TTï

est sopérieare i

quantité égale à P (H. — H*), si H, et H* désignent respectivement les m et les k premiers termes de la série harmonique. Or, pour 11 = 00, lim H» = 00 (29, II); donc aussi lim tr. = oo . 5* Si m -t- i est positif et égal k P, soit encore i -v i le premier nombre entier supérieur à P. On aura, si / est plus grand que k.

Par suite,

et, pour n = 00 , d'après le 2«,

IV. En résumé, u» n*a pour limité zéro, que si le module de z eêt inférieur à l'unité, ou sij étant égal d l'unité, m h- i esl positif.

9M. Cas d'une variable réelle. I. Les dérivées successives de (1 + z)"* sont

»i(t H-x)— ', in(m— l)(i -^z)--*, ..., m(fît— i)...(m— n-*- i)(l + x)— ".

Pour n suffisamment grand, une ou plusieurs de ces dérivas contiendront (I + z) avec un exposant négatif, et ne seront pas finies pour 2 = — i. Par conséquent, on ne pourra appliquer la formule de Mactaurin, avec un reste, pour n quelconque, que de z «= — 1 exclusivement i z = oo exclusivement. On trouve ainsi

/.,,«! mim — i) - m(m—0-« •(»«—»•*- 2) , ^

p étant, par exemple, Tune des expressions suivantes :

m{fn — 4). ..(m — n -f- i) ^ i

m(m — i)... (m — n-*-4) ^ (i -^-G)"-* f^'"^ 1 .2 ... (n — 1) ^" (i + ez)-- '

suivant que l'on prend le reste de Lagrange ou celui de Cauchy.

IL Cas où z est inférieur d Vunité en valeur absolue. Soit z positif et inférieur k Tunité. Alors pi est le produit de deux facteurs dont le second, (I +62)***"", est inférieur à Tunité et dont le premier a pour limite zéro, si n = 00 (262, I). Donc aussi, lim pi ==» 0.

Si z est négatif et égal à — Zi, et zi étant inférieur k l'unité, considérons le reste pe* Dans

(1 -4- ez)»-- ~ \i — 0z,/ (1 — 0z,)*-« '

le second facteur du second membre est compris entre i et (1 — Zi)*'', quantités finies; le premier est inférieur à l'unité. On a ensuite

mz. : --T ; 7: z" '.