Umlte de P«»=> ( t -* ) pour •••= oo, et llmlles qol

eD dépendent (Schaar, G. D. n» i7). a§. m entier poêitif. L On a :

P^== u^ 4- tli -4- tis + ••• -f-Hn -4 1- tl«, tlo= 1 j tu ='J ' ^* '^ 5 l 5iy

m(iii— i)->*(m— in>l ) i^^ ^^ î!iv...v

Si m croit, chaque terme de P.. croit et le nombre des termes de Pm croit; P» croit donc avec m, et a une limite finie on infinie (26). II. Ensuite,

Donc, successivement, ^^^^^^

t/«<ll»H-««-f- «»<!/«

On a, » étant quelconque, par conséquent,

nH-4

M»+ tl.+ , +11.^, H-... + 1,^ :=, ,^ /j ^ J?\ O<0<i;

Um e= «0 + tf| -t- t/f + ... -I-

m. Faisons crottre m uidëfiniment, n restant fixe et soit lim ei»-« = « w étant au plus égal à n"*. II viendra, en posant lim P, = e,

lim P, = e = 1 + 1 + -L ^. .

IV. « est incommensurable. Soit, en effet, s'il est possible.

multiplions par i.3.3...9.Il viendra : nombre et^ier^s nombre entier -hoà, ce qui est absurde (Liouvillb). Ceci prouve que &> est aussi incommensurable et n*est pas égal iqr* . Hermitb a d(!montrë (1873) que e n'est racine d'aucune équation algébrique à coeflBcients entiers.

V. La limite de P- est comprise entre 2.718381828 et S.718281829; elle est plus rapprochée de la première fraction. Les logarithmes qui ont pour base e sont appelés népiriene^ en l'honneur de Neper, quoique les logarithmes considérés par lui aient une autre base.

S9. m poëiîif, non entier ^ compris entre Ar e< A -^ i. On a

(-riT)'»-(-ï^)"'('-»^)<(-=)" (-i)-<(-0""""('n)'x(-0-

P»9 compris entre deux variables qui ont pour limite e (38), a pour limite e (M).