Loi suprême de Wronski aux différences. Le déterminant
5fx =
Fx
cpx
fx,
ÇXi .
Fx,
fXi
(fX% .
. . VpXt
Fx,
ÇXj .
Fx,
fx.
fXn .
. . ^Xn
est aul pour x (=» Xi, Xi, ..., x». Posons
La fonction
XX — (x — Xi) (x — Xt) -. (x — X*) P,
où P a la même valeur que dans l'égalité (i), s'annulera pour x-»Xi, Xs, ..., Xn, X. Par suite, d'après un raisonnement analogue à celui du n<* S44, la dérivée n*^^ de cette fonction est nulle pour une valeur S intermédiaire entre la plus grande et la plus petite des valeurs Xi, Xt, ..., Xm, X, moyennant des conditions de continuité faciles à énoncer. On a donc
et la formule (4) peut s'écrire
En développant le déterminant x^» on trouve la loi suprême de Wronski, en calcul des différences. On peut récrire
FX = «pt H- 6<fX + ... h- f|X + ^^-'^'^^^-^'l-^^-^ rS.
Les coefficients a, 6, ..., /, sont indépendants de X et sont les mineurs de x^ psi* rapport aux éléments de la première ligne de ce déterminant. On peut appeler ces mineurs des wronskiens aux différeneeê^ par opposition à ceux qui contiennent des dérivées ou des différentielles (3â7).
La loi suprême de Wronski aux différences est une généralisation de la formule de Newton. On retrouve celle-ci en posant /xesi,
(pX = (X — "îti), ..., ^|;X s=a (x — X^) (X Xf) ... (X — Xn^t).
III. Vormale de q^adràlare de Ga«ee. 947. Dérivée d'ardre quelconque d'une fonction interpolaire. Lbmhb I. On a, pour toute valeur entière et positive de p et de n,
En effet, on a identiquement
(i — vy v- « =a (4 — r)/» V— « — (i — vy^* V— •,
f (I — vyv'^dv = ( (1 — vytr-^dv — ( (1 — vy^^ty^-^dv.
Si le lemme est vrai pour l'exposant (n — S) de v, le second membre sera égal à
Donc le lemme est vrai aussi pour l'exposant (n — 4). Or, il est vrai, pour n s» 4, d'après la dernière formule du n* 259; par suite, il est vrai d'une manière générale.
Lbhhb IL La fonction interpolaire tf «> F (x, Xi, Xt, x», ...y x.) formée au moyen des valeurs Px, Fxi, Fx<, ..., Fx. d'une fonction Fx pour les
valeurs r, Xi, xt, ..., x« de la variable peut s'écrire (q° 245, II, remarque)
Px
(X — .Ti) {X Xi)...(X'—Xn)
Fxi Fx,
(Xi— x)(xi— xi)...(xi--x„) (x,.— x)(x«— Xt)...(x,— X»i)
On peut remplacer le premier terme de cette expression par n autres fractions analogues, contenant, au dénominateur, x au premier degré seulement. On a, en effet, identiquement,
(x — X,) (x — Xt) ... (x — X,) *""
(x — X|) (X| — Xt) . . (X| Xn) (x X,) (x» -- X|) . . . (X» — X«i)
OU
Q^M (x — Xi)...(X — X„) (x — Xi) ,. (x — Xit,i)
(X| — Xt) ... (X| — X,i) (x, — Xi) i,. {Xm — Xi^.i)
Car le polynôme du second membre, qui est du degré (n — i) en x, s'annule pour n valeurs de x, savoir X4, Xt, ... x»; donc, il est égal i zéro, quel que soit x* Il résulte de l'identité précédente que Ton peut écrire
Fxi — Fx Fx. — Fx
(Xi — X)(X| — Xt)...(Xi— X«) (X« — X)(X» — X|)...(X„ — X,.l)
ou encore
Fxi — Fx Fx, — Fx
J»l ""^ fit Xf^ ""~~ X
(Xi — Xt) . . . (X| — X„) (X« — Xi ) .. . (J, — X,„i)
m. Dérivée p^^ d'une fonction interpolaire. Nous obtenons immédiatement la dérivée p*^"*' de u par rapport à x, au moyen de la formule (1) du n" 239, savoir :
dru dsf
Ja ((«i — X,)...(X| — X,) (x, — X|)...(X, — X.-i))
Posons, pour abréger,
(py = F/H-» [x 4- V (y — x)], d'où l'on déduit immédiatement
— 129 -^ La quantité entre parenthèses; sous le signe intégral, pourra s'écrire
9X1 (pXn
(Xi — Xf) . . . (Xi — Xm) (Xn — Xi) . . . (X« — X«i)
et sera la fonction interpolaire formée au moyen de la fonction 9 et des valeurs Xi, Xi, ..., x» de y. D'après un théorème connu (244), elle sera
égale k
(p»-»yj __ F'+" [x -♦- V (>} — x)] t?"-*
i.2...(ii — 1)"" 4.2.3... (n — 4) '
7} étant une valeur comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs Xj, xi, ..., Xn et, à fortiori, entre la plus grande xji et la plus petite x«, des valeurs x, Xi, ... x». On a donc enOn
Cette intégrale, ou limite de somme, est comprise entre les sommes analogues que l'on obtient en remplaçant ?"+' [x -*- v{ri — x)] par la valeur la plus grande FJf*"'' et la valeur la plus petite F^"^'' que prend F"'*"''x quand x varie de x« à Xh. Par suite, D^u est compris entre
Fï^^ f*/. X .j i.2.3...p „ .,
i.2...(n — i)jQ ^ 1.2.3... (n-*-p) " *
La fonction F*+'' (x), étant supposée continue, passera entre Xm et xm par une valeur intermédiaire F^+z"^ telle que l'on aura
dxP 4.2.3...(nH-p) ^ (p-*-4)(p
t4§. Formule de quadrature de Gauss. Lbmmb I. Si n est entier et positif,
T fî/ «v j « 2.4.6.. .2n
'n = I (4 — x*)"dx = 2. r •
On a, en effet, identiquement,
(4 — x«)-dx = <| [x (4 — x«)-] — 2nx« (4 — x*)"->dx = d [x (4 — X»)-] 4^ 2» (4 — X»)»-* dx — 2n (4 — x*)»» dx,
ou, en faisant passer le dernier terme du second membre dans le premier et intégrant,
(2n -*- i) U = l d fx (1 — x«)-] -^ 2n i (i — x»)--*dx.
L'intégrale indéfinie formant le premier terme du second membre est x(i — x^Yj qui s'annule pour x=» — l,x=-*-l. Donc(2n + l)I«=ânI«-i. De même, (2« — i) I^i = (2n — 2)I,t, (2n--3)U-.j=(2n — 4)I»«i, etc. Donc enfin, de proche en proche,
Lbmmb II. L'équation Dl{x* — \y^=^Oan racines réelles y inégales et comprises entre -h 1 et — 1 . Considérons les dérivées successiyes de la fonction P (x) = (x* — !)•• = (x •— i)- (x + i)". On trouvera, par la formule de Leibniz (173),
DP (x) = (x — i)» . n (x -♦- 1)»-* -4- n (x — i)"-* (x ^ i)"; D«P (x) = (x — i)- . n (n — 1) (x ^ i)— « + 2n(x — 1)-* . n (x -h !)•-*
et ainsi de suite. La fonction DP contient le facteur (x» — i)*~*; de plus, puisque P s'annule pour x = — letx=-Hi, DP, d'après le théorème de Rolle, s'annule pour une valeur intermédiaire Xu. De même, D'P contient le facteur (x' — 1)*"'; en outre, puisque DP s'annule pour opcsï — 1, Xii, H- i, D*P s'annule pour x=sxny valeur comprise entre
— 1 et xh, et pour x = xm, valeur comprise entre Xn et 1. On prouve, d'une manière analogue, que D'P est divisible par (x*:— i)"~' et s'annule encore pour trois valeurs Xis, Xts, Xss intermédiaires respectivement entre
— i et Xii, x^t et Xst, Xsi et i . De proche en proche, on arrive à ce résultat que D"P s'annule pour n valeurs distinctes, Xi, x«, ..., x^, comprises entre — 1 et + d . Le premier terme de D"P ayant pour coefficient 2n (2n — 1) ... (n -*- i), on a
D"P (x) = (n -I- i) (n -*- 2) ... 2n (x — Xi) (x — x%) ... (x — x»).
Remarque. L'expression [D«P (x) : 2.4.6 ... 2n] a été appelée pofyfK))»^ Xn de Legendrcy parce que ce géomètre en a, le premier, étudié les propriétés. On peut encore énoncer le lemme précédent, en disant que l'équation X,»=0 a n racines réelles et inégales comprises entre -4- i e<— 1*
Formule de Gauss, Soient Fx, F'x, F"x, ..., F*"x une fonction et ses an premières dérivées continues de — i à + i ; Gx une fonction entière de degré (n — i)
A-4- B(x — Xj)-*-C(x — Xi){x — Xt)-f- ...-♦-L(x — Xi){x — xi)...(x — x«i)
égale à Fx pour les valeurs Xi, Xt» ...9^«9 racines de l'équation D*P = 0. On aura, par la formule de Newton (244),
Fx = 6X -f- (X — X|) (x — Xt) ... (x — X») F (X, Xi, Xi, ..., Xn)
ou, en abrégé, et en posant la fonction interpolaire F (x, xi, ..., x«)s=tt,
Fx >= Gx H — .
On déduit de là, en intégrant de — 1 à h- i ,
\ Fxdx = \ Gx dx -*- 7 TT-, TT — \ i« D-P dx.
Mais on a identiquement
ttD-P = D [wD"-*P] — Dt<D-*P, DtiD''-«P=D [Du.D"-«P]— D»ii.D-*P,
et ainsi de suite. Par conséquent,
tt D*P -= D [i*D"-*P — DtiD— «P ^ D«wD"-»P -*- (— i)«-«D— *«DP]
^ (— l)-PD''tt.
Intégrant, il vient
wD^Pdx s= (— !)• \ PI>"iidx
i D[iiD"-*P — Dt<D--«P ^ ... -^ (— l)«-*D«-*ttDP]ctr.
La dernière intégrale est nulle, parce la quantité entre crochets, qui est l'intégrale indéfinie correspondante, s'annule pour x=i et x= — i, d'après la démonstration du lemme II. Donc
iiD"Pdx = (— !)• \ VD^udx = l (i — x*)"D-ttdx,
ou^ en remplaçant D"u par sa valeur (246),
J— 1 J-li (n -♦- i) (n H- 2) ... 2n
Soient Fj*, F^T la plus grande et la plas petite valeur de V**x depuis ac = — \ jusqu'à x = -♦- 1 . On aura
FÎT ( (1 - x«)- < ( (i - x«)-F«-Çrfx < FÏ ( (i - x'Ydx,
et, si F'^x^A est une valeur convenablement choisie de F''*x entre ^ÎT ®^ ^"> ^^ pourra écrire
l (i — x»)-F»"Çrfx = F**x^ \ (i — x«)"dx.
Donc
Fx^ == j Gxdx + t(nH-l)(»H.2)...2n]' )l* " '''^'^'
Remplaçant l'intégrale définie par sa valeur, il vient, après quelques transformations,
i Fxrfx = i Gxdx H -T-rr
ili J*"* 2w -«- 1 L^-^S .• 2n— ij i.2.5...
an
formule de Gauss, avec un reste donné ici pour la première fois.
IV. La fonction Gx, peut, au moyen de la formule de Lagrange (243, 1), se mettre sous la forme
Fxf.GiX -I- FXf.GtX H- ••• -♦- Fxm.GrX,
où G|X, Gjx, ..., G,x sont des polynômes de degré (n — i) en x, dépendant uniquement de Xi, Xf, ..., x« et nullement de la forme de la fonction Fx. On a donc
\ Gxdx = Fxi \ Gixdx -f- ... 4- Fx» i G^x^x.
Gauss a calculé, pour n = 1,2^5,4,5,6,7, la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre. En les appelant ^i, ^t, ... g^ et désignant par p le terme complémentaire, la formule prend la forme
Fxdx = g^Fx^ -¥• gj?xt -i- ... -♦- jfnFx,
Voici ces valeurs pour n=i, n=2, fi=3. !• Si n=i, D(x* — i)=0 a pour racines xi = et l'on a gii = 2. â» Si n = 2, D* (x* — i)* = a pour racines x,=— x* = v/i = Û, 577 330 269 189 62S 8, ^i «= y, = i. 3» Si n «i 3, D' (x* — 1)5 = a pour racines Xj = — Xi = v/| = 0, 774 596 669 241 483 4, x, = 0, j, = y» = f , Jt = | •
V. APPL1C4T10N. La fonction x^ considérëe dans la loi suprême de Wronski aux différences (246), est telle que 5^X1=0, ;fXi = 0, ... XXn = 0. On a donc
jJJ^ ■^~2n-t-l [1.3.5... (2n—l)J 1.2.3...
formule nouvelle de quadrature d'une grande généralité.
IV. Théorème de Taylor pour les fencUene de plMslenre ▼artablee. 949. Dérivées successives d'une certaine fonction. Soient FI = /* (x -♦- Ax, y + Ay), Ax = Af , Aw «= fcf, w = x -i- A/, i; = y -♦- kt^ de sorte que D|ti *= A, Dit? «» A:. On trouve successivement :
V"t = AD,/; (u, ») -h kT),f, (m, t>)
= h [hf':» (tt, t>) -*- A/x; («, v)] + fc [hf:, («, ») + a/:; («, »)] = ayl; (tf, v) + 2A*^:; (tt, i>) + A-'f^ («, V).
De même, en supprimant, pour abréger, la paiientbèse (u, v),
F"'< = A» (A/iï -♦- A/:'.'.) + 2A)fc (A/X + AA-.'«) •*- ** (*/"i'^ "^ ^^^iO
= A»/;'.' -»- 3A»*/-:;;, -,- 3AA«f,;'. + k^fn,
formule que l'on peut écrire symboliquement :
En passant de n & n + 1 (comp. n*** 173 et 185), on peut établir la formule générale :
F-l = A-/^.(«, v) + j A-'A/;,^, Jti, V) + !î|^Z^/^^,^,(ii, v)-*-etc., (1) ou, symboliquement, FH = (AD^ -♦- ADJ"/".
Valeur de ces dérivées pour ( == 0. Si ^ =-. 0, u, i;, /*^p. (ii, v) devieanent respectivement x, y, f^p-q q (ac, y). On aura donc
FO = f{x, y) ; FO = hf^ (x, y) + A/"; (x, y) ; F'O = hYJ. (X, y) + 2Afc/;; (X, y) -t- fc^' (x, y) ;
et, en général,
F-0«A-/^.(x,y) + Ja— A/^..,^(x,y)+ ... +fc'»/^.(x,y). (2)
Multipliant ces relations respectivement par i, f, i*^ ..., P, il vient, d'après le n^ 185, en observant que ht = Ax, kt = Ay,
FO = /(x,y), <F'0 = d^ («F'0 = dY, ..., rF-0«rf-/: ilufre su6stt(ti<toit. Si, dans F"f, on remplace ( par 9/, ou u == x + &(, v =3 y 4- it, respectivement par x -h A9( = x -♦- 9 Ax, y -+- fc9( = y -h 9 Ay, on trouve, pour la valeur de (*F"(9<), l'expression
Ax»/^,(x -4- 9Ay, y -♦- 9 Ay) + - Ax»-« Ay r,.! (x -4- 9Ax, y -*- 9Ay) -♦- etc.,
que l'on peut écrire aussi bien
n àx*fln{x H- 9Ax,y -*- 9Ay) -4- - Ax"*"* Ay/^».i (x -4- 9Ay,y h- 9Ay) -h etc.
Il est indifférent, en effet, de remplacer, dans F"/, u par x h- 9Ax, t; par
y -*- 9Ay, ou dans F"0, x par x -♦- 9Ax, y par y -4- 9Ay. Le résultat obtenu, dans les deux cas, peut s'écrire
rF'(90 i= [drf{x,y)]^ + eA», y 4.'eAy.
SftO. Formule de Taylor. Pour abréger, dans ce qui suit, nous ne nous occuperons que d*une fonction /'(x,y) de deux variables réelles et nous n'employerons que les formes du reste de Lagrange et de Liouville.
Soient, comme au n® précédent, F( = f{x -*- Ax, y -♦- Ay), Ax = to, Ay = fcl, et supposons F(, F'(, F''^ ..., F"~*( continues de à I, F"l entre et (. On aura (n« 240)
Ff = F0 +4f'0 -*- r7;F"0 -i- •.. -4- , ^ \ .x F*""'0 -*-t-^^^ — F*^®!). 1 1.2 1.2.. .(n-*) 1.2.. .n ^ '
Si, de plus, F"( est continue pour ( =» 0, Fl-FO..JpO*iLp,o^...-.,-£J^jF.-.0..^(F.O^.e).
t étant aussi petit qu'on le veut, quand t est suflSsamment petit.
Remplaçons F^ FO, (F'O, <»F"0, ..-, rF"0, ("F"(90, par les valeurs trouvées au n° précédent; nous obtiendrons, en observant que F< — FO => f{x -4- Ax, y -f- Ay) — f{x,y) = A/;
. df d'f d-'*f . r ^Y 1
^^ df d'f d-'f d-f et-
C'est la formule de Taylor étendue au cas de deux variables. Evidemment, elle convient aussi au cas où il y en a une seulement, ou bien plus de deux.
951. Remarques. I. Pour que les fonctions F^, F'(, ...^ VH soient continues de & < (ou entre et f), il suffît que les dérivées de F (x, y) qui entrent dans la formule finale, soient continues de x à x + Ax, et de y à y + Ay (ou entre ces limites), non pour tous les modes imaginables de variation de x et de y, mais seulement pour ceux où ces variables reçoivent des accroissements proportionnels & A et ft, ou aux différences entre les valeurs de x et de y considérées.
II. Si les dérivées n**"** de f (x, y) sont inférieures en valeur absolue à une quantité positive M, pour toutes les valeurs de x et de y comprises entre x et x + Ax, entre y et y -«- Ay, on a
[1.2.../ija,
OAa?, y -♦- ôAy
ou
1^1.2... nJ/|y|-0Aa7, y+ OAy 1.2... n
Ai, As désignant les valeurs absolues de Ax, Ay.
III. On appelle formule de Maclaurin, dans le cas de deux ou plusieurs variables, celle que l'on déduit de la relation du n° 250; en remplaçant X pnr Xo, X -^ Ax par x, y par yo, y -4- Ay par y, particulièrement quand xo = 0, yo «= 0.
IV. Les formules de Taylor et de Maclaurin, dans le cas de plusieurs variables, s^appliquent surtout aux fonctions entières. Pour ces fonctions, le reste est nul, si l'on pousse le développement assez loin, puisque les
dérivées d'ordre n = m -t' i d'une fonction entière de degré m sont nulles; de plus^ le développement peut s'obtenir, par l'algèbre élémentaire, comme au n^ 229. On peut aussi, sans peine, étendre la formule de Newton (245) aux fonctions entières de plusieurs variables; mais il semble difficile de trouver^ d'une manière simple, une forme du reste, analogue h celle du n* 244, qui la rende applicable aux autres fonctions.
V. La détermination des vraies valeurs des expressions indéterminées dépendant de plusieurs variables présente, en général^ de grandes difficultés. On ne peut, le plus souvent, leur étendre le procédé du n^ 236, en appliquant la formule du n^ 250^ parce que celle-ci est établie en supposant le rapport (Ao: : Ay) constant (Voir au n"^ 75, un exemple où Ax = x, Ay = y, tendent simultanément vers zéro, d'une manière absolument indépendante).
