j- z 4- ^ f^ Iz' + etc

a pour limite zéro, pour n = oo , car on peut remplacer, dans 36S, I, m par m — i . Le premier facteur ne dépend pas de n, le troisième est inférieur à i'unilé et le quatrième est compris entre i et (i — r)"*''. Donc lim mod pe = 0, et lim p« = 0, pour n = oo .

Quatrième cas : r = if cos &> négatif y mais différent de — 1 (Le cas où cos Ci) = — i correspond k z = — 1 et a été traité au n^ 264, II). On a, dans le cas actuel, R = v/ [i — 0)' -♦- 40 cos" j w], quantité supérieure & i — 0, puis

1 /IT Jm— l)(m— 2)...(m— n-4-i) Vi—ÔV"* « ,

Pour n croissant indéfiniment, cette expression a pour limite zéro, si le second facteur a pour limite zéro, car les trois autres sont ou restent finis. Or, d*après 262, III, le second facteur a pour limite zéro si (m— i) + 1 ou m est positif. Mais cette condition suffisante n'est pas nécessaire, comme nous allons le voir.

D'après ce qui vient d'être démontré, on a

et lim p' = 0, pour n = « , si m -*- 1 est positif. Or, d'après les propriétés connues des coefficients du binôme,

(m-t-l)...(ni— /I-+-2) m(m— l)...(m— n+1) m{m — l)...(m— w-4-2)

On peut donc écrire la valeur de (1 + 2)"*+*, comme il suit :

xf. w ^(m — i) „ m(m — 1)...(m— «h-2) 1

ou, en divisant par (i + z),

Si m -^ i est positif, le premier facteur du premier terme de p a pour limite zéro, quand n croit indéfiniment; le second facteur reste fini; le second terme a aussi pour limite zéro, puisque lim p' £= 0. Donc enfin,

(i -i- zr = 1 -t- -7- ^ -^ — ^ « -♦- etc.,

si (m -4- 1 ) est positif, mod z = i^ cos (ù négatif.

967. Résumé. Dérivatiofiy intégration. On peut réunir tous les résultats précédents en disant que la formule

subsiste chaque fois que la série du second membre est convergente, ce qui arrive, quand le module de z est inférieur à Tunilé, ou quand ce module est égal à l'unité, mais que m + i est positif, sauf toutefois si z = — 1, auquel cas, il faut, de plus, que m soit positif. On peut écrire la formule du binôme sous la forme

r'" (cos moo' -4- 1 sin w»') = I -♦- j r (cos û) 4- 1 sin w) H — - — r» (cos 2« -♦- sm 2«) -♦- elc ;

ou encore, en multipliant par (cos mci>' — t sin mo)'),

r'"» == (cos m«' — • sin ww') -+- -- r [cos (mw' — w) — 1 sin (m»' — w)]

H ^j — T — ^ r« [cos (mw' — 2û)) — • sin (m»' — 2w)] -♦- elc.

En dérivant les deux membres de la formule du binôme terme à terme, on trouve la même formule où l'exposant m est diminué d'une unité. L'intégration reproduit aussi cette formule, où l'exposant est augmenté d'une unité. Ces deux opérations sont légitimes si le module de z est inférieur à l'unité, ou si le module de z est égal à l'unité et si le nouvel exposant est supérieur à — i, ou même à zéro, quand z^= — i.

9M. Cm parUeulters, l. Soit z = i tang x, x étant inférieur à J tt, ou égal i I TT, et, dans ce cas, m + 1 étant positif. On aura

(1 H- t tang x)"» =