Loi suprême de Wronski. I. Le déterminant

Fz fz (pz- * ' • ^z

FZo fZo (fZo ' • ' ^Zo

XZ= F'Zo fZo (ft'Zo . . • ^'Zo

F"-'Zo /""-'Jîo (p"-*Xo • • • ^-"'^o

est nul ainsi que ses (n — i) premières dérivées^ pour z^Zo» On a

donc, en employant le Ihëorènie de Taylor, supposé appiicaMe,

XZ = p = A |/2 ««' Çf^ (1 - 6)"-' Z"t^. + 9 (Z - z.)]

Dans cette expression de p, on peut remplacer évidemment n par un nombre entier quelconque inférieur.

En développant le déterminant ^Z, on trouve la loi suprême de Wronski, dont M. Ch. Lagrange (de Tobservatoire de Bruxelles) a, le premier, déterminé la forme du reste, par un procédé au fond identique à celui que nous exposons ici {Comptes rendus de Paris, 4884, XCVIII, pp. 1422-1425). Cette formule peut s'écrire

FZ = A/2 H- B(pZ -*-..-♦- L^Z -+- p.

Les coeflBcients A, B, ..., L sont les Wronskiens, supposés non nuls (n"* 227), mineurs du déterminant x^, par rapport aux éléments de la première ligne.

La loi suprême de Wronski est une généralisation, stérile jusqu'à présent, du théorème de Taylor. On retrouve celui-ci, en posant dans la loi suprême, /i = i, (pz = x — zo, ..., '^z = {z — «o)*"*-

II. Vormale de Neivloo. 94S. Cas des fonctions entières. Newton. a fait connaitre, en 47il, dans la Methodus differentiaUs, puis en 1714, dans l'édition des Principes imprimée h Amsterdam, une formule remarquable pour déterminer une fonction algébrique entière de degré m, au moyen de (m -^ 1) de ses valeurs correspondant à autant de valeurs de la variable. Nous allons l'exposer en prenant, pour abréger, m = 5.

I. Soient u^, u,, ti,, u^ les valeurs d'une fonction entière u^=fz=^ a "¥ bz -^ cz -^ gz^, du troisième degré, pour les valeurs z^, z,, 2,, z^ de z. On aura

u^=a -*- bz^ -^ cz\ -♦- jzj, w, = o -4- bz^ -*- cz\ -4- gz\, Vj = a -4- 6z, -4- cz\ ^ gz\, «^ = a -«- 6z^ -4- cz\ + gz\.

On sait, par la théorie des déterminants, que ces équations donnent pour a^ 6, c, g des valeurs uniques, qui substituées dans

u =■ a + 6z -4- cjz* -4- gfz', déterminent la fonction u. On obtient le résultat de la substitution des

valeurs de a, 6, c, g^ dans fi, en éliminant a, 6, c, g entre les cinq relations précédentes. On trouve ainsi

En ordonnant le déterminant du premier membre suivant les éléments de la première colonne, on obtient la formule de Lagra$ige :

tl4.

iz—z^)(z—z.)(z--z,)

On vérifie aisément, i posteriori, que u prend les valeurs u^, ti, , u^j'u^ quand z est égal à z,^ z„ z, ou z^. L'analyse précédente prouve d'ailleurs que la question proposée n'a qu'une solution.

IL Newton met la fonction fz sous la forme suivante

^z=A-4-B(z — Z|)-^C(z — zi)(z — zi)-4-G(z — Zi)(z— z«)(z — z»), (1)

et trouve une valeur unique pour les coefficients Â, B, G, G, en exprimant que tii s=» /zi, Ut = fzu t«s «=* /zs, u^ «= fz^. En effet, on obtient ainsi le premier système :

Ui «A,

iij = A -♦- B(zi— zi),

u, = A ■+- B(z5 — Zi)-t-C(z» — Zi)(z5— Zi),

«4:= A -»- B(z4 — Zi)-*-C(z4— zj)(z4 — Zt)-*-G(z4-— zi)(z4 — Zf)(z4— Zi).

Soustrayons la première de ces équations des suivantes, et divisons les

relations obtenues, respectivement par zi — Zi, Zs

posant

zi, Z4 — Zi, en

Uf — Ui

tii — i«i

Ué — Uj

Za — Zi

Zi Z| Z5 — Zi

Nous obtiendrons tin second système ; t?t = B,

f , = B -4- C (Za — Zi),

V^ =r= B -4- C (Z4 — Zt) -*- G (Z4 — Zf) (Z4 — Zs).

Opérant sur ce second système comme sur le premier, il viendra

Wi = C, W4 = C -+- G(z4 — zi).

si Ton fait

r» — vt »4 ~ vt

Zi — Zt Z4 — jCt

Enfin, du troisième système en G et G^ on déduit

^ tl74 — Ws

«4 = Ci, SI «4= •

Zé — Zi

En substituant les valeurs de A, B, G, G dans (1), il vient

tl=stli-4-(z — Zi)Vt'^{z^Zi)(z — Zt)Wi'^{z — Zi){z — Zt){z — 2»)«4. (2)

Gette formule s'étend sans peine à une fonction entière de degré quelconque.

Exemple. Trouver une fonction entière du quatrième degré qui, pour zs=^ 1, 2, 4y 5, 6 prenne les valeurs 5, 4, 3, 2, 5. Voici la disposition des calculs qui peuvent se faire mentalement :

Zi Zt Zi Z4 Z5 12 4 5 6

-Mi

tl?4

La fonction cherchée est

„=:5-(z-l)H-l(^-i)(^-^2)-Jï(z-l)(ir-2)(ie-4)

+ l(z^l)(*-2)(ij-4)(z-5).

RB1I4RQUB. Les expressions v, w, s, etc. ont été appelées fonctions interpolaires par Ampère. Il a observé que

Vt =

Zi — Zt Zt — Zi

Ui tli Uz fi; j :b= — -4- — — — ^— — -H r-r r , CIC.

(Z| — Zf) (Zi Zt) («j — Zt) {Zt — Zt) {Zt — «l)(«5— Zt)

formules qu'il est facile d'établir d'une manière générale et qui permettent de déduire la formule de Lagrange de celle de Newton.

III. Si zt — zi = Xi — Zi = z^ — 23 = Az =s h, on transforme afaëment la formule (2), dans le cas d'une fonction du troisième degrë, eh la suivante :

, ^ Z — ZiHfZi {z — Zt) (z — Zt) àffz^

fz = /Zi -*-

i ^z i.2 Azt

{z — zi) {z — Zi) (z — zs) As/zi