VI. On trouve encore, en combinant les quatre formules

l(Ch^ + cosx) = i*^-4-^ + etc.;

- fSh z -+■ sin jj) s= — -4- __ -I 1- etc. ;

gV ^ »* ^; 1 i.2.3.4.5 1.2...9 '

- (Ch « — cos jz) = ~— 4- --- — ~ -*- --- — -- -4- etc. ; 2^ ^ 1.2 1.2.. .6 1.2.. .10 '

1 x' z'^ JZ"

- (Sh « — sin z) = . ^ ^ + —- — - -♦- —7; — -- -♦- etc. 2^ ' i.2.3 1.2. ..7 1.2.. .11

VII. Rbmarqub. D'après les principes du n*" 254, ou directement,

OD

reconnaît que les séries (i ), (S), (5), (4), (5) peuvent être dérivées et intégrées terme à terme comme des polynômes.

III. JLoffarUlinieA. Sft7. Variable réelle. La fonction 1(1 + z) et ses dérivées

(1 4-z)-S — (i -4-^)-», (— 1)M.2(1 v z)-», (— 1)-M.2.3(1 -i-2)-*,etc.

sont continues de — 1 exclusivement jusque + oo exclusivement. Entre ces valeurs, on peut appliquer à 1 (i + z) la formule de Maclaurin. Pour j3 = 0, les dérivées successives deviennent

1, —1, (—4)» 1.2, (— 1)M.2.3, etc.;

lan'**^, où jjcstremplacépar 0z, est(— 1)""* 1.2.3 ...(n — l)(i -ï-ez)~". La formule de Maclaurin donne donc, puisque fO = \i s=: o,

JE Z^ Z^ Z^ jZJ**""^

p ayant, par exemple. Tune des deux expressions suivantes :

suivant que l'on prend le reste de Lagrange ou celui de Gauchy. Soit z positif et, au plus, égal à l'unité. Âlors^ on a

z" valeur absolue de p< < — >

etf par suite, pour n s=s oo , lim p =t= 0.

Soit z négatif et égal à — Zj, zi étant inférieur à l'unité. Alors

-. — nf 1—9 Y"' 1 ^ z;

car 1 — 6 est inférieur à 1 — 0Z|. Pour « = 00, on a encore (29, I), lim p = 0.

Il résulte de là, que, pour les valeurs de z^ de — 1 exclusivement à

-t- i ineltmvement, on a le développement en série

l(l-f.z) = |—y + ~j-f-etc. (1)

Remarques. I. Ce développement a déjà été obtenu autrement (n"* 209, II), avec une expression approchée du reste^ quand on s'arrête au (n — l)"* terme. On peut retrouver cette valeur du reste, quand z est

ëï'

positif et au plus égal à i, au moyen du n* 129; quand z est négatif et supérieur à — i , en observant que

— etc. < — (4 — «-*•«• — «' -I- etc.)

n M-t-l nH-2 n

II. La série (i) pour z*> 1 n'est pas convergente (127, III, 2* exemple); elle ne peut donc pas représenter le premier membre. Pour z = — 1, le second membre devient la série harmonique changée de signe, laquelle est divergente (29, II) et le premier 1 (1 — 1) = — « , de sorte que la formule (1) n'a plus aucun sens. Elle ne subsiste donc^ si z est réelf que pour les valeurs de z^de — 1 exclusivement à 1 inclusivement,

958. Variable imaginaire. La fonction 1((1 + z)) et ses dérivées sont continues de à z, pourvu que — 1 ne soit pas l'une des valeurs de z considérées. On peut donc, avec cette restriction, lui appliquer le théorème de Maclaurin. Désignons par 1((1)) la valeur de 1((1 -h z)) pour z=»0. Posons z =a re~', et supposons, pour fixer les idées, o) compris entre

— TT et -*- TT. Soit ensuite, 1 + z == r'e^'*j w' étant aussi compris entre

— 71 et -4- TT. On aura

1 -♦- r cos « = r' cos &>', r sin m = r' sin w', r' = j/l -4- r* h- 2r cos «, 1 ((1 -4- z)) = log. arithmétique de r' -+- w'i -i- 2il:7Ft.

Il résulte de ces formules, ou des constructions géométriques correspondantes, que (ù et &)' sont tous deux positifs, ou tous deux négatifs; de plus, (ù' est, en valeur absolue, plus petit que &). Si z tend vers zéro, c'est-à-dire si r tend vers zéro, o) restant fixe, r' tend vers Tunité, (ù' vers zérO; et, par suite, on a 1((1)) e=2A7rt. Le développement de 1((1 + z)) devient donc, en faisant passer 1((1)) dans le premier membre et posant 1(1 -^ z) =. 1((1 -♦- z)) — 1 ((!)) = Ir' -^ w'i,

Discussion. Pour voir dans quels cas p tend vers zéro, quand n =b- oo , posons 1 + 0z = Re'^*, c'est-à-dire, sous forme explicite,

4-4-6rcosa)=sRcosO, 9r sin gi>=:R sin Î2, R=j/4 -i-29rcos«-t-6*r*.

— Ii8 -

i^ rest égal ou inférieur à V unité ^ eos (ù nul ou positif. Dans ce cas, R est égal ou supérieur à l'uaité et, par suite, égal ou supérieur à r. Donc

et a pour limite zéro, si n = oo .

2« r est inférieur d l'unité^ cos w négatif. Oa trouve alors

modp = lf/^z-Q^y *i,

R =. j/i ^ 2tlr cos » -»- ev« == i/(\ —Qry + 49r cos» |- w;

R est égal ou supérieur ai — Qr et, par suite, à i — retài 9. Donc

mod p est inférieur à [i/2 r* : (1 — r)] et a pour limite zéro, si n = 00 . Z* r = I, co« (0 négatif, mais différent de — i. Pour obtenir le développement, quand z => e^*^ cos gj étant différent de — I , nous chercherons d*abord celui de fz = (1 -^ z)\{i -h z). Les dérivées successives de ce produit, jusqu'à la n*^% sont

(1 H- zy (i H- z)»

En^pliquant la formule de Maclaurin, il vient

(1 -H«)l(i + Jî)=:G^pi,

is» z' z* »•— *

rH-l

En divisant par (1 -<- z), il vient

On trouve aisément

modr = ^ =T —9 mod(— i)— « -= -;

i + « l/(i + cosco)«-^siu«» 2cosi« „i n— 1

modpi= — ^— -( . =: ) <

^ n — i V|/(i — 0)' -*- 46 cos« I »/

modp <

2coss-Gi> n — 1

Par suite, pour n = oo , /tm tnod p = 0, /tm p = 0. Conclusion, Il résulte de la discussion précédente que l'on a

l(l-hz) = ~|--»-i — j-*-etc., (4)

pour (OKtfj les vcdeurs de z dont le module n'est pas supérieur à Vunité^ sauf si jz a — i. Ce dernier cas est exclu, parce que Ton sait, à priori, que la formule correspondante

i i 1 1 ,(,4) = 4------etc..

n'a aucun sens.

Si Ton écrit refi** au lieu de z, Ir' -4- «'• au lieu de 1 (1 •♦- z), la formule (1) devient

1(1 -♦- j:) = \r' 4- w't = -j — I — etc. (2)

ou, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,

, , r cos 0) r' cos 2« r* cos 5«

lr'= — ; H etc.;

r sin tù r* sin 2(k) r' sin 3fi> «' = — -, 1 etc.

Cas particuliers. I. Soit u «» i tt. Alors on a r'cosû>' = l, r'sina)' = r, r'==|/l -♦- r% «'«= arc tangr;

r r' r* r' arc tangr — j — — 4- «■ — ■=■ -*- etc.

La première de ces séries ne différé pas de celle du n^ 257^ où l'on ferait jc «=: r*; la seconde a été trouvée autrement au n"" 209.

II. Si r = 1 , on trouve r' « j/(2 -*- 2 cos «) «= 2 cos | «, sans ambiguïté de signe^ puisque cos ^ o n'est jamais négatif. Ou a ensuite

r' cos tt>' = i -f- cos (0 c= 2 cos* { w, r' sin ûi)'=sin w=2 sin ^ a> cos ^ «^

r' = 3 cos ^ 0), cos w' «= cos { w, sin »' = sin ^ w, «' = i «.

La relation (2), dans ce cas, donne les deux séries réelles :

, /. i \ coso) cos2ci) cos5(k) cos4g>)

H^2cos-a>J=-^ 2~'*'~3 4—^^*^-' -^<«<^;

i sin 0) sin 2(«) sin 5g) sin 4&>

.0) = -^ 2~"^~3 4--^ etc., -7r<a><7r.

En faisant (ù = u — tt, elles deviennent

,/^ . i \ cosw cos2i« cos5u cos4u -l(^2sm-uj=^-^ + -^— +-y- + -^+etc., 0<ii<27r,

1 i sin u sin 2u sin 5u sin 4ti

„.„=,__ + __ + __ + __^.etc., 0<u<2Tr.

III. En faisant r= i dans le premier cas particulier, ou &> «= i tt dans le second, on obtient les deux séries numériques déjà trouvées (n^ 209) :

, ^ , i i 1 ^ TT , i i i

log2 = l — S"*" »-~T^®*^-» 7 = ^ — »■*- v — « •*- etc. ° 254 4 357

Supposons (ù et u positifs plus petits que n et égaux à i; ajoutons les deux séries donnant {ty^it — ^f, et divisons par 2; il viendra

it sin t sin 5t sin 5{

- = -j--t--^ + ^- + ctc. 0<Kt.

Remarque. On déduit de la dernière relation, en changeant les signes des deux membres et posant — t =3 v,

TT sin t? sin 5v sin 5v

— -=»— - — I = — H h etc. 0>V>— TT.

— as —

On peut évidemment, dans les deux dernières séries, augmenter ou diminuer ( et v de une ou plusieurs fois 2k* Ces séries d'ailleurs, pour ( = — V = 0, TT, 27r, etc., ont une valeur nulle. On peut donc dire que la série sin { + | sin 51 -t- 1 sin 52 -f- etc. est une fonction discontinue susceptible de trois valeurs seulement, savoir 0, ^ tt, — j tt. Les séries égales à ^0), l(2cos^&)) sont aussi des fonctions discontinues de co, comme il est aisé de le voir.

969. Dérivation et intégration de la série logarithmique^ F. Si z est réel, on a

Si z est imaginaire, suivant les trois cas considérés,

mod

p<— jj-, modp<j-— ., modp<-— fj

2 cos I (o

Par conséquent, d*après le n"^ 254, III, la série logarithmique est intégrable terme à terme de à z, z ou mod z étant au plus égal à i. On a d'ailleurs D, [(1 -4- z) 1 (i -^ z) — z] = 1 (1 + z), comme on Ta vu incidemment au n^* 258, 3^ Donc (225),

\l(i -^ z)dz = {i'^z)l{i'i-z)'--zA l(l-|.z)(iz==(l-i-ir)l(l-*-«)-i. On a, par conséquent,

(i -4-z)l(i +z)-z = f fj — l^i. — i. + etc.|rfz,

ou, en effectuant les opérations et transposant z,

(1 + X) 1 (1 -H .) = z + il-i!^-^^-^ -,. etc.

Cette formule, déjà trouvée au n? précédent, quand mod za=s If p<^Q^ s'établir aussi par le procédé indiqué dans ce n^, lorsque mod z est inférieur à l'unité.

II. Si mod z est au plus égal à l'unité, p ou mod p, est inférieur à une. quantité M», savoir, suivant les cas,

n 1 — «i n i — r n — 12co8^(o

On a donc hMn égal a l'une des quantitës

— nr*, — ; — •

r 2 cos I ot) n — i

Si jz* ou r est inférieur à l'unité (ce qui exclut la dernière expression), lim fiMn = 0, pour n = oo , d'après le n"" 29, I, pour la première et la troisième; d'après le n" 20i^ pour la seconde et la quatrième. En effet, posons Zi ou r égal k {i : B). On aura nz^ ou nr** = (n : B*»), quantité qui a zéro pour limite, quand n croit indéfiniment.

D'après le n* 254, la série logarithmique peut donc être dérivée terme à terme, «i mod z est inférieur à l'unité. On trouve ainsi

e=3 I — Z ^ z* — Z* -^ Z* ^ etc.,

c'est-i-dire, la formule connue qui donne la somme d'une progression géométrique illimitée de raison — x, le premier terme étant l'unité. ni. Réciproquement, de la formule

- — = 1 — « -4- «« — «» -I- ... H- (— d)»-* «••-• + (— iy-* - — •

on déduit, en intégrant de à jc, supposé différent de — i ,

ce qui donne le reste de la série logarithmique, sous une forme nouvelle. On peut montrer que, pour n infini, la limite de cette expression est égale à zéro, si mod r est inférieur ou égal à l'unité. Pour abréger, considérons seulement le cas où ( est réel. Dans cette hypothèse, i -t- < est compris entre i et i -4- z, [^~* : (i -n t)] entre r~* et p""* : (i h- z)].

C^V-^dt Donc la limite de somme, ou intégrale, \ " , est comprise entre les

deux valeurs

f ^ . . ^* If*., 1 «"

Or jz étant compris entre — i exclusivement et 1 inclusivement, jz" est, en valeur absolue, au plus, égal à l'unité. Pour n «» oo , les deux expressions précédentes ont donc zéro pour limite; par suite, il en est de même du reste de la série écrite plus haut.

Remarques. I. De même, par intégration, on déduit de

la formule

arctangz = --^^--...-*-(-l)--^jj-3j-+(-i)-)^^-^,

qui conduit aisément, quand z est réel et tout au plus égal à l'unité, à la série pour arc tang z trouvée antérieurement (209, 258). On peut observer que arc tadg z = arc cot jz~* • Si z est supérieur à l'unité, soit zu =3 i . Alors arc cot z"* = arc cot u = ^ tt — arc tang u, expression développable en série.

Si l'on fait z = tang v, la série qui donne arc tang z = v, devient

tang V tang' v tang*^ v

r = — -2 ^ 1 ^ etc.

II. Si z* est inférieur à l'unité, on tire, de même, de la relation 1 {'**

intégrée entre et z, une série (comp. n"" 62, 79, 146, i*') que nous retrouverons autrement au n° suivant, savoir :

1 /l -♦- z\ z z* z^ ArgTh.=l(^j-^j=--*---K- + etc.

On peut aussi écrire Arg Th z = Arg Coth u, si zu -=» i . Alors, pour tt'>l,

A ^ .u 1,/mh-1\ 1 1 1

Arg Coth t< = -l( )=--+- =-^-*-irT-*- etc.

960. Séries logarithmiques déduites de la série principale. I. Si z ou le mod de z est supérieur à l'unité, on obtient un développement pour 1(1 + z), en observant que z~' ayant un module inférieur a l'unité, on a

1(1 -♦- z) = Iz -f- Il 1 H- - ) = k H — -^--— — —

^ ^ \ zj z ^z^ Zz^ 4a

, , + etc.

ktZ*

On trouve, de même, si le module de h est inférieur ou égal k celui de

«, z étant différent de — h,

/ h\ , h h* h' h* l,^ + ft) = lz + 1(^1+-) = !^ + --27. + 3ir-4^ ■*•«»«•

et s'il est égal ou supérieur (z étant encore différent de — A)

,(, + A)=iA + i(i +|)=iA-*-f-|î-*-^-i-*- «t°-