CHAPITRE III. Limites des fonctions élémentaires

I. LimlÉes trooTées dans le» élémeiit*. SO. Limite de la somme algébrique d'un nombre fini de variables. On a

(A) Lim [u -^ V — 11?) = lim u -*- lîm v — lim w.

Soient, en effet, u — lim u = a, v — lim w = (3, w — lim t«? = y, a, |3, y pouvant devenir et rester aussi petits que l'on veut. On aura {u -*• V — w) — (lim u -*- lim t? — lim u?) = a -i- (3 — y, quantité qui peut rester et devenir aussi petite que Ton veut. Donc, etc.

81. Remarques, I. Ce théorème n'a pas de sens si le second membre prend la forme indéterminée oo — oo; p. ex., si limi; = QO, lim ii;s= 00 . II. Il subsiste si u, v, ou u?, ou deux de ces quantités sont constanles. Il en est de même si u + v — u? = une constante c. On a alors, c =3 lim u + lim i; — lim w; autrement, la quantité constante c — (lim H + lim v — lim w) serait égale à la somme de trois quantités a + |3 — y qui peuvent devenir et rester aussi petites que Ton veut.

89. Limite de la somme d'un nombre indéfiniment croissant de variables. Le théorème précédent n'est pas applicable, en général, à une somme d'un nombre indéfiniment croissant de variables. Ainsi, pour

fi = ooy on ne peut pas ddduire de la valeur de Ltn (29, 111)

lim L» = lim -+- lim --♦- ••• -♦- lim --= + -f- •••-+- = 0.

83. Limites des autres fonctions algébriques élémentaires. On a, m et n

étant entiers positifs» même si les quantités considérées sont constantes» pourvu que Ton n'introduise pas dans le second membre des expressions indéterminées (O.oo ), (0 : 0)» (oo : oo ) :

(B) Lim ui;u7 ... = iim ti . lim i; .lira to ...; etc. Lim ti** = (Lim tf)**.

u lim u i i I

^ V lim V u* lim M" (lim ujT '

(D) Lim |/ t« = j/iîmw.

Lim K ^mou p^;;±; = /lim M±- = /(lim m):^- ou (lim ti)^ "•

34. Limites des principales fonctions transcendantes élémentaires. Sauf si Ton arrive aux formes indéterminées 0% od"» i"^ , sin od, on a:

(E) Lim a** = a'**"*; lim Log u =^ Log lim u.

(F) Lim sin u = sin lim u ; lim arc sin ti =3 arc sin lim 11.

S5. Résumé. (6) D'après les principes A» B» C, D, E, F^ on trouve la limite d'une fonction élémentaire de quanlilés variables» en remplaçant celles-ci par leurs limites» sauf si l'on est conduit ainsi à une forme indéterminée. Ainsi» pour a; = î»

Cette règle (G) ne conduit à rien pour les expressions étudiées n** 36-45. Elles prennent les formes indéterminées (0 : 0), i* .

II. Llmlle de [«la qp : or] p«ar or = O, et limites qui ea dépeudeat (Schaar» G. D. n° i 9). 36. Lim de (sin x : x) pour x = 0. On a 2sinx<!2xou (sin x : x)<^1; puis2x<^âtangxou cosx<(sinx:x). Le rapport (sin x : x) est compris entre i et cos x» qui ont pour limite i , quand x = 0. Donc (24), lim (sin x : x) = i .

37. Limites dépendant de lim (sin x : x) pour x «= 0. On a» pour x es» 0»

,. tangx ,. sinx ,. sin x m m m

lim — ^— = lin^ : cos X = lira : lim cos x «a i : i e=s | ;

1 — cosx i .. sîn*ix i / . sin^xV ^ . i

tanffx — sinx ,. tangx 1 — cosx , i i

lim — 2 — =lim z = i.- = -.

X kx kx

X* ifcx* kx*