I -♦- -- 1 tang X ~ — - — tang" x ^ —— 1 tang'x-f- etc

Multiplions les deux membres par cos"* x et observons que

cos* « (i -h t tang «)"• = (cos x -♦- • sin x)"» = cos mx -*- 1 sin mx.

II viendra, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,

cos mx = cos" X ^- — - — cos*-' x sin' x

H ^ /' ^ — 7^ cos*-* X sm* X -I- etc. ,

fn , m (m — 1)(m — 2)

sm mx = -r cos*"" x sin x ^ — ; — -^^—z cos^'^x sin' x -h etc.,

formules trouvées en trigonométrie, pour des angles quelconques (n® 64), quand m est entier et positif.

II. Si tnodz=i, on a &)'=|ci), r'=2cos|a>. Supposons m + i > 0, et faisons i gi) &= x, ce qui suppose x compris entre — ^ tt et -«- ^ tt. Il viendra

2" cos" X = (cos mx — t sin mx) -♦- -■ [cos (m — 2) x — î sin (m — 2) x]

H ' — - — [cos (m — 4) X — t sin (m — 4) x] -*- etc.,

ou, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,

Q- ^ / AY m(m — 4) / f\ . /.\

2"cos"x=cosmx-*- — cosfm — 2)xh — ^ — - — cos(m — 4)x-*-etc., (i)

= sin mx -f- ■- sin (m — 2) x h — ^- — - — sin (m — 4) x -i- etc.

Multiplions la première de ces relations par cos a, la seconde par sin a et retranchons le second résultat du premier, il viendra

2*1 cos™ X cos a = cos (mx 4- a)

-4- Y cos [(m — 2) X -♦- a] -1 ^- — - — cos [(m — 4) x + a] -*- etc.

Faisons x=y — {t: (ce qui suppose y compris entre et tt), puis, pour abréger, ^ mn = (3. Nous aurons

2* sin* y cos a = cos (wy -4- a — (3) -♦- — cos (my — 2y -4- a — ^ -*- ir)

H i — - — ' cos (wiy — 4y -4- a — p + 27r) -h etc.

s=« cos (my + a — j3) — — cos {my — 2y -♦- a — 13)

wî(m — 1) /Qv .

H i- — - — COS (my — 4y -4- a — p) -♦- etc.

Faisons successivement <x=/3, a = j3 — ^tt; nous obtiendrons

2*" sin"» y cos J mn

= cos my — — cos (m — 2) y h — - — cos (m — 4) y — etc. ; (2)

2'» sin"* y cos ^ (m — 1) tt

= sin my — -• sin (m — 2) y -*- —^ — - — ^sm (m — 4) y — • etc. (3)

Les formules (i) (2) (3) ont été trouvées en trigonométrie pour des angles quelconques, quand m est entier et positif (n<* 64).

969. Séries diverses déduites du binôme. I. On trouve immédiatement, suivant que le module de a est supérieur ou inférieur à celui de 6,

(a + 6)-* = a" ( 1 4. - ) = a« i -*- — - H \ ^ ^ -- -1- etc.

^ * \ aj L i a 4 . 2 a* J

m ., tn(iit " — 4) ...

= a* -♦- -7 a"»~*6 H ^ — - — - a*~'6* -4- etc. ;

IX I /. 6\*» . r, ma m(m — 4)o« 1

Si mod a =: mod bj les deux déyeloppements ne subsistent que si (m + 1) est positif, et même, de plus, si a + 6 := 0, m doit être positif. A part ce cas, où moda = modb^ la formule du binôme subsiste donc toujours, pourvu que Ton commence le développement par celui des termes a" ou 6** dont le module est le plus grand. Autrefois, on a cru la formule absolument générale, mais les résultats inexacts auxquels on a été conduit ont fait reconnaître le cas d'exception que nous venons de signaler. Ainsi, par exemple, en faisant a=1, 6=34, mt=s — i et m =s — 2, on a trouvé les relations évidemment absurdes :

— ■=! — 1 -f-i — i -4- i — i H- etc.; 7 = 1 — 2-h3 — 4-i-5 — 6-«- etc.

II. En écrivant — x au lieu de -f- z, — m au lieu de m, et reproduisant le développement primitif, on trouve les formules suivantes :

m tw(m— I) . m(m — i)(m — 2) , (1 -*-«r = l -^jz-^ ^^^ ^ '-4- ^^'^ ?z» + etc.;

(1 ^, )-^ 4 ^,^*»(^^ <),,'»("' ^*^)(^-^^),,^ etc.;

,. . . w ni(m-t-l) . m (m -4-1) (m -I- 2) -

(1 — «)-"• = 1 -*--«-»- \ ^ «• -♦- — ^ — r-^ ^' -^ etc.

Ainsi, par exemple, on déduit de la dernière série, en faisant fn«il,2,^,

= i 4- jc -4- jc* -♦- je' -+- jï* -♦- etc. ;