III. Si Von fait, dans celle-ci

elle devient

et, pour A = i ,

,(N + l)lN = 2[^^-^3P^-*-gp^-etc.J;(5)

que Ton écrit parfois, en remplaçant N par N — i ,

iN = i(N-i)H-2[^-.-^pÎ3ijïH-^^2rtïï«-^H" ^*^

La formule (2) peut aussi se déduire de (3) en remplaçant N par (N : A).

IV. Si, dans la formule (3), on remplace N par N» — I, c est-à-dire, si Ton fait, dans (1),

elle devient, après quelques transpositions,

ri i i ~i

[1(N -+- i) ~ IN] — [IN - 1(N — i)]

Remarques. I. L'erreur commise en s'arrétant à un terme quelconque de Tune des séries (i), (2), (3), (4), (5), (6) s'obtient par comparaison avec une progression géométrique, si z est réel. Ainsi

^Sm+I 2*"+> T*m^Ji

+ -♦- etc.

2m -♦- i 2/1-1-3 2n -4- 5 (i -♦- Z* -»- Z* + •••) ou

II. Les développements des logarithmes de Briggs L(i -t- z), L{z + A), L(N -H i)^ etc., s'obtiennent en multipliant les précédents par le module M(n<» 43, 261, IV). On trouve ainsi, par exemple, h la place de (3), la formule suivante :

Sttl . Calcul pratique det logarithmes. I. La formule (3), à elle seule, su£Gt pour le calcul des logarithmes népériens de tous les nombres, puisqu'elle donne les différences logarithmiques successives. On trouve, par exemple, en faisant dans (3), N + 1 ==■ 2, 5, 5, 7,

log2 = -|^lH-g.--^-.-+etc.j; (7)

log5 = log2H-|[l+l.l-^i.l+etc.];

log5 = 21og2-*-?[^<+t.lM-l.lH-etc.]; (9)

log7 = log2 + log3-i-^[^l+l.± + i.ji + elc.1. (10) Il est facile de calculer l'erreur commise en s'arrétant à un terme

quelconque (360). c Par exemple, si Ton se borne aux quatre premiers termes dans la formule qui donne log 2, on commet une erreur moindre que yfTst* Pour avoir la même approximation au moyen du dëveioppement log2 = i — { -^ ^ — etc., on devrait employer 78731 termes » (Catalan).

II. La formule (K) ou (6), qui donne les différences secondes (237) des logarithmes successifs, peut aussi servir à trouver ceux-ci, par des séries plus convergentes que les précédentes. Car, tout nombre premier impair est compris entre deux nombres pairs, produits de nombres premiers plus petits. Ainsi, en faisant dans (5), N = 3, 3, 5, 7, on trouve

2 log 2 = log 5 + - 1 + - • yi + j. yj + etc. ; (11)

21og3 = 31og2 + l[l+i.l-. + i.± + etc.];(12)

21og5 = 31og2 + log3 + ^ri+i~ + i.^+etc.J;(13)

21og7 = 41og2 + log3H-Ml +|-9yi-*-5*9f« + «M-(**) Des deux premières séries, on déduit, en éliminant log 3,

log2=y-|^l-^g--Vg.--^etc.J^^|^l + ..-.-.j^. + etc.J

III. Mais on peut trouver des combinaisons donnant les logarithmes des nombres premiers 2, 3, 5, 7 par. des séries plus convergentes encore que les précédentes. Faisons, par exemple, N = 9 dans la formule (3), il vient

41og3 = 41og2 + log5 + A|^l^<.J^J.^^etc.],

qui peut remplacer (1 1) et servir, avec (12) et (i 3), h calculer log 2, log 3, log 3. On peut aussi employer pour calculer log 2, log 3, log 3, log 7, les formules (13), (14), (16), avec la suivante :

41og7=«log2^1og3-»-21og5-.^[l +1.^H. l.;^-.etc.],(17) obtenue en faisant, dans (3), N + 1 = 2401 =7* = 2'.3.S* -t- 1.

Voici encore des formules pouvant servir à calculer log 3, log 3, log 5, log 19; elles sont fondées sur les égalités suivantes :

2M9=3.5»H-1, 2''.3=5.19-t-l, 19»=2».3«.b + 1, <9.3»=2«-»-4. 21og2+logl9 = log3 + 21og5 + ^ h -ni. ^1, + 1. J^ + etc.J;

81og2 + log5 = log5 + logl9 + —U + -- j^^ + -. j^^ + etc.J;

21ogl9=31og2 + log3 + log8 + Ari+i.J + l.l^ + elc.J;

31og3 + log49 = 91og2 + ^[l + i -^h- i.^+ etc.].

Oa peut aussi trouver log 7 au moyen de log 19, en observant quei9'-t-i = 2«.5.7».

IV. Le module M des logarithmes de Briggs est égal à [i : log iO] (43). On peut calculer M ou log iO, en même temps que log 2 et log4i, au moyen des formules suivantes :

Iogi0 = 31og2+|[^i +1.1 + ^ -1+ etc.J,

41 = â loff 2 -*- loK 40-1 !-+-"=•• — - H — • 1- etc. |>

log 44 H- 2 log 40 = 42 log 2-H—— 4 -^- . --- h- - . __-- -h etc. . ® ® ^ 2049 L 3 2049* 5 2049* J

La première est déduite de (9), en ajoutant log2 aux deux membres, et dont les autres sont tirées de (3) en y faisant N = 40, N := 4024 et observant que 4100 =s 4 (2'^ -^ 4). On a trouvé

log 40=^2,^0258 50929 94045 7, M=0,43429 44849 03254 8.

Une fois M connu, on calcule les logarithmes k base 40 par le moyen des séries du numéro précédent. On trouve ainsi, par exemple, en faisant N = 40000 dans la dernière formule du n" 260,

L(1000i) = 4..2M[^^i.^^..etc.].

log

IV. Blnème. 969. Limite du terme général. GonsidëroQs l'expression

Un = — ^^ ^ ' z*.

où m est réel et cherchons-en la limite pour n = oo . I. Si z, en valeur

absolue (ou mod z, si z est imaginaire), est inférieur à l'unité, lim Un = 0.

En effet, si z est réel, ti» est le terme général d'une série convergente

(127, III, dernier exemple) et, par suite (125), a pour limite zéro; si z est

imaginaire, il en est de même du module de Un> Autrement. Soit r le

module de z; posons

.m — f-*-l , /. m -♦- 1\ ¥i == mod z = ±:li j — j r.

On aura

mod«« = FiFt...Fn.

Pour / croissant indéfiniment, limF| = r, quantité inférieure à l'unité. Donc, si n est suffisamment grand, h partir d^une certaine valeur k -*- i de /, tous les facteurs Fk^i^ F*+î> •••> F», aussi voisins de r qu'on le veut^ sont inférieurs à une quantité t, inférieure à l'unité. On aura donc

< mod Un < FiF, . . . FAi"-*,

et, pour n = co^ lim mod Wn = (29, 1).