CHAPITRE III. Développements en série

I. Normale générale. 959. Principe général. Considérons la formule de Maclaurin (240)

f'-f^-w - uf"' - ■" - i.2...V- i) ^"" " p

OÙ z est réel ou imaginaire et où p a l'une des formes indiquées au chapitre précédent. Supposons p (ou, si z est imaginaire, le module de p) inférieur, pour toute valeur de à i^ à une quantité M«, indépendante de z, mais fonction de n. Si, pour n = oo , lim M» == 0, on a, de même, lim p = 0, pour n = oo , et, par suite,

ou, en employant la notation habituelle,

C'est la série dite de Maclaurin.

Remarque. D'après le n** 175, dans le cas d'une fonction paire, cette formule deviendra

fz = fO-^^ro + T-Ê-z^rO -H etc. ; ' ' i.2' 1.2.3.4' '

et dans le cas d'une fonction impaire,

S5S. Principe spécial. I. Lbmmb. Pour n croissant indéfiniment^ [a* : (i.2 ... n)] a pour limite zéro (a positif). En effet, comme nous l'avons remarqué incidemment au li? 241 , cette expression est le terme général de lasérie conyergente i -i-a-i-Ja'-H^o'-*- etc. (427, III), et, par suite (125, 1), a pour limite zéro. Autrement : Prenons n assez grand pour qu*il soit supérieur à a. On aura, si A + 1 est le premier nombre entier qui surpasse a.

^12 k A-hl n^l 2

a / a \»- * kyjk^Ti)

Or, pour n «= 00 , [a : (i -*- 1)]""* a pour limite zéro (29, I); donc, il en est de même de [a" : (1.2 ... n)].

II. ^t la dérivée n*^« de la fonction fz (ou son module^ si elle est imaginaire) pour les valeurs de z, deOà z, est, en valeur absolue^ quel que soit n, inférieure à une quantité finie A, lim p = et la fonction est développable par la série de Maclaurin,

1* En effet, si z est réel, on a, en valeur absolue^

^ 1.2 ...n' ^ ^^1.2...n Le second membre de cette inégalité, d'après le lemme, a pour limite zéro, quand n croit indéfiniment. Donc on a aussi lim p <= 0. 2'' Si z est imaginaire et a pour module a, puisque

on a

mod p < A i/^-rr: A

et, par suite, pour n =» oo , lim mod p «» 0, lim p = 0.

9541. Dérivation et intégration de la série de Maclaurin. I. On a, d'après le théorème de Maclaurin, si z est réel, pour la fonction fz du n« 252,

rang n -4- i pour (4), ou n pour (5), est une partie du premier teniK négligé, pourvu que z* soit encore inférieur à (2n 4- 1) (an + 2) dans (4), k^ni^n-i- i) dans (5).

IV. Si z est imaginaire et égal à r(cos ei) + t sin u), on peut séparer la partie réelle et la partie imaginaire, dans les relations (2), (4), (3), (5). Oo trouve ainsi des séries représentant

Gh (r eos (ù) cos (r sin cù), Sh (r cos on) sin (r sin ca),

cos (r cos 0)) Ch (r sin cd), sin (r cos (ù) Sh (r sin u),

Sh (r cos 0)) cos (r sin u), Gh (r cos u) sin (r sin u),

sin (r cos u) Gh (r sin a>), cos (r cos g») Sh (r sin fi>),

que nous croyons inutile de transcrire.

V. Il est aisé de déduire diverses formules de (2), (3), (4), (5), en remplaçant z par diverses expressions. Voici quelques exemples :

sm m« = ma -jj^ + OXél» -"*• '

sin (x -♦- fc) = sin a; cos A -*- cos a; sin A =»

= sin X -f- - cos X — -r-;r sin x — -r-^r— - cos x -♦- etc. 1 1.2 1.2.3