CHAPITRE I. Théorème de Rolle

I. Prélinilnairc». 197. Fonctions croissantes, fonctions décroissantes, fonctions ni croissantes ni décroissantes. Une fonction réelle y :» Fx d'une variable réelle est dite croissante ou décroissante pour la valeur x de la variable, selon que raccroissement Ai^ = F (x + Ax) — Fx de la fonction, correspondant à un accroissement positif Ax de la variable x, est positif ou négatif, pour une valeur de Ax suffisamment petite et pour toutes les valeurs inférieures. Ex. : A -4- x, 10 x, e* sont des fonctions croissantes, a — x, x~'^ e"' des fonctions décroissantes pour toute valeur de x, Ix est croissant pour x positif; sin x est croissant de X •-= — {n inclusivement, a x = ^ tt exclusivement, décroissant de I TT inclusivement à | tt exclusivement. Les fonctions x sin x~*, x* sin x'*, supposées nulles pour x = 0, ne sont ni croissantes, ni décroissantes pour X = (Comp. n"" 96).

19S. Théorème. Si, pour une certaine valeur de x, une fonction y e» Fx est croissante et a une dérivée F'x, cette dérivée est positive ou nulle; si eUe est décroissante et a une dérivée, cette dérivée est négative ou nulle; si elle n'est ni croissante ni décroissante et a une dérivée, cette dérivée est nulle. Réciproquement si, pour une certaine valeur de x, la dérivée F'x est positive, la fonction est croissante; si la dérivée est négative, la fonction est décroissante; si la dérivée est nulle, la fonction peut être croissante^ ou défroissante, ou n'être ni croissante ni décroissante. Dans cet énoncé, F'xB=lim(Ay: Ax), Ax étant positif. Le théorème subsiste si lim (Ay : Ax), pour Ax négatif, n*est pas égal à lim (Ay : Ax) pour Ax positif. I. Si F est croissante, AF et (AF : Ax) sont positifs; donc, lim (AF : Ax) est positive (finie ou infinie) ou nulle (25). Réciproquement, soit F'x positive et d'abord finie. De lim (Ay : Ax) =s F'x ou (Ay : Ax) = F'x + e, e étant infiniment petit, on déduit Ay s= Ax (F'x -♦- e); F'x étant positive, il en est de même de F'x -h e et, par suite, de Ax (F'x -*-£)«= Ay, puisque Ax est positif. Si F'x = -t- 00 , cela signifie que (Ay : Ax) est aussi grand que Ton veut et positif; donc

Ay est positif. II. Démonstration analogue, si F'ar ou Ay est négatif. III. Si une fonction n'est ni croissante ni décroissante, elle ne peut donc avoir une dérivée positive ou négative, mais elle peut avoir une dérivée nulle ou ne pas en avoir. Ex. : i^ La dérivée cosx de sin X est positive de x=> — Jtt à x = j7r exclusivement, négative de xesalTT à I TT exclubivement; elle est nulle pourx = — Jtt, valeur pour laquelle sin x est croissant, et pour x = | tt, valeur pour laquelle

sin X est décroissant. 2"* y = + ^/(âpx), pour x =» 0, est croissante et

1 il

a une dérivée infinie positive. 5" y = -h (a* — x*)*, pour x = 0, est

décroissante et a une dérivée infinie négative, i"" y «=» x* sin x~', ni croissante, ni décroissante pour x = 0, a, comme dérivée, pour cette valeur, lim (y : x)= lim x sin x"* =0. 5" y =x sin x-S ni croissante, ni décroissante pour X s= 0, n'a pas de dérivée pour cette valeur (96).

19(1. Rbmarqub. I. Énoncé faux du théorème : La dérivée d'une fonction est positive ou négative, suivant que cette fonction est croissante ou décroissante. La dérivée peut être nulle ou être indéterminée, pour la valeur de r considérée.

II. Ce qui précède ne permet pas de voir si une fonction est croissante ou décroissante pour une valeur de x qui annule sa dérivée. Par exemple, si

yssarctangx— x -*-— • — -rr + ••• -h-. -> «=•!/ — •; r >

35 4p — 4 ^ itp -^ i

f(7s=l(i — x) -h X -♦- — -♦--=•-♦-••• H r> t = ti?-t-

^ ' 2 3 n— 4 iHl—x)

on a

y'=T-rzi> «''=7-rT' «^'

xV+« x^P-^

Les fonctions y, t«, t sont croissantes, z, v, w décroissantes pour x positif, mais on ne peut rien conclure de ce qui précède, pour x «=> 0.

900. Application.TnÉoviÈujES deRouqubt. I. Si pour x= + oo ^ F'x=A, A étant fini ou nul, on a aussi lim (Fx : x) = A. Par hypothèse, d'après

la définition du mot limite (i7) pour une certaine valeur a de x et pour toutes les valeurs plus grandes, F'x est compris entre A -♦- e, A — e, e étant aussi petit qu'on le veut. On a donc F'x — (A — e) > et F'x — (A -*- e)< 0. Par suite, quel que soit B, la fonction (px = Fx — (A — 6)x -*- B est croissante et ;J;x =^ Fx — (A -i- e) x — B est décroissante. Prenons B assez grand pour que ça soit positif et ^a négatif. Alors, à partir de x = a, (px et (cpx : x) sont positifs, ^x et (ij/x : x) sont négatifs. Les inégalités (cpx : x) > 0, {^x : x) < peuvent s'écrire