRE ly. Changement de variables
I. Une seole varliible Indépendimte. 190. Problème proposé. Étant données une ou plusieurs relations (160) qui déGnissent y comme fonction de x, deux ou plusieurs relations qui définissent x, y, comme fonctions de u et f, on se propose de trouver les dérivées de y par rapport à x, en fonction des dérivées de u par rapport à t. Pour cela, on exprime d*abord les dérivées de y par rapport à x, au moyen des dérivées de y et de x par rapport à t {changement de variable indépendante); puis les dérivées de y et de x par rapport à t, au moyen des dérivées de u par rapport à t {changement de variable dépendante).
191. Changement de variable indépendante, 1® On a successivement (1 72)
dy dy dx d*y d*y dx* ^ dy d*x
dt'
dx
dt*
dx*
dt*
dx dt*
d'y dt''
rf»y dx'
dx*
dx d'à dt dt*
dy dx
dt* *
et des formules analogues pour les différentielles. On peut en déduire les valeurs cherchées de y^, yj^', y[.", etc.
2<* Ces valeurs s'obtiennent plus facilement comme il suit. De la première des équations précédentes, l'on déduit
^=* ou ^ = ^ = *y. (2)
dx dx Ax dtX dtX
On trouve les valeurs cherchées de y», yi\ yi' , etc., en fonction des dérivées de même ordre de x, y par rapport à (, en appliquant cette formule à y, y«, y*', etc. On obtient ainsi
dy
dyi dx d'y dy d'x
dy dt ^ dx dx
d*y dyl dx* dx
d( d( d(* d( dt* dx dx*
dt
dt dt*
et, de même, pour y^", en supprimant au numérateur et au dénomina-
dx* teup le facteur 7-2- ,
du'J d^y dx*
^•y ^yi' d^ ^'* **
dx dy d'x dx d^x d}y dy d*x* ^'& di^ dl dl* dt* '^ dt dt'
dx* dx dx
dx* '•'^
dt di^
Exemples, io On trouve, en appliquant les deux premières formules à l'expression du rayon de courbure p d'une courbe.
\ dx»/ \dt* dt*J d*y dx d*y dy d*x
dx* dt dt* dt di*
â^" Quand y et x sont donnés explicitement en fonction de (, le procédé qui a servi à trouver les formules permet d'obtenir aisément y^, yj^% etc., exprimées au moyen de (, sans recourir à ces formules. Soient, par exemple, x = a< — a sin (, y =s a — a cos < (équations de la cycloîde). On trouve
sin t „ {^ — ^os cos t — sin* t i
^' " i — cos t ' ^' ~ a(i— cosO' o (1 — cos ty '
De même, si x =3 cos (, on trouve
3« Cas particulier oùy=t. Alors ^ = i > -j| = 0, j^ «= 0, etc. Donc
cPx d^x* dx d»x
dy^ çPy ^^ d»y dy* dy dy*
dx dx' dx^ dx*' dx*^ ^» '^^' ^^^
dy dy* dy*
Exemple. On trouve, au moyen de ces formules.
dx* dy*
Rbmarqub. La première formule (5), rapprochée de (2), peut s'écrire
i^y ^ d^y ^ Ay Ax diX ilyx
Donc, la dérivée (Tune fonction y y par rapport à une variable x, est égale au quotient des dérivées ou des différentielles de la fonction y et de la variable x prises par rapport à une autre variable t ou y. Au fond, cette proposition est identique à celle qui termine le n*' 155. La seconde des équations (i), à laquelle on peut donner la forme
dly d^x
Ax* dyx' '
d*y d*x dx dy
prouve que-T-^ , -t-| sont de signes contraires, si t** ^"T" » ^®^
On peut encore déduire de (1),
^^rfîy dfx d^y dtx* Ax* d,x* Ax * et, si l'on fait A x «» d,Xj
dfy = dly + d?x ^,
ce qui prouve qu'il faut se garder d'étendre au second ordre, ce qui a été dit pour le premier (189,1). Ainsi, si y =» x^, I «=» x*, on trouve dly = 12x' Ax*, dîy = 2 Af», et, à cause de Af = S xdjX, d}y «= 8 x*d|X* . Les deux valeurs sont différentes parce que, dans une différentiation, on suppose At constant, et dans l'autre, Ax.
t9t. Changement de variable dépendante. Soient F(x, y, u, t)'^Oj f{^9 y 9 ^9 ^^ ^f deux relations qui définissent x, y, en fonction de t«, I. Il y a, en outre, une relation entre y et x, de manière que l'on peut regarder x, y y u comme des fonctions de (. Les équations
D»F = 0, D/—0; D?F — 0, D,Y=0; DfF = 0, Dff^O; etc,
donneront les dérivées de x, y, par rapport à f, en fonction des dérivées de même ordre de u par rapport à (. On peut procéder de la même manière dans le cas où le nombre des relations est n h- 5, ces relations contenant n fonctions auxiliaires, outre x, y, u, t. Si y ^=t est l'une de ces relations, on peut éliminer ( et effectuer directement les dérivations par rapport k y. Ex. : Soient x e» r cos I, y <= r sin t. Alors
dx dr d*x d'r ^dr .
•57 = -r-cos I — r sinl, -nr = -ri ces I — 2-i- srn < — r co« I,
dt dt * di* dl* dt
dy dr d*v d^^ dr
A dt * de* d<* A '
/dx* dy^y (dr^ ,V
^ r/x d*«/ rf»/ (/*x ^ rfr* c^'r , ' rf( *• A rf(* d«« d<«
IL Plosiears TArlable» indépendnntes. 19S. Problème proposé. Étant données une ou plusieurs relations qui définissent u comme fonction de trois variables indépendantes x,y, z et quatre relations, au moins, qui définissent u, , y y z, comme fonctions de U, X, Y, Z, on se propose d'exprimer les dérivées partielles de «, par rapport à x, y, £, au moyen des dérivées partielles de U, par rapport à X, Y, Z. La solution de ce problème est contenue dans celle du problème du n"* i90; il suffit de procéder comme aux n"' 191, i92, en regardant successivement chacune des quantités X, Y, Z comme étant seule variable.
