I- 2z -♦- 3z' -- 4x -^ 5jî* -♦- etc

— :^^:^::3i =1 -^ -z ■*- ^l'-rZ^-i—T'-'-z*'^ eic. ^JZTi 2 2 4 2 4 6

La première donne la somme des termes d'une progression géométrique illimitée; la seconde est & la fois le carré et la dérivée de la première. On ne peut supposer z «= 1 dans aucune. Au contraire, même pour z = 1, on a, d'après la troisième formule générale où l'on fait m = j>

III. On peut remplacer z par une autre expression satisfaisant aux mêmes conditions que z. Ainsi, par exemple, en faisant z = i^y dans les deux dernières formules, il vient

= 1 -F^|«^--. -(*-*--.-.-<• H- etc.; 0^l«<1.

9T0. Certes pour arcam x, ArgShx^ x étant réel. On a, d'après la

formule du binAmo,

2 ii+l

(I + ozr*

On a posé, pour abréger

1. Soit, en premier lieu, z = (', (' étant au plus égal à Tunité. Nous aurons, en observant que le reste de la série est une partie 6 du (n -«- ly*^ terme,

Intégrons entre les limites et x. Il viendra (62, 79, 146, 4*)

ti.-i

I(x+j/l+x«)=ArgShx=x-.-.--*-..j.- (i)-«j__-Hp,

Évidemment

Or, pour n ss 00 , la dernière expression a pour limite zéro; donc aussi Km pt = 0, et l'on a, en série convergente, si x* est inférieur ou égal k l'unité.

l(x -f-|/1 + x«)-=ArgShx=x— -—-4- -.- — -♦- etc.

II. Soit, en second lieu, z = — V, t* étant inférieur h Tunité. Nous trouverons, en intégrant entre les limites et x,

p»=»-r" ' *(T=ërO î<^-2 1 ' *'

Pour n «= « , ps a évidemment pour limite zéro. Donc, pour x* < i,

arc sin x = x-t- — — h -• — — i-^.- a. «te.

Si xasi, arc sin x=>= i tt; on trouve ainsi la série assez convergente

TT 1 1 1 13 1 1 3 5 t

etc.

Le développement de arc sin x en série est vrai encore pour x a- 1 ou arc sin X == I tt, mais il semble difficile de le démontrer d'une manière élémentaire.

111. Si l'on pose ArgSh x ou arc sin x égal h y, les séries précédentes s'écrivent

ISh'v < 3Sh«t/ y«Shy-.^^-.--^-etc.;

1 sin' V I 3 sin» y

y s: sin V -4- t; =-^ -H - • r- rr^ — CtC.

971 . Usage du binôme et des autres développements en série dans les calculs numériques. La formule du binôme, habilement maniée, peut servir h trouver rapidement les racines des nombres. Voici quelques exemples, empruntés partiellement au Cours d'Analyse de M. Catalan :

"*"lOOy"' '*"20 8000'*' 1600000 1280000000"*"^ '*

|/ÏÔ3=1o(^

1^2 = 1 V^^âlBïâ == 5 1^1024 8 o

On peut aussi procéder par approximations successives, en réduisant la formule à ses deux ou trois premiers termes et appliquant plusieurs fois la relation obtenue. On aura ainsi, pour chercher J^N =» j^(o* -4- 6),

N == a» -4- 6 = a'» -4- 6' = a"» h- 6" = etc.,

3o« 9a»' 3a'« 9fl'»

et a, a\a'\ etc. seront, le plus souvent, des valeurs de plus en plus approchées de V/^N.

En général, les développements en série établis dans ce chapitre donnent le moyen de calculer la valeur approchée de toute fonction élémentaire. Considérons, par exemple, l'expression

„g*rctaDglog[f + sin(7iV~].

Nous poserons

a a» 6^, 6 =» arc tang c, c = log gf, j ==--♦- sin A, fc = f 7 - j •

Chacune de ces expressions peut être obtenue au moyen des développements trouvés plus haut (255, 259, 257, 256, 269, I, etc.) Si Ton avait c < i, on observerait que arc tang c =- arc cot c""* = Jtt — arc t ang <r* . On peut aussi ramener arc tang c, dans tous les cas, à arcsin(c:|/i -♦-c*). Rrmarque. Pour apprécier Terreur commise en s'arrétant à un certain terme dans le calcul d'une fonction Ff au moyen du développement de Maclaurin ou de Taylor, on doit pouvoir estimer les plus grandes et les plus petites valeurs par lesquelles passe la dérivée n*^* d'une fonction, quand ( varie de à sa valeur extrême. La théorie exposée dans le chapitre suivant, comme on va le voir, permet de faire cette estimation.

I- 2z -♦- 3z' -*- 4x* -^ 5jî* -♦- etc

I- 2z -♦- 3z' -- 4x -^ 5jî* -♦- etc