XX

Pour X suflSsamment grand (B : x) devient et reste inférieur à une quantité t] aussi petite qu'on le veut. Donc A + e + t] > (Fx : x) > A — e — y]. Le rapport (Fx : x) différant de A d'une quantité moindre que e + /}, qui est aussi petit qu'on le veut, a donc pour limite A.

Remarque. On étend ce théorème au cas ou x = — oo , en posant X = — t. On peut observer que si A = F'(oo ) est fini, la fonction Fx est infinie en même temps que la variable x.

IL Si F'(oo ) ea + 00 , ou si F'(oo ) = — oo , le théorème et la remarque subsistent et prennent la forme suivante : Une fonction devient infinie en même temps que sa dérivée pour x ^ oo ou x = — oo , et elle est telle que {tm(Fx : x) est infinie et de même signe que la dérivée. Soit, par exemple, X positif et F'(x ) = -i- oo . A partir d'une certaine valeur a de x, F'x est positive et aussi grande qu'on le veut; donc, à partir de x=ay{i : F'x) est compris entre et £, e étant positif et aussi petit qu'on le veut. De (1 : F'x) < g, on déduit 1 — eF'x < 0, et ^|;x == x — eFx — B est une fonction décroissante, à partir de x «= a, quel que soit B. Prenons B assez grand pour que ^a soit négative; alors ^x est négative de Xs=a, à xas 00 et l'on a toujours x — eFx — B < ou x <eFx •+- B. Cette inégalité suppose évidemment Fx positive et croissant indéfiniment. On a ensuite

^ Fx ^ Fx

On déduit de là, lim (x : Fx) := 0, ou lim (Fx : x) «= oo .

III. Si pour X tendant vers x^, Fx et fx croissent indéfiniment en valeur absolue; si, de plus^ Vune de ces deux fonctions est toujours croissante ou décroissante quand x tend vers x, et que lim (F'x : fx)^=i A (A fini, nul,

-4- « , ou — 00 ), on a aussi lim(Fx : fx) «= A. Pour fixer les idées, soient Fx =5 -*- 00 , /îr «a -4- 00 , /x toujours croissante. Posons fx = (, Fx «=» \};f, on aura F'x =s \^'t.f'x. Par suite, pour x = Xq (même si x^ «=00 ),

F'x ûft Fx

lim-r--=i limd/'(»lim — =lim-7-« / X ^ ( fx

IV. En résumé, la limite du rapport des fonctions est égal, en général, au rapport des dérivées, quand l'une des fonctions devient infinie {Règle de l'ffospital). Cauchy a démontré un théorème inverse, rarement utile, savoir que la limite des dérivées est, en général, égale à celle du rapport des fonctions (218). Dans le théorème de Rouquet, on suppose Texistence de la limite de (F'x : f'x); dans celui de Cauchy, celle de la limile du rapport (Fx : fx).

901. Exemples, i^ Pour x=soo, lim(/x : x) = lim(x~^ : 4)^=0. On tire de là, en faisant x=<~% lim (1(»0 pour fasO, résultat que l'on déduit aisément de (200, III); car lim(l( : r*) = lim(r* : — r*)= lim ( — () = 0. 2® Pour x = 00 , lim (x" : c) = lim (wx"^* : c) = lim [n{n — i)x'*~* : e'], etc. Que n soit entier ou non, on trouve pour limite. Ce résultat contient le précédent, si l'on fait n ■=» i, x «s 1(. Au contraire, en faisant x=« — (~*, 2nc=m, on trouve, pour /«=0, lim r-e-*"" = 0.

Remarque. On peut établir les résultats précédents, par les éléments, comme il suit : Soit B =3 i + a, a > et, d*abord,x » j) nombre entier, aussi grand qu'on le veut. On a B' «= (1 -4- a)'' = 1 + fia + etc. Le second membre est plus grand que son (n -«- 2)'^*^ terme

p(p-i)...(p^n) ^ ^^ A pA P) \ PJ ^...

On a donc

B' Bf

— ou— >p

Par suite, pour p infini, lim (B* : x») = 00 , ou lim (x" : B')=0. Si x est compris entre p et p h- 1, (x" : B*) est compris entre (p" : 8^+*) et [(p ■+- 1)" : B^] qui ont pour limite zéro. Donc enfin, dans tous les cas, lim (x" : B") =1 0, pour x 1= 00 .

II. Théorème de Rollc poar le« fenetlon» d*anc Tarlable réelle. 909. Extension du sens du terme continuité. Dans ce chapitre et le suivant, quaad nous dirons qu'une fonction est continue, nous supposerons simplement qu'elle reste réelle et ne saute pas brusquement d'une valeur à une autre; mais elle pourra devenir infinie pour une valeur de x, pourvu qu'elle ne saute pas brusquement de -4- oo ou — 00 à une autre valeur ou inversement. Ainsi, dans ce sens, ar^ est continu pour ar ~ 0, x — E (x), discontinue pour x == i, 2, 3, etc., x^* pour X a= 0. Cette dernière fonction a, de plus, deux valeurs pour x = 0.

90S. Théorème de Rollb. Si une fonction Fx est continue de Xo dX inclusivement et s'annule pour x = Xq, x <= X (xo < X), la dérivée, supposée continue de xo d X, inclusivement ou exclusivement, s'annule pour une valeur intermédiaire Xi entre Xo et X. Autrement dit : Entre deux racines réelles Xq, X de l'équation Fx = 0^ il y au moins une racine réelle Xi de F'x = 0^ si Fx, F'x^'«on( des fonctions continues de x^ âX, Vx inclusivement, F'x inclusivement ou exclusivement. En premier lieu, si Fx est constamment nulle de Xq à X, il en est de même de la dérivée Px et le théorème est évident. Si, en second lieu, Fx n'est pas constamment nulle, cette fonction aura, pour une valeur Ç convenablement choisie entre Xo et X, une valeur différente de zéro, positive, par exemple. On pourra choisir A assez petit pour que Ç soit compris entre Xq + A et X — A et que l'on ait F^, plus grand que F (xo -4- A) et F (X — A), puisque ces valeurs sont aussi voisines de /xo=* et fX = qu'on le veut. De Xo -4- A à Ç, F'x ne peut être constamment négative, puisque, dans ce cas, la fonction Fx serait décroissante de Xo h- A h l (198) et l'on n'aurait pas F (xo -^ A) < F$; donc F'x, de x© -4- A à Ç, est, au moins pour une valeur a de x, nulle ou positive. Si F'a est nulle, le théorème est démontré. On prouve de même que, de ^à X — A, F'x est, au moins pour une valeur 6 de x, nulle ou négative. Si F'& est nulle, le théorème est encore démontré. SiF'x est positive pour x=s a, négative pour X B» 6, elle s'annule pour une valeur x^, intermédiaire entre a et 6 (92), et, par suite, entre Xq et X. Ex. : 1» (x — a) (x — P) s'annule pour x = a, x=(3; la dérivée 2x — a — (3, pour la valeur intermédiaire x = j(a-4-P). 2« La fonction ^(a* — x*) s'annule pour x «= — a, x = -♦- a; la dérivée [ — x \^{a} — X*)], qui est infinie pour ces valeurs extrêmes, s'annule pour X sa 0. 5* sin X est nul pour x = 0, x ==» tt; la dérivée cos x pour

X = iTT. 4* Le théorème ne s'applique pas à la fonction orS nulle pour x=3 — 00, x=s + oo, parce qu'elle est discontinue pour x =3 0. Aucune valeur intermédiaire entre x= — ao,x«B^Qo, n'annule la dérivée x~*. 5" Le théorème ne s'applique pas non plus à la fonction

(o' — «*)* , continue de «= — aàx=-»-a, valeurs pour lesquelles elle s'annule, parce que la dérivée est discontinue pour x » 0.

904. Autre dénionstrcUion, L Préliminaires. Dans ce qui précède, la fonction F'x est supposée continue de x^ à X, mais est regardée uniquement comme la limite de (âF : Ax) pour Ax positif et indéfiniment décroissant. On ne s'inquiète pas de savoir si F'x est aussi la limite de (AF : Ax) pour Ax négatif et tendant vers zéro. Autrement dit, on n'a pas besoin de savoir si la dérivée est uniqite pour chaque valeur de X (96). Inversement, si la dérivée est unique, on n'a pas besoin de supposer qu'elle soit continue, pourvu que Fx soit fini, comme le prouve la démonstration suivante, due partiellement à M. 0. Bonnet. Mais, de même que la démonstration du n*" 203 suppose le théorème de Cauchy sur la continuité des fonctions (9â), la suivante s'appuie sur un lemme appelé Théorème de Weierstrass.

IL Limite supérieure et limite inférieure d'une fonction. On appelle limite supérieure des valeurs d'une fonction qui ne devient pas infinie positive, dans l'intervalle [Xq, X], une quantité L, telle que la fonction, quand x varie de x^ à X, ne dépasse jamais L, mais dépasse toute valeur inférieure à L. Définition analogue pour la limite inférieure l d'une fonction qui ne devient pas infinie négative. La fonction peut atteindre ou ne pas atteindre la limite supérieure ou la limite inférieure. Ex. : L = i, pour sin x, x — £ (x), quand x varie de à oo , / = — 1, pour sin x, / «= 0, pour x — E (^); sin r atteint la valeur i, a — E (x) ne l'atteint pas.

Une fonction qui ne croit (décroit) pas indéfiniment a une limite supérieure (inférieure), savoir le nombre (commensurable ou incommensurable) qui sépare les valeurs atteintes des valeurs non atteintes par la fonction. En effet, soit yo une valeur de la fonction, Y une valeur supérieure à toutes celles que prend la fonction. Formons la suite finie ou indéfinie des couples de quantités (^i, Yi), (^s, Yt), (yz, Ys), etc., d'après la loi suivante : l'une des deux quantités y,. Y» est égale à la moyenne f (y«-i *f- Y».i) des deux précédentes; c'est Y« si cette moyenne est

supérieure à toutes les valeurs de la fonction et alors y« «= y^^ • c'est tfn dans le cas contraire, et alors Y« = Yn-i- La limite (dans le sens du n*" i7) de la suite yoy yi, yt, ^s, etc., si celle-ci est illimitée, ou son dernier terme, si elle est finie, est la quantité L cherchée. D'ailleurs L est aussi le dernier terme, ou la limite, de la suite Yo, Y4, Y9, Y3, etc.

m. Théorème de Weibrstrâss. Une fonction Fx, finie et contintie de Xo à X, atteint, au moins une fois, sa limite supérieure L et sa limite inférieure 1 quand x varie dexaùXA"" La fonction étant finie, elle a évidemment une limite supérieure L dans Tinter valle [xo, X]. S*" Divisons cet intervalle en deux parties égales [Xq, J (x^ -*- X)], [| (x^ -4- X), X]. Dans l'un, au moins, de ces intervalles partiels, la fonction aura pour limite L; dans l'autre, la limite U sera, au plus, égale à L; car si l'on avait U > L, L' serait la limite supérieure dans l'intervalle [xo, X]. Appelons [xij Xi], l'intervalle partiel où la limite supérieure est encore L; subdivisons-le, k son tour, en deux intervalles égaux; dans l'un [xs, Xi], au moins, la limite supérieure de la fonction sera encore L. En continuant ainsi indéfiniment, on formera une suite d'intervalles

[xo, X], [xi, Xi], [xj, Xt], [x5, Xs], etc.

dont chacun est la moitié du précédent et où la fonction aura toujours L pour limite supérieure. 5® La suite non décroissante Xo, xi, x«, etc. et la suite non croissante X, X|, Xs^ etc., ont une même limite Ç (comparez n** 92). 4« Dans tout intervalle [l — e, Ç -*- s'], si petit qu'il soit, qui comprend ^, la fonction a pour limite supérieure L, car on peut trouver une valeur de n telle que

puisque x» et X« sont aussi rapprochés de ^ que l'on veut. Dans l'intervalle [xm, X«], la limite supérieure est L; il en est de même dans l'intervalle plus grand [l — e, S -f- e'], car si la limite supérieure était V > L, L ne serait pas la limite supérieure de l'intervalle [xo, X]. S** Je dis que F (i) =» L. En ejQTet, quelque petit que soit e'\ k cause de la continuité de la fonction, on a ± [F (Ç -♦- AAÇ) — FÇ] < e", pour toute valeur de X, de à i, si A^ est suffisamment petit. Puisque Fx a une limite supérieure L dans tout intervalle contenant ^, on a, pour X convenablement choisi, F(Ç-4-XAH)>L — 3'", quelque petit que soit e'". En supposant A le

même dans l'inégalité qui précède ceUe-ci que dans cette dernière, on peut écrire simultanément

F (Ç + lAl) = FÇ rfc ee", F (? + }AÇ) « L — 9'c'",

et B' désignant des quantités comprises entre zéro et l'unité. Donc

L — F$ = G'e'" =fc Ge".

La différence constante L — F^, étant aussi petite qu'on le veut, est nulle et F^ ^= L. G"" On démontre, de même, que Fx devient, au moins une fois égale à /.

Remarque. L'important théorème du n<* 106 ne s'appuie pas sur le théorème de Weierstrass, les quantités désignées par /.,, /m dans la démonstration, pouvant être remplacées par l et L, sans qu'il y ait à s'inquiéter si fx atteint ou non ces valeurs extrêmes.

IV. Démonstration du théorème de Rolle (Ossian Bonnet). Soit Fx une fonction finie et continue^ de Xo & X, ayant^ entre ces limites, pour chaque valeur de x, une dérivée unique ; soient, de plus, Fxo = 0, FX = 0. Si Fx est constante dans un intervalle si petit qu'il soit, entre Xo et X, F'x est nulle dans cet intervalle et le théorème est démontré. Si Fx n'est constante dans aucune intervalle^ et a, par conséquent, au moins une valeur positive (ou une valeur négative), supérieure (ou inférieure), & Fxo => FX :=3 0, Fx atteindra, d'après le théorème de Weierstrass, une limite F^=>L(ou/) différente de Fxo et FX. Cette limite sera plus grande (ou plus petite) que les valeurs voisines, par exemple, plus grande. On aura donc, pour h suffisamment petit, FÇ > F(Ç db A). Alors les rapports [F (Ç -*- A) — F£] : h et [F (S — h) — F^] : (— A), seront, l'un négatif, l'autre positif; ils doivent avoir, par hypothèse, la même limite^ savoir F'Ç; donc on a F'$ = (25, i«' cas).

SOS. Interprétation géométrique du théorème de Rolle.Yoir n"* i05, fin.

III. Théorème de Lagraoge. 908. Si Fx, F'x sont des fonctions continues, la première de Xq à X inclusivement, la seconde de Xq àX inclusivement ou exclusivement, on a FX -^ Fxo «» (X — Xo) F'Xi, Xi étant intermédiaire entre Xq etX. Posons

— ? z= A, ou FX — Fxo — A (X — Xo) = 0,

X — Xo

cpx = FX — Fx — A (X — x).

On trouve cpxo = 0, cpX = 0, cp'x = A — F'x. Le théorème de Rolle

appliqué à (px donne cp'xi s»0 ou A «= F'xi, c'est-à-dire le théorème de Lagrange.

RsKARauBS. I. Au lieu de supposer F'x, c'est-à-dire lim (AF : Ax) pour Ax positif, continue de Xo à X, on peut supposer, comme au n*" 204 (I, IV), Fx finie et F'x unique entre ces limites.

IL Le théorème de Lagrange et celui de RoUe, qui s'en déduit en faisant FX ^^ Fxo =»0, ont déjà été démontrés aux n«* 105 et 110, en supposant Fx finie, F'x unique et continue de Xo à X. On peut observer que le théorème subsiste, même sans supposer F'x continue, pourvu que F'x passe par toutes les valeurs intermédiaires entre la valeur la plus grande Fm et la valeur la plus petite ¥'„ entre lesquelles oscille F'x, les limites Fh , F» , étant des valeurs accessibles ou non pour F'x. Interprétation géométrique. Gomme pour le théorème de RoUe (205). Autre forme. Si l'on écrit x au lieu de Xo (ou X), x + Ax au lieu de X (ou Xo), il vient AFx = Ax F' (x -f- 0Ax), < 6 < 1 , Ax étant positif (ou négatif).

90T. Corollaire I. Si la dérivée F'x d'une fonction est une constante a, la fonction est discontinue ou de la forme ox + 6. En effet, si la fonction est continue, on a évidemment Fx — Fxos=(x — xo)a, puisque F'[xo-»-0(x — xo)]==a; donc Fx=ax-t-6, si 6 = Fxo — oxo. En particulier, si la dérivée est nulle ^ la fonction est constante.

Remarques I. Ce théorème a été démontré, dans l'hypothèse d'une dérivée continue et unique, au n"" 105, avec la conséquence : Deux fonctions qui ont même dérivée ne diffèrent que par une constante. L'énoncé actuel, où F'x = lim (AF : Ax), pour Ax positif, signale l'existence de fonctions discontinues ayant une dérivée constante, par exemple, y = x =t E (x) (n^ 7).

U. On peut déduire du corollaire I les propriétés fondamentales d'une fonction homogène, d'un déterminant fonctionnel nul et d'un autre déterminant, appelé Wronskien^ nul aussi. Nous les exposerons plus loin, quand le corollaire I aura été établi pour les fonctions d'une variable imaginaire.

90S. Corollaire IL Une fonction dont la dérivée est nulle pour une valeur x de la variable, est croissante {décroissante) si la dérivée est positive {négcUive) pour les valeurs de la variable un peu plus grandes que x. Si Fx est nulle, mais F' (x -*- GAx) positive, AxF' (x -♦- Ax) = AFx est positif, moyennant les conditions d'existence du théorème de

£<i^aii4^''(De8 conditions analogues seront souvent soas-entendues dans la suite).

9#9. Applications. I. Vale%ar approchée e( développemeni en $ér%e de arc Umg x. Pour x <» 0, la fonction y du n* 199 est croissante, z décroissante; or y «==» Oet z =» pour x = 0. Donc^ pour x positif, y > 0, it < 0;

par suite y — 6 -r- -= 0, 6 étant convenableosent choisi entre et 1.

On a donc

X* x' x^ jr^H-*

arc tangx=-x — ---♦- -— — -=- -t- ••• -h 6

De même,

x* X* x' ap*F+»

arctangxesx — -.-+---——.-+- — 9-t -•

On peut changer x en — x dans les deux membres sans toucher à 6, autrement dit, x peut être supposé positif ou négatif. Enfin, si x est, en valeur absolue, inférieur ou égal k l'unité, pour p =: ao , la limite du terme en 6 est nulle. On a donc, en série indéfinie,

arc tangXB=x — ;- -♦- ir — -s- -♦- etc. — 1 <x < 1 ® 5 5 7

Pour X ss i, on trouve la série de Leibniz :

ir , i 4 1 4=*-5"*-5-7^"^-

II. VaUur approchée et développement en série de 1 (i db x). On déduit de même, des valeurs de k, v du n"* 199,

«pi «p8 éfé ^^ ^

1(4 -^x) = x— — H-^ — --4-etc, 0<x<l

12 = l-i^i-i^ etc., (Comp. no 29, III) et, des valeurs de w, t du n» 199,

La formule donnée plus haut, pour 1 (i +x), subsiste donc six est négatif et inférieur & i en valeur absolue.

910. Dérivation des fonctions composées. Moyennant diverses hypothèses, on peut, au moyen du théorème de Lagrange, établir directement la règle des n*' 151, 152, pour les fonctions réelles d'une variable réelle. Soit f(u, v) une fonction composée de u, v, fonctions de x. Si x reçoit un accroissement Ax, et que Au, Av, A/*, soient les accroissements de ^9 ^9 ff <>^ trouve successivement (comp. n"* 83) :

A/'œ f{u -f- Au, V -♦- Ar) — f{u, v) = f(u -4- Au, V -4- Ar) — /"(w -*- Au, v) -♦- f{u -4- Au, v) — /(u, v), /'(u-*-Au,v + Atj)— /•(u-4-Au,v)=Av/';(u-4-Au,t?-*-eAt;), 0<e<l (1) f{u -I- Au, r) — /-(u, v) = Au fi (u -*- Oi Au, v\ 0<ei <1 (2)

^ - r. (u + e, A«, «)^ + /•; (u + Au, V + ÔA»)^ , (5)

L'égalité (1) subsiste si f{u, t?), /*« (u, v), considérées comme fonctions de V, sont continues aux environs de la valeur initiale de v, pour toutes Us valeurs deu,àtu k u + Au; l'égalité (2) subsiste si /"(u, v), fi (u, t?) considérées comme fonctions de u, sont continues aux environs de la valeur initiale de u, pour la valeur initiale de v; enfin le passage de (5) & (4) est légitime, si lim /L (u + G, Au, v) ^= fi {u, v), ce qui est la dernière condition énoncée, et si lim fi (u -«- Au, v -t- OAv) b» /*« (u^ v) comith'on fut diffère de toutes les précédentes, parce que l'on suppose ici que Au^ Ai; tendent simultanément vers zéro.

811. Théorème de Lagrange, dans le cas de fonctions de plusieurs variables. Soit /"(x, y) une fonction telle que le théorème de Lagrange soit applicable à /(x + ht,y-¥- kt) » Ft considérée comme fonction de t, de sorte que Vt — PO » tF'{6t). On aura^ par la règle de dérivation des

fonctions composées (151,1 52), si u = x -*- A(, v = y -*- fct, F« = /" (u, t?),

rt^fi{u,v)'f^-^fi{u,v)^,

ou, puisque ui s» A, Vf «» ft,

La relation Ff — FO » t¥' {Qt) devient f{x^hty y-¥ki)-'f{x, y)=ht /;(x-4-0A«, yH-0ii:t)-i-*t/';(x^eto, y-^-Ôitl).

Posons ht = Ax, fa == Ay ; nous obtiendrons enfin /(x -+- Ax,y -t- Ay )— /'(x,y)= Ax /'i(x -+- 6 Ax,y -4- 9 Ay) -+- Ay /J(a; -4- 9 Ax,y -♦- 6 Ay) .

Dans cette formule, fx (x -«- 9Ax, y + 9 Ay) désigne la même chose que /I (x -*- 9Ax, y -♦- 9Ay), c'est-à-dire la dérivée /î (x, y) où x est remplacé par x -h 9Axy y par y -h 9Ay, ou encore fi (u, v) où u est remplacé par x + 9Ax, v par y + 9Ay.

Si Ton fait x = xo, x-h Ax==X, x -♦-9Ax = xi, y=yoi y •♦- Ay = Y, y + 9Ay «= yi, on peut encore écrire

/•(X, Y) - /-(xo, yo) - (X - xo) r^ (X4, y*) -i- (Y - yo) /; (x*, y,).

Une formule analogue subsiste pour une fonction d'autant de variables que Ton veut.

IV. Théorème de Caachy. 91 S. Si Fx, fx sont des fonctions continues de Xo d Xo inclusivement^ l'une d'elles étant toujours croissante ou toujours décroissante dans cet intervalle, si de plus (F'x : fx) est une fonction continue dexo âX, inclusivement ou exclusivement, on a

FX — Fxo F'x. ^ ^^

■^^ 7— = -TT" * Xo < Xi < A.

^X — /Xo f'Xi

Soit) par exemple, fx croissante de Xo à X. Posons fx=^ti fxo=^toy /■X = T, Fx=3vJ;(. Alors F'x = ^p't. /^x. Le théorème de Lagrange donne

OU, en remarquant que ti^sfxi^ X| étant compris entre Xo et X,

FX — Fxo F'xi

fX — fXo'^ f'Xi

On considérerait les rapports inverses, si Fx seule était croissante ou décroissante de Xo à X.

Atttre démonstration. Au lieu de supposer fx (ou Fx) croissante ou décroissante de Xo à X, et le rapport (F'x : f'x) continu entre Xo et X, on peut supposer que fx (ou F'x) ne s'annule pas entre xo et X, et que F'x, fx soient continues entre Xo et X. Dans cette hypothèse, fx est

croissante ou décroissante de Xo à X et, par suite, fX — /xo n^est pas nul. Posons

-=^ — ^ = A ou FX — Fxo — A(/7[ — /xo) = 0,

<px = FX — Fx — A(/X — fx).

On trouve 9X0 =0, 9X = 0, cp'x = kf'x — F'x. Le théorème de Rolle appliqué à (px, donne 9'xi «^^ 0, ou kf'Xi =s F'xi. Gomme fxi n*est pas nulle, on tire de là A =s (F'xi : /"'xi), c'est-à-dire le théorème de Gauchy. 913. Remarques. I. Au lieu de supposer ^'^ = (F'x : /'x) continue, on peut supposer, dans la première démonstration, cette dérivée unique pour chaque valeur de x et Fx fini. Même remarque pour F'x, fx^ ou 9'x dans la seconde démonstration.

II. Les conditions des démonstrations données plus haut ne sont pas équivalentes; quand fx est croissante, f'x peut être nulle; quand (F'x : fx) est continu, F'a? et fx peuvent être discontinues et inversement.

III. Le théorème de Lagrange appliqué aux fonctions Fx et fx donne

FX — Fxo « (X — xo) F'x, , fX - /xo = (X — Xo) fx% , xi et xt étant peut-être différents. Par suite,

FX — Fxo Fx4 /X — /Xo ~ /"'x j '

théorème moins précis que celui de Gauchy, d'où Ton ne peut pas tirer les conséquences des n<" 214 et suivants (voir 218). L'égalité précédente existe moyennant les conditions du théorème de Lagrange pour Fx, /x, lesquelles ne sont que partiellement identiques à celles de la première et de la seconde démonstration du n<* 212.

Autre forme du théorème de Cauchy. Soient x=»Xo (oux = X), X -h Ax =3 X (ou X -t- Ax == Xo); alors xi = x -t- 9Ax et l'on a

F (x >4- Ax) -— Fx F'(x -*- 6Ax) f{x -t- Ax) — fx "^ f~(x ^ GAx) '

Interprétation géométrique (Première démonstration). Si Fx et fx ou ^t et t sont respectivement l'ordonnée et l'abscisse d'une courbe, le rapport [(FX — Fxo) : (FX — fxo)] est le coefficient de direction d'une sécante passant par deux points (/xo, Fxo), (/X, FX), et (F'x^ : fxi) celui d'une tangente en un point intermédiaire ; donc, l'interprétation géométrique est encore celle du n« 105.

V. Trille* valeurs de» expreeeloas prenant une forme Indéterminée. 914. Définition. Dans ce qui suit, nous appliquerons une ou plusieurs fois le théorème de Gauchy à diverses fonctions; nous supposerons donc que ces fonctions vérifient les conditions de l'une ou Tautre démonstration du n^ 212, mais nous n'énoncerons pas explicitement ces conditions. On appelle vraie vcdeur d'une expression ^x qui devient indéterminée pour x=»ay la limite de xi"^"*"^) P^^^ lim k = 0. D'après la nature des questions traitées, h est positif ou négatif, ou indifféremment positif et négatif (ou même imaginaire, comme on le verra au chapitre suivant) . De même, on appelle vraie valeur d'une expression ^x qui devient indéterminée pour x >=3 d: oo , la limite de ^x pour X croissant indéfiniment en valeur absolue, ou de % (f) pour lim t = 0.

915. Formes indéterfninée9 (0 : 0). Principe, ou extension du théorème de Cauchy. Soient pour x = a. Fa, F'a, ... ?••"% /a, /"'a, ..., /*""*a nulles, F"x, /""x non nulles toutes deux pour x <= a. On aura, d'après le théorème de Gauchy,

F (g + /i) __F (g -»- A) — Fa F(o -^ AQ F(o -*■ AQ — Fa f{a-^ h)~J{a -*- A) — fa^f'{a -+- hi)''f'{a -^ h{)^fa F^(a-f As) F"-* (g -♦- A,^.) — /"-'a ^ F''(a ^ A ^)

'^ria-^lh) /•-'(«-^A-0 — /■"-*«"/""(«-+-*.)'

Al étant une partie OA de A, A« une partie de Ai, et ainsi de suite. Faisons tendre A vers 0, il viendra

.. F(a-4-A) . 1 , Fa ,. F"(a + *«) • i j ^-a

lim -^, rf = vraie valeur de -7-« lim -^-^ — = vrw« valeur de -rr-»

f{a-\-h) fa /-(a-f-A^) f'a

relation que l'on écrit, le plus souvent, comme il suit :

Fx F*x

lim — = lim -^r— > fx /"x

X dans le premier membre représentant a -4- A, dans le second a + A«, ce qui n'a pas d'inconvénient. Si F"a est fini, /"a, infini, la vraie valeur est nulle; si F^a est infini, /*"a fini, la limite est infinie; si F"a=» oo , f»a = <3o , on se trouve dans le cas du n* 200, etc. Le cas le plus simple est celui où lim F"x = F**a, lim f*x c=s /""a, F»a, /""a étant finies, c'est-àdire que F"x, f*x sont continues même pour x = a. Alors lim (Fx : fx) » (F-a : /'«a) (Règle de l'HospiUl généralisée). (

Extension au cas où a = 00. Soient F(oo) = 0, /*(oo)s=0. Posons « = t~* ; on aura

Lorsque x croit indéfiniment, il en sera de même de -^

Xi, on a donc

Fx fx

et Ton pourra continuer de même, si F'oo := 0, f'<x> <=» 0. On doit observer ici que les conditions de continuité des fonctions doivent être ▼érifiées relativement à F (r*), f{t-% [D,F (r') : D/(r')], etc.

Remarque. Si pour x ==» 00 ^ Fx a une limite nulle et F'x une limite finie A, celle-ci est nulle aussi. En effet, supposons, s'il est possible, A différent de zéro. On a Fx — Fxo = (x — Xo) F'xi. Pour x^ suffisamment fçrand et x > Xo, F'xi est aussi voisin de A que l'on veut et, par suite, le second membre peut devenir aussi grand que Ton veut, ce qui est absurde, puisque le premier a pour limite — Fxo, pour x «: 00 .

D'après cette remarque, la règle de l'Hospital, dans le cas où a = qo , ne peut jamais conduire à la limite cherchée, si les dérivées des fonctions considérées jouissent de la propriété que nous venons de signaler, & moins qu'on ne transforme l'une des expressions trouvées (Voir, plus bas, exemple sixième).

Exemples, l"* Pour x => a, lim

«=lim

fix

2*» Pour X «= 0, lim

lim = — i.

S* Pour X

lim

sinx 1 — sin X

cosx

cos X

= lim-r— = 0.

sin X