Az
dont l'analogie avec celle de Taylor est évidente. Mais, dans le cas d'une fonction entière de degré quelconque, il est plus facile, comme on va le voir, d'établir directement la formule semblable i (5) que de la déduire de (2). Posons pour abréger
(z — z^W = (z — Zi) {Z — Zf)...{z — Zp),
expression qui s'appelle une pseudopuisêanee ou nn produit équidifférênt. En y changeant z en z + Az, on obtient
(z H- Az — Zi)W = (z -4- Az — zi) (z — Zi) ... (z — «p-i). Par suite, après quelques réductions,
A(z — zi)W == (z -4- Az ■— zi)W — (z — z,) W « p (z — z,)Iy-»l Az,
c'est-à-dire que la différence d'une pseudopuissance s'obtient peur la mime règle que la différentielle d'une puissance. On aura donc, pour les différences secondes, troisièmes, etc.
A'.(z — z,)fH = p(p - 4) (z - z,y''-*^ Az«, A', (z - z,)W « p (p — I) (p — 2) (z — z^yp" 3J Az», etc.
Grâce à cette propriété, de la relation (i), qui s'écrit, dans le cas actuel,
on déduit aisément les différences successives de /z, savoir :
A/z = BAz 4- 2C (z — zO Az -»- 3G (z — Zi)l«l Az, A«/z = i .2 C Az« + 2.3 G (z — z,) Az«,
A Yz = 1 .2.3 GAz».
Faisant z es zi dans ces relations, il vient^ presque immédiatement, A-fz., B-^, C— -^^, G-;^-^-^.
Substituant ces valeurs dans (4), on trouve la formule (3). La démonstration d'ailleurs s'applique aux fonctions de degré quelconque.
M4. Formule de Newton pour les fonctions réelles non entières. Reste de Cauchy, La formule de Newton permet de trouver une fonction algébrique entière de degré n,
/X «sa A -♦- B (X — X|) -4- C (X — X|) (X — Xi) -4- ••• -♦- L (X — X|) (x — Xj) ... (x — X».i) -f- P(x — Xi){x — Xt) ... (x — X,),
qui, pourx successivement égal à Xi, x,,Xs, ..., x., X, a les valeurs y i,yt, ysf "M y«9 Y, que prend une fonction quelconque 2( = Fx, pour ces mêmes valeurs de x. Dans celte hypothèse, on a, en particulier,
FX = A -hB(X — x,)-i-C(X — x,)(X — x,)-4- ... -4-L(X— Xi)(X— x,)...(X— x«.i) + P(X-xO(X— x,)...(X— X,), (i)
et P est une fonction interpolaire dépendant des (an + S) quantités (xi, ..., X, yi, ..., Y), par le moyen de relations simples analogues k celles qui, au n^ 245^ II, définissent t;«, Ws* Sa.
On peut exprimer P au moyen de la n**** dérivée de Fx, si les conditions de continuité suivantes sont vérifiées : La fonction Fx et ses n premières dérivées sont continues pour x=sXi, Xi, ..., x«, X et pour les valeurs intermédiaires; toutefois F"x peut être discontinu pour la plus grande xm et la plus petite Xm de ces valeurs.
Pour le prouver, posons ^x == Fx — fx. Par hypothèse, ^x s*annule pour les n + i valeurs (xi, Xs, ... x«, X) qui rendent /x égal à Fx. D'après le théorème de Rolle, ^'x s'annulera pour n valeurs intermédiaires; puis, x"^ pour (n — 1) intermédiaires entre ces dernières, et ainsi de suite, jusqu'à ^"x qui s'annulera pour une valeur ^ intermédiaire entre Xm et xm. On aura donc
Or, la dérivée n*^ de fx est constante et égale à i .2.3 ...nP. Donc
Par suite, en substituant dans la relation (1),
lîlX = A -4- B (X — X.0 + C (X — xi) (X — xt) ^ . ..
^I/V UY \ /Y . , . (X-xO(X-x,)...(X-x,) ^,, -♦-L(X— Xi)(X— Xî)...(X— x«-i)h , Q g — ^^t
ce qui est la formule de Newton, complétée par un reste. L'expresaion
de ce reste a été trouvée par Gauchy {Comptes rendus de PariSj 1840, t. XI, p. 787; OEuvres, t. V, p. 422).
CoROLLAiBB. Si les quantités X|, Xt ••• Xn, tendent vers X, il en est de même de ( et lim P = [F*X : (i .2...n)] théorème qui est la généralisation de celui du ti? 257.
Rbharqijb. Il ne semble pas possible d'obtenir, d'une manière élément taire, une forme simple du reste, pour la formule de Newton, dans le cas d'une fonction d'une variable imaginaire.
SéS. AppucATioif. Règle de fausse position double. Si n = 2, la formule de Newton, peut s'écrire
^ xt — Xi 2
En laissant E de càté, on a l'égalité approximative
FX — Fxi Vxt — Fx, -— = ,
A — Xi Xt — X|
correspondant, pour le calcul de FX, k la règle dite de fausse position double. L'erreur E commise en employant cette proportion est moindre que I (xt — Xi)* ( — F"^), si X est compris entre Xi et Xi; car le maximum du produit (xs — X) (X — X|) où la somme des facteurs est constante, est ^ (xi — xi)* (n» 4).
En particulier : !• Soit Fx = Ix, Xi = N, Xi = N'. Si N <N', on trouve
8 étant compris entre et 1 . Lorsque N' = N-t-i,E— 1 6N-*.
En multipliant la formule précédente par le module M = 0,4343 des logarithmes à base 10, et observant que H est inférieur à {, on trouve
et, si N' — N =. 1 , E, = ^ N-«.
2« Soient F« = «-•, et N inférieur à N'. Alors
et, si N' = N -*- i, E = î ON-'; 9 est compris entre léro et l'unité.
5* Soient Fx = p/x, et N inférieur à N'. Alors
et, si N' «B N H- I, E = ^ 6N "; 6 est compris entre et i. i"* Soit encore ¥x^=yxy N étant plus petit que N'. Alors
— fi
el, si N' «= N -4- I, E = ^ 6N -*, étant encore compris entre et I.
Les formules précédentes permettent de voir dans quel cas on peut se servir avec sécurité de la méthode des parties proportionnelles pour le calcul du logarithme, de l'inverse, de la racine carrée et de la racine cubique d'un nombre compris entre deux autres insérés dans les tables.
