Changement de variables indépendantes. On a

du du dx du dy du dz du du dx du du dz

dX dx dX dy dX dz dX ' dY dx dX ' dZ dx dZ *

et d'autres relations analogues à celles-ci, en les dérivant une ou plusieurs fois, et successivement, par rapport à X, Y, Z. On déduit de là les dérivées de u par rapport à x, i/, r, en fonction des dérivées de u, x, y, z, par rapport à X, Y, Z.

195. Changement de variable dépendante. En dérivant par rapport à X, Y, Z, les relations qui définissent x, y, z, u comme fonctions de X, Y, Z, U, on obtiendra des équations donnant les dérivées de x, y, z, u par rapport à X, Y, Z, au moyen des dérivées de U par rapport k X, Y, Z.

196. Application. Si les relations entre x, y^ z, X, Y, Z sont linéaires et telles, en outre, que x* -h y* -♦- z'= X* -4- Y' -4- Z*, on trouve, après des calculs assez longs,

dtt* du* du* du* du* du*

d^ "*" d^ "^ d^ "" dx» "*■ dY* '** dr '

d*u d*u d*u d*u d*u d*u in*'^lûi* ^d?""dX«'*"dY«'^dr'

Les expressions transformées ont été appelées paramètres différentiels de u du premier et du second ordre. Dans le cas actuel, U = u.