III. Cas où z = ±:i. Siz=sl

a pour limite zéro, si iw -*- i est positif (262, III). Donc, dans cette hypothèse,

Si m -«- 1 est nëgatif ou nul, le terme général de la série (2) n'a pas pour limite zéro (262, III), et cette «érie n'est pas convergente (i23, I). U relation (2) ne subsiste donc que pour (m -^ 1) positif.

Soit « = — i . Ce cas singulier se traite directement. On a

seulement dans le cas où m est positif. En effet,

et, de proche en proche, en posant m — 1 = m'.

^ ( j j, tn^(m^-->l).,.(m^ — n-f-i)

D'après 262, III, la dernière expression a, pour « = oo , une limite infinie, si w' -h 1 = m est négatif, une limite nulle, si m' h- 1 = m est positif. Donc la formule (5) ne subsiste que si m est plus grand que zéro. Il est inutile d'examiner le cas où m = 0, parce que, dans ce cas, la formule (5) prend la forme illusoire 0^ ==: i .

IV. Valeur approchée du reste. Le rapport (ti^+i : ti.) de deux termes

successifs est égal à J^ z = (^i^ ^^^ ( ^). 40 goit z positif et

au plus égal à l'unité. Si m ^ i est positif, les termes seront alternativement positifs et négatifs et iront en décroissant, en valeur absolue, 4 partir de la première valeur de n supérieure à m. Si m -4- 1 est négatif ou nul, les termes sont alternativement positifs et négatifs k partir du premier, mais ils ne décroitront, en valeur absolue, que pour une valeur de n vérifiant l'inégalité

•^--j-jz<i ou (nH-l)>(wi4-I)

L'erreur commise en s'arrétant à un terme quelconque, & parlir de ceux qui vont en décroissant en valeur absolue et sont alternativement positifs et négatifs, est inférieure au premier terme négligé (129). 2° Soit z négatif, et égal à — Z\^ zk étant inférieur à l'unité. Si (m -4- 1) est positif, le rapport (tiM^.i : t<«) est positif et inférieur à zi, à partir de la première valeur de n supérieure à m. On aura donc (comp. 127, I)

Hit+i -♦- Wii+« 4- ti«+5 -♦- etc.<u«^i (1 -+- Zi -I- zj -I- zj -H etc.) ou— -^ii-.

Si m + i est nul ou négatif, tous les termes seront positifs à partir du premier; (u«+i : u^ deviendra et restera inférieur à Tunité, & partir d'une valeur de n telle que l'on ait la relation

q = r^<* ou (n -4- i)>(m -I- 1) . •

On aura ensuite

M«+| -♦- ««4.» -♦- tl»+3 -♦- etc. < UnAti (i -♦- î H- ?• + Ç' -♦- •••) OU — -1— .

5^ Si z = — i , la valeur exacte de la somme de n termes de la série est donnée par la démonstration même de la formule.

966. Ca» d'une variable imaginaire. Préliminaires. I. Nous représentons par {(1 -4- «))"• la fonction multiforme e"'*^^*+'^* (comp. n»' 81 et 445). Soient, comme au n^ 258, &> et tù' des angles compris entre — n et -♦- TT et tels que z = rc**', i -4- z = r'e"'* et, par suite,

i -♦- r cos « = K cos û>', r sin « = r' sin o)', r' = j/l -♦- r* -*- 2rco8(ù.

On aura

ml((l -*- z))"* = m (Ir' -♦- w'i -♦- 2A;7rt),

= r'"* [cos (m»' H- 2A;7rm) -♦- 1 sin (mw' -♦- â^irm)].

Si, (ù restant fixe, z tend vers zéro, l'on sait que u' tend vers zéro et r' vers l'unité (258). On a donc

((i))"» = cos 2A:7rm + i sin iknm.

Représentons par (1 -♦- «)"• celle des valeurs de ((i -♦- «))"* qui correspond i & =3 0. On aura

(1 -♦- z)"* = r'** (cos mw' -n t sin m«'), (1)"» s= i ,

Par suite, pour « as 0, on a (i -h zy^s=xi. De plus, d'après les propriétés des exponentielles imaginaires (67),

((1 -i- z))- = ((!))- (i -HZ)-.

Par suite, il suffit de chercher le développement de (t -h z)-, celui de ((i + x))- s*en déduisant immédiatement.

II. On trouve, comme au n® 263, en supposant que z ne paâse pas par la valeur — 1 ,

,. . , m tnlin — i) , tn(m — i)...(m — in-2)

Chaque fois que lim p = 0, pour n = oo , on a en série convergente :

(l+z)" = 4+-«H 5^^-^z'H--^ j^^^l -^z» + etc.

Pour que cette série soit convergente, il faut que, pour n = co , lim Un == 0, Un désignant le terme général de la série, ou celui qui en a n avant lui. D'après le n^' 262, cela n'a lieu que si le module de z est inférieur à l'unité, m étant quelconque ; ou si le module de z est égal à l'unité, fn H- 4 étant positif. Ces conditions nécessaires sont aussi suffisantes, comme on va le voir, pour que lim p = 0, ou pour que la série convergente ait pour somme (4 + z)"*.

9M. Discussion. Posons, comme au n''258, 4 + Gr = Re^'. Alors

4 + 6r cos 6) = R cos û, 6 sin co =» R sin 12, R = i/4 -H 0V« -H 2Ôr cos « = (/(4 — Qr)* -4- iOrcos» J «.

Premier cas : r inférieur à V unité ^ cos (ù nul ou positif. Dans ce cas, R est plus grand que l'unité, et

mod p/= A j/2 (mod Un) j^^

a pour limite zéro, puisque lim mod Un = (262, 1).

Deuxième cas / r = 4 , cos &) nul ou positif. Même conclusion, d'après 362, III, pourvu que (m -4- 4) soit positif.

Troisième cm : r inférieur d tunité^ cos &> négatif. Dans ce cas, observons que R est plus grand que 1 — 9r, i — 9, i — r et que

modp«

Le second facteur du module de pe, qui est le module du terme général de la série