CHAPITRE IV. Maxima et minima

I. Voactloo explicite d*aae seule variable. 97t. Valeur mcmma ou minima. Une fonction Fx est dite avoir une valeur maxima (ou minima) Fx/t, pour une valeur x^^ de la variable, si Fx — Fx/a est négatif (ou positif) pour toutes les valeurs de x suffisam meut voisines de Xfi. Autrement dit, Fx/t est une valeur maxima (ou minima) de Fx, si elle est supérieure (ou inférieure) aux valeurs de cette fonction correspondant aux valeurs de x, plus grandes et plus petites que x^ et infiniment voisines de x^. On dit encore, en abrégé (mais cet énoncé ne s'applique, à la lettre, qu^aux fonctions continues), que Fxym est une valeur maxima (ou minima) de Fx, si elle est supérieure (ou inférieure) à toutes les valeurs infiniment voisines de cette fonction. Exemples : I. Le produit de deux quantités x, s — x dont la somme s est constante est maximum, si x = y^=^8{n? 4). II. La somme de deux quantités positives x, (p : x) dont le produit p est constant, est minima, si x = y ^={/p (n*' 4). III. La fonction

i 59 598xs

Fx = -x» -x*H 180x« -f- i,

a pour dérivée

F'x = x^ — 39x' -H 398x* — 360x = x (x — i) (x — iS) (x — 20).

Étudions les variations de Fx, depuis x == — 1 jusque x = 20^. De x«=- — 1 h x==0, la dérivée est positive et la fonction est croissante (498, 208); de x = à x«=il, la dérivée est négative et la fonction est décroissante; de x=i h x=i8, la dérivée est positive et la fonction est croissante; de x = 18 à x = 20, la dérivée est négative et la fonction est décroissante; enfin, de x = 20 à x -= 20| (et au delà), la dérivée est positive et la fonction est croissante. D'après cette discussion, Fx a deux valeurs minima, Tune pour x=0, l'autre pour x=18, deux valeurs maxima, l'une pour x=l, l'autre pour x=^20. D'ailleurs,

97S. Plus grande ou plus petite valeur absolue. On observera, à propos de l'exemple précédent, 1^ qu'un maximum F(0) = l, peut être inférieur à un minimum, F (20) == 69334 ^ ; 2« que le plus petit des

minima peut ne pas en être la plus petite vakur absolue^ dans un interyalle considéré. Ainsi, F (i), qui est le plus petit des minima, n'est pas inférieur à la valeur initiale F ( — 1); 3^ On voit, de même, sur d'autres exemples, ou sur celui-ci, si Ton donne à orune valeur suffisamment grande, 100 par exemple, que le plus grand des maxima d'une fonction, dans un certain intervalle, peut ne pas en être la plus grande valeur absolue. On trouve, en efiet, pour F (iOO), la valeur

100*( 20 — x) ■*" ^^*(^^|^ — 180^-4- 1 > iOf iOOOOOOOO > F(i8).

Si la plus grande valeur absolue d'une fonction, quand x varie de Xq h X, correspond à une valeur Xfi comprise entre Xo et X, FXfA est, à fortiori^ plus grand que les valeurs voisines de For; donc FXfi est un maximum et c'est le plus grand de tous ceux que présente la fonction. Mais il peut arriver aussi, comme on vient de le voir, que la valeur la plus grande absolue soit Fxo ou FX. Pour déterminer la plus grande valeur absolue d'une fonction, il faut donc comparer entre elles les valeurs extrêmes Fxo, FX et la plus grande des valeurs maxima.

De même, pour trouver la plus petite valeur absolue, il faut comparer entre elles les valeurs extrêmes Fxo, FX et la plus petite des valeurs minima.

Remarque I. Les fonctions discontinues peuvent ne point avoir de plus grande ou plus petite valeur absolue (204). Ainsi, x — E(x)(n* 7) est une fonction qui n'a ni valeur maxima, ni valeur plus grande que toutes les autres (204, II). II. On peut appeler semùmaxitnum (ou semi-minimum) d'une fonction une valeur de cette fonction, plus grande (ou plus petite) que les valeurs précédentes ou les valeurs suivantes de la fonction. Ainsi, la fonction Fx du n^" 272 considérée seulement entre X = — I et X = 20 ^, présente un semi-minimum pour x = — 1 , un semi-maximum pour x «> 20 4*

974. Transformation et simplification des questions rdatives aux maxima et minima, I. Les fonctions mu (m étant positif), u -t- G, e*, /u, ti', u^y etc. croissent ou décroissent en même temps que u. Par suite, elles passent par des valeurs maxima et minima en même temps que v. Au contraire, — ti, — mti, C — w, c"», 1 (1 :«) = — !«, u"*, ti"*, w', etc. varient en sens inverse de u; leurs maxima correspondent aux minima de u, et leurs minima aux maxima de u. Ces remarques s'appliquent

aussi aux plus grandes valeurs et aux plus petites valeurs absolues.

En général^ u et fu varient dans le même sens ou en sens inverse suivant

que fu est positive ou négative (198). Exbmple : Quand x varie de à

l'infini, la fonction u s= (i + x)' croit ou décroît en même temps que

lu => ti7 s= [1 (i -I- x) : x].

Or

Pour x = 0, 11?'= — ^, t? =0, t?' = 0; pour x positif, v' est négative, V est une fonction décroissante et, par suite, négative; w' est aussi négative et u? est une fonction qui décroit sans cesse à partir de sa valeur initiale 1 . D'après le n^ 201 , pour x = oo ,

Puisque ti; = lu décroit de 1 i 0, u décroit de e à 1 , quand x varie de & OD.

II. Une fonction paire prend les mêmes valeurs pour les valeurs positives de la variable et pour les valeurs négatives égales aux premières en valeur absolue (78). Donc, si elle est maxima ou minima pour x=Xfij elle est aussi maxima ou minima pour x=: — x^^. Si elle est croissante (décroissante) pour X = 0, FA — FO, F (— A)— FO sont positifs (négatifs) et FO est une valeur minima (maxima) (Voir Ex. i% 275, III). Une fonction impaire prend des valeurs égales et de signes contraires pour des valeurs positives de la variable et pour des valeurs égales et de signes contraires (78). Si donc elle est maxima (ou minima) pour x = X//, elle est minima (ou maxima) pour x <= — Xfi. Évidemment, elle n'a ni maximum ni minimum pour X = 0. Ces remarques permettent de n'étudier les variations des fonctions paires et des fonctions impaires que pour les valeurs positives de la variable.

975. Première méthode de détermination des maxima et minima, I. Une fonction Fx n*a ni maocimum ni minimum pour une valeur x^ de X telle que F'x^ a une valeur unique positive on négative. En efièt : 1' Si F'x^ est finie, on a (98) AFxyui «= Ax (F'xyu + e), e étant aussi petit qu'on le veut, en valeur absolue, quand Ax est suffisamment petit en valeur absolue. Le signe de F'xy» -t- e étant celui de F'x^a, Ax (F'Xfi -4- e) ou

AFx^i change de signe avec Ao? et, par suite, FXfi n'est ni un maximum ni un minimum de Fx (272). â** Si F'x/^ est infinie, positive ou négative, {\FXfi : Ax) est aussi grand qu'on le veut, en valeur absolue, mais positif ou négatif; AFx^x change donc encore de signe avec Ax et Fx^ n*est ni maxima ni minima.

CoROLLAiRB. Les valeurs de x qui rendent Fx maxima ou minima sont parmi celles qui rendent F'x nulle ou discontinue par saut brusque d'une valeur à une autre.

II. Une fonction Fx passe par un maximum ^ pour une valeur Xp. de x, si la dérivée F'x, supposée continue entre et — h et entre et A, est positive pour les valeurs x^ — h plus petites que x^x, négatives pour les valeurs Xfi-^ h plus grandes que Xu, h étant suffisamment petit. La fonction Fx passe par un minimum, si F'x est négative pour les valeurs Xfi — A, positive pour les valeurs XfjL + h. Autrement dit, Fxy^est maxima ou minima, suivant que F'x, en passant par F'x^^ passe du positif au négatif ou du négatif au positif. En effet (206), les différences

F (x^ — A)— Fxyu =- — AF' (x^ — 0A), F (x^ h- A) — Fx;^= AF' (x^ + e,A),

sont de même signç, toutes deux négatives dans le premier cas, toutes deux positives dans le second.

III. Exemples, i* Le produit x{s — r), déjà considéré (n** 4), aune dérivée s — 2x, qui s'annule en passant du positif au négatif pour X =^s; donc ce produit est maximum pour cette valeur de x. 2^ La fonction y = b -h {^{x — a)* a pour dérivée y' = | t^(ap — a)*"' ; y' est négative pourx<a, positive pour x>a; elle saute brusquement de — oo a + 00 pour X = a; donc t/, pour x =3 a, prend la valeur minima y = 6. L'équation précédente représente une cubique ou courbe du troisième ordre ayant au point (x = a, y = 6) un point de rebroussement. 5" La fonction y = 6 -1- l^(x — a) a pour dérivée y' = 5 V^(x — a)"*, quantité toujours positive, même pour x = a^ auquel cas elle est infinie; y, fonction toujours croissante (198) n'a donc ni maximum, ni minimum. La cubique y = 6 -*- (/^(x — a) a au point (x = a, y = 6) une tangente verticale qui traverse la courbe; ce point est un point d'inflexion. 4° La fonction y=x Th x"', pour x = 0, a (96) pour dérivée lim (y : x) = lim Tb x"* == d= 1 suivant que x est positif ou négatif. La fonction y est paire; elle est croissante à partir de x «= 0; elle a donc (274, II) un minimum quand x = Of valeur pour laquelle y' saute du négatif au positif. Elle n'a

d'ailleurs aucun autre maximum ou minimum; car, pour x positif, y'=[(Sh x~*. Cil X""* — X"*) : Ch* x~*], quantité positive, puisque Ch «-*, est supérieur ki et Sh x^', à x~', d'après le développement de Shz (256). La fonction paire y décroit donc depuis x = — oo jusqu'à x =» et croit depuis X = jusqu^à x = qo .

IV. Remarque. Les trois derniers exemples prouvent bien que si le maximum ou le minimum d'une fonction correspond à une valeur de la dérivée qui n'est pas nulle, cette dérivée doit être discontinue par saut brusque (ex. â% 4^); il ne suffit pas qu'elle soit inGnie, comme on le dit quelquefois (ex. 3<*).

976. Seconde méthode. On emploie cette seconde méthode, quand il est difficile de déterminer directement le signe de F'(x^tt — A), F'(x^-i- A). L THéoRÉHE FONDAMENTAL. Si les foHctions Fx, F'x, F"x,.... F"Xyui sont continues depuis Xfi — A jusqu'à X/i ^h, h étant suffisamment petit ^ m, de pluSj F'Xfi = 0, F"x;* = 0,..., F""*x^ = 0, sans que F"Xyui soit nulle, le signe de F (x^* d= A) — Fx^ est celui de (dz A)" F^x^. Par suite, si n est pair, FXfi sera une valeur maxima ou minima de ¥x, suivant que F"X/a sera négative ou positive; si n est impair, Fx^ n'est ni un maximum, ni un minimum de Fx. En effet : i° En appliquant n fois le théorème de Lagrange (206), Ot, 6t, ..., 9«,i désignant des quantités comprises entre zéro et l'unité, il vient

F (x;* -♦- Ax) — Fa?;* =» AjF' (x,u-^ e< Ax) = Ax [F' (x^ h- 6i Ax) — F'x^],

F' (x;* -♦- 0, Ax) - F'X;* = 0«AxF" (x^ -*- e,ô,Ax)

= 04 Ax [F"(x^ -H 0,0|Ax) — F" x^],

F" (Tf, -1. 0»0,Ax) -^ F"x^ = 0t0iAxF'" (x^ -*- 080i0i Ax)

= 0,01 Ax [F'"(x^ -4- 050,04 Ax) — F'" X;*],

F-* (xy^ -+- 0„-4 0«-«... 0«04Ax) — F--« X^ = 0,.| 0^,... 0,04 (F-x^ -♦- £).

Multipliant ces relations entre elles et posant 0i0t... On.i «='0, nous

trouvons

F (x;* db A) — Fx^ = 0Ax- (F-x^ -4- e).

â** En appliquant le théorème de Taylor, avec la forme du reste de Liouville (235), on obtient la formule précédente sous la forme

F (x;* -H Ax) — Fx^ = i Q r ^ C^"^/* -^ ««)•

1 •2ad*** If

S"" Puisque e et tt sont aussi petits qu*on le veut, le signe de AFx;& est celui de Ax" F'x^* = (db A)* F"x^. Quand n est pair et F"X/* < 0, AFar^ est toujours négatif, que Ax soit égal à -4- A ou à — A, donc, Fx/i est une valeur maxima de Fx; si F"X;a est > 0, AFx^ut est positif pour Ax = A et Ax =:=3 — A et FXfi est une valeur minima de Fx. Quand n est impair, AFx/A, qui est encore du signe de Ax"F"XyK, change de signe avec Ax; Fx est croissante ou décroissante pour x = Xfi suivant que F"x^ est positive ou négative; dans le premier cas, F {Xfi — A) < ¥x/a<^¥ (x^k-i- A), dans le second F (Xfi — A) > Fxytft> F {Xf, + A). Si n est plus grand que 4, F'« = 0, et, par suite^ la courbe y s= Fx est traversée au point (x/i,Fx^) par une tangente parallèle i l'axe des x. Ce point est donc un point d'inflexion. Au point de vue géométrique, les points d'inflexion d'une courbe y =3 Fx sont plus remarquables que les points d'ordonnée maxima ou minima, puisque la propriété dont ils jouissent subsiste si l'on change les axes des coordonnées.

RBHARQrB. On peut encore énoncer le théorème prëcëdent ea disant que F passe par un maximum (ou un minimum), si Ton a (fF = 0, rf«F = 0, d»F = 0, ..., d--*F = 0, rf-F négative (ou rf-F positive), quel que soit le signe de Ax, ce qui suppose n pair.

II. Exemples, i" y=x* — 3ax cos 9 -♦■ o*, y' = 2x — 3a cos 9, y" = 2. La dérivée y' s'annule pour x = acos(p, y" est positive; donc y est minima pour x = a cos cp. Ce résultat est évident géométriquement, si l'on observe que a, x, 9, y peuvent représenter, dans un triangle ABC, respectivement, le cdlé fixe BC, le côté variable CA, l'angle fixe BCA et le carré du troisième côté AB; AB est le plus petit possible quand ce côté

est perpendiculaire à AC.

X* X (x — 2o) ^o .. =. yf — - ^ ^ , i^a dérivée v' s'annule pour x =

et xe= 2a; elle ne saute d'ailleurs pas brusquement de — 00 à -«- oo

pour la valeur x =3 a qui la rend infinie. Les seules valeurs qui puissent

correspondre à un maximum ou à un minimum sont donc x s= et

x ss 2a. On a

y" = ^ -*- X D, ; ou y" = ■ r- H- (x 2a) D, ; rr»

D'après la première formule, pour x<=0, y" est égale à — 2a~';

d'après la seconde, pour x^- 2a, y" est égale h + 2a~^ La fonction y

est donc maxima pour x :=» et est égale à : elle est minima et égale à

4a pour x t= 2a. Elle a d'ailleurs un semi-minimum pour oc »= — oo , un semi-maximum pour a; =a + oo . Selon qu'on suppose y = — oo ou y =3 + 00 , pour x =? a, valeur pour laquelle la fonction est discontinue, elle y est miniroa ou maxima; mais un pareil maximum ou minimum échappe évidemment aux théories précédentes qui ne s'appliquent qu'aux valeurs finies des fondions. Géométriquement, y = [x' : (x — a)] représente une hyperbole ayant la droite x = a pour une de ses asymptotes. On observera le procédé employé ici pour éviter de calculer complètement la dérivée y'\

3** Pour » = 0, les sept premières dérivées de Ch x -♦- cos a: — ^ «* s'annulent, mais y""" = Ch x + cos x ^^ 2; donc y a une valeur minima, savoir 2, pour x=: 0. On trouve d'ailleurs, par le n^" 256, VI, les développements

qui conduisent à la même conclusion, si l'on applique la première méthode ou la remarque du n° 274^ et permettent de voir, en outre, que y ne s'annule que pour x = 0; par suite, il n'y a pas d'autre maximum ou d'autre minimum que celui qu'on vient de trouver.

4° Soit y=(x — a)" (px, cpx étant une fonction entière qui ne s'annule pas pour X = a. La dérivée n*^^ de y, d'après le théorème de Leibniz (173), est la première qui n'est pas nulle pour x = a et elle est égale a 1.2... /i(pa. La valeur y == 0, correspondant à x = a sera donc maxima, si n est pair et cpa négative; minima, si n est pair et cpa positive; elle ne sera ni maxima ni minima, si n est impair.

977. AuTRB BXBMPLB. Trouvev le triangle rectangle d'aire |ti lapins grande possible parmi ceux où la somme x -4- y de la hauteur x et de l'hypoténuse y est une constante s. Onafi<=xy = x(« — x). La valeur la plus grande (n^ 4 ou n^ 273, III, l"") de la fonction x{s — x) correspond k x = s — X ou x = yB=:i«. Mais ces valeurs de x et de y ne donnent pas la solution de la question géométrique, parce que l'on n'a pas exprimé, par la relation u = x {s — x) seule, la condition que le triangle est rectangle. Dans un pareil triangle, la hauteur x, tout au plus égale à la médiane (ou à la moitié {y de l'hypoténuse), ne peut devenir égale à cette hypoténuse y. La fonction analytique u=» x(s — x) varie donc dans des limites plus étendues que l'aire du triangle rectangle. Pour

résoudre la question géométrique, il faut étudier Texpression x{$ — x) en donnant à x seulement les valeurs que la géométrie permet de lui attribuer. Or, x pouvant au plus devenir égal i { y, de Tégalité X 4- y = «, résulte que x ne peut varier que de à ^i; dam ces limites, u' = 8 — 2x est positive ; u croit donc depuis la valeur 0, correspondant à x = 0, jusqu'à i 9.1 s = ^8^, correspondant k xeai«; q est un semi-minimum, |<' un semi-maximum de u, donnant la valeur la plus grande de Taire étudiée; cette dernière valeur correspond au cas où le triangle rectangle est isoscèle.

Rbmarqub I. L'exemple précédent montre bien qu'il y a lieu de tenir compte, dans la mise en équation des problèmes relatifs aux maxima et aux minima, des conditions imposées aux variations de la variable indépendante ; ces conditions sont souvent exprimées par des inégalités. Ainsi, dans le cas actuel, en exprimant la condition que le triangle est rectangle, on trouve : 0^x'^|(« — .x). En laissant cette condition de côtë^ on traitait un problème plus général, par exemple, celui-ci, qui est d'ailleurs indéterminé : Trouver le triangle {rectangle ou non) d'aire ^ u la plus grande possible où la somme x + y de la hauteur x et de la base cet respondante y est une constante s. La solution est ici x=y = ^s (triangle, isoscèle ou non, de hauteur égale à la base).

IL En choisissant une autre variable, on peut trouver directement la solution de la question primitive, sans employer d'inégalités, parce que l'on exprime, dans l'équation même du problème^ que le triangle est rectangle. Appelons t l'angle de la médiane z avec la hauteur x. On aura

s y = 2z, X = z cos ^, X -f- y = (2 + cos ^ = «> J^ =

â +C0 st

2«* cos t du ^ . sin « (2 — cos t)

u = xy = y -T- = — 2»' ^ •

^ (2 -♦- cos 0* dt (2 -^ cos <)'

La dérivée ul passe du positif au négatif seulement pour ( = 0, ce qui donne z = ^«, x = |«, y = |«.

IL Fonction» explicites de pluolenro variables. 97S. IJéfinitions. Considérons, pour plus de simplicité, une fonction de trois variables seulement, u = F (x, y, z), et supposons que x, y, z puissent recevoir toutes les valeurs correspondant aux coordonnées des points situés dans un volume V limité par une certaine surface S, ou situés sur cette surface. La fonction F est dite avoir une valeur maxima (ou

minima) P (ar^n, y^, Zfj)^ sî la différence F (x, y, jr) — Pfarym, y^u, i^;*) est négative (ou positive), pour toutes les valeurs de x, depuis Xyu — h jusque Xft -^ h, pour toutes les valeurs de y, depuis y^ — k jusque y^ui + it, et pour celles de z depuis Zfi — l jusque ZfjL *- /, A, k, l étant suffisamment petits. Autrement dit, F (Xy», y^», z^) est une valeur maxima (ou minima) de F si elle est supérieure (on inférieure) aux valeurs de cette fonction qui correspondent aux valeurs des variables infiniment voisines de XftjyftyZfi, plus grandes ou plus petites; ou encore, en abrégé, F {Xftj y/m, Zfj) est une valeur maxima ou minima de F suivant qu'elle est supérieure ou inférieure & toutes les valeurs infiniment voisines. €e dernier énoncé^ pris à la lettre, ne convient toutefois qu'aux fonctions continues. Exemple. A l'intérieur de la sphère x' h- y* + z* = R', la fonction ti = (ax -t- fey -♦- cz)* -4- (my -♦- nz)* -4- p^z* a la valeur 0, pour x = 0, y:=0, iz^^O; cette valeur est un minimum, puisque, pour toute autre valeur des variables, u est positive.

Aucun point s de la paroi S qui limite V ne peut correspondre à un maximum ou h un minimum, puisque Ton ne peut attribuer à x, y, z toutes les valeurs infiniment voisines des coordonnées de «, sans sortir du volume V. Si nous comparons la valeur de F, au point s dont les coordonnées sont x«, yj, Zj, à toutes les valeurs de cette fonction, aux points infiniment voisins situés dans V ou sur S, F (x„ y«, Zg) est un semimcmmutn de F, si AF (Xj, y«, z,) est toujours négatif, un semi-mimmum, sî AF (x«, y„ Zt) est toujours positif. Exemple. Dans le volume limité par la sphère x* -♦- y* -*- z* = R*, la fonction (ax -f- fcy)' -h tn'y* — p'z* a deux semi-minima, savoir, pour x = 0, y = 0, z =^ d= R.

Quand une fonction a^ à l'intérieur de V, une valeur plus grande (ou plus petite) que toutes les autres, elle est à fortiori^ plus grande (ou plus petite) que les valeurs in6niment voisines; donc cette valeur de F est un maximum ou un minimum. Si la plus grande (ou la plus petite) valeur absolue correspond à un point de la paroi S, cette valeur est en même temps un semi-maximum (ou un semi-minimum). On trouve donc la plus grande (ou la plus petite) valeur absolue des fonctions, en comparant entre eux tous les maxima et semi-maxima (ou tous les minima et semi-minima). Une fonction peut ne pas avoir de plus grande (ou plus petite) valeur absolue. Ainsi u = [x — £ (x)] [y — E (y)] [z — E («)], où X, y, z varient de à 1 inclusivement, est une fonction qui varie de & I exclusivement; la valeur i n'est jamais atteinte, quoique u puisse en

approcher autant qu*on le veut; u n'a pas de plus grande valeur absolue.

Remarque. La recherche du semi-maximum ou du semi-minimum de F revient à celle du maximum ou du minimum de F, pour les valeurs de X, y, z vérifiant l'équation de la surface S. C'est un problème de maximum ou de minimum relatif & traiter par les méthodes do paragraphe suivant (285).

979. Première méthode. I. Une fonction F (x, y, z) n^a ni maximum ni minimum pour un système des valeurs (Xfi, y^u, Zf») tel que l'une au moins des trois dérivées partielles Fi (xy*, y^», Zfi)y F, {x/i, yy», Zft)y F[ (XfjLy yyu, Zfi) ait une valeur unique, positive ou négative. En elTet, soit, par exemple, F« {Xfi, y^», Zfi) positive ou négative. Alors, en laissant y et x invariables, on trouve que . F (x^ut -+- Ax, y, z) — F (x, y, z) change de signe avec Ax (275). Donc F(xyui, y/m, Zyu) n'est ni maxima ni minima.

CoROLLAïKB. Lcs systèmcs de valeurs de x, y, z qui peuvent rendre F maxima ou minima se trouvent seulement parmi ceux qui rendent les dérivées partielles de la fonction nulles ou discontinues par saut brusque.

II. Soit (Xfiy yfiy Zfi) un système de valeurs de x, y, z pour lesquelles F«, Fy, Fa, sont nulles ou discontinues. Moyennant certaines conditions de continuité (2ii), on a

AF = Ax Fi (x^ -♦- Ax, y/t h- 0Ay, Zfx -^ Bàz) -4- Ay Fy (Xfi -4- ÔAx, yfi -i- 0Ay, z^ -+- 0Az) -♦- àz F'a {Xfi -f- 6Ax, yfi •*- 0Ay, Zfi + ÔAz).

Si la somme des trois produits du second membre est toujours positive (ou toujours négative) pour des valeurs suffisamment petites de Ax, Ay, àz, et quel que soit le signe de ces accroissements, AF sera aussi toujours positif (ou toujours négatif) et, par suite, F (Xfi^yfi, Zft) sera une valeur minima (ou maxima) de F.

III. Exemple. u = (x — a)* -{- (y — 6)* h- (x — y)'. Les dérivées partielles

ti; = 2 (2x -*- y — a), tij = 2 (2y h- x — 6),

ne sont discontinues par saut brusque, pour aucune valeur des variables, mais elles s'annulent pour a;yu »= ^ (2a + 6), y^^ = { (a + 26). Si X =3 XyiA -♦- 6 Ax, yz^yfj,-^ 0Ay, on trouve «i = 29 (2Ax -♦- Ay), ^ = 2d (Ax -i- 2Ay). Donc

Al* == 49 (Ax* + Ay* -+- AxAy) = Ô [(Ax -+- 2Ay)* h- 3Ax«] ,

quantité toujours poditive, que Ax et Ay soient de même signe otl non, ou que l'un de ces accroissements soit nul. La fonction u passe donc par un minimum pour les valeurs x = X/t^ y =yfj,. Un calcul direct permet de voir que, dans le cas actuel, 6 = |- On trouve, en effet, aisément,

At« = 2 (Ax' -*- Ay* + AxAy).

9§0. Seconde méthode. Il est souvent difficile de voir si AF reste toujours de même signe, quand on emploie l'expression de cet accroissement au moyen des premières dérivées partielles de u. Dans ce cas, on introduit, dans l'expression de AF, les dérivées partielles de F d'ordre supérieur, en employant plusieurs fois le théorème de Lagrange, ou en recourant directement au théorème de Taylor, qui conduit pluç rapidement à des résultats équivalents.

I. Théorème. Si le théorème de Taylor est applicable à la fonction F pour les valeurs Xfi^ y^c, £^, des vcanables considérées; «t, de plus^ dF, cPF, ..., d"~^F sont nulles pour x = X/i, y ==»y/*j s^^^Z/ij quels que soient Ax, Ay, Az (c'est-à-dire si toutes les dérivées partielles de F jusqu'à celles d'ordre n — \ sont nulles) sans qu'il en soit de même de d"F, le signe de AF sera celui de d'F. Par suite, si n est impair^ AF changera de signe en même temps que d"F quand Ax, Ay, Az changeront simultanément de signe, et F (Xyu, y/t, z^) ne sera ni maxima, ni minima. Si n est pair et si d*¥ Cht une fonction de Ax, Ay, àz toujours positive {ou toujours négative)^ il en sera de même de AF et F (x^», y^u, Zp) sera une valeur minima {ou maacima) cf^F; si d*F ei, par suite, AF peut changer de signe^ F (xyu, y/*, 2^) n'est ni maxima ni minima; enfin j si c("F peut s'annuler sans changer de signe, on ne peut rien conclure. Ce théorème résulte évidemment de celui de Taylor, qui, dans le cas actuel, se réduit

à l'égalité

AF = h r,

où r désigne le reste de Liouville et où

d»F =-— Ax" 4- T -; — tt Ax*~* Ay h- - --; — -j- Ax'-'Az -f- etc. dx" i dx"-«dy ^ i dx'^-^dz

On sait, en effet, que si d"F n'est pas nulle, on peut (250) faire en sorte que d"F donne son signe à AF, pourvu que l'on rende simultanément Ax, Ay, Az suffisamment petits, les rapports de ces accroissements restant d'ailleurs invariables.

n. ExEHH^ ti==T* -4- jf* — «• -«-xjf — 3^. Od trouTe if;=4x* — 2x+y, ii; = 4y» — 2y + x,

ii;" = 24x, <'=24y, iÇ = 24, iÇ = 24.

Les équations Vs=0, «4=0, peavent être remplacées par tiL + «4=0, tt^ — «fy = 0, oa, en décomposant en factenrs,

(x+y)(te«— 4a[y + V— ^)=0, (x— y)(4««H. iayn- iy*— 3)=0. Ces relations donnent les systèmes de Talears soÎTants : I* x=sO, ys=0; 2* x= — y = db4l/3; 3^x = y = db|- On a, d'aîUears, en posant Ax = *,Ay = i,

A«i=i[*«(i2x»— 2) -4- 2** -«- 4« {*%• ^ 2)] -♦- (4*'x^ 4*»y) -h (A* + *♦)• Ponr le premier systcmc,iPii=—2(*«— Ain- A«)=—2[(A— ;*)«+$*«], quantité toojonrs négative; la Taleor correspondante, v = 0, est maxima. Pdnr le second système, dhi = 7A> ^ 2AA -1- 74« = 7(A-4- Ai)»^. effA*, quantité toujours positive. La Taleur correspondante « = — 4 | est rainima. Pour le troisième système, d*v = i(A + A)*, quantité positive, sauf si A ss= — A, auquel cas elle est nulle. On ne peut donc rien décider au moyen des principes généraux. Mais on a

A«* = 4(A + A)« ±2(A» + t») -4- (ii* H- A*), quantité qui peut changer de signe, pour A et A de signes contraires. En effet, posons A-4-A = f, AA=p. On aura

Aii= |«« db 2(<» — ^) H- a* — 4pf« -4- 2^«

= ï[{* =P ^Y — 52p«l ±*2«» — 4pa« + s».

Sis=0, Av=^'^A' + A', quantité positiTc; si s=d:6p (pétant négatif, pour que A et A soient, en tout cas, réels), A« = — I6p' (f — I8p — 8lp'), quantité négative, si p est suffisamment petit. Puisque Av peut changer de signe, u n*a ni maximum ni minimum pour x = y =- d: | • Ams EXEUPLB. ««=y* — 4y'x-4-5x*. On trouTe iii = 6x — 4y% tc^ ss ky* — 8yx, quantités nuUcs seulement pour x = 0, y = 0. Pour ces valeurs, Aii=3A«— 4AA» + A*, d*ii=6AS dhi=—9Ut\ <Ptt=2AA«. Si A est différent de 0, on peut toujours choisir A assez petit pour que lpt1, qui est positif, donne son signe à An; mais si A = 0, dht «= 0, et les principes généraux n'apprennent plus rien. Cependant Am = (SA — A') (A — A*) peut changer de signe. En effet, pour A* s= 4A, Au = Zk\ pour A* = 2A, A« s=: — A*. Donc, u n*a ni maximum ni minimum. Cet exemple est emprunté à Peaho comme la remarque générale suivante.

Remarque. Dans les deux exemples précédents, les râleurs de h et & qui annulent d^u^ annulent aussi d'à et rendent d*u positif, ce qui, au premier abord, peut faire croire à Texistence d'un minimum. Il n'en est rien, comme on vient de le voir. Cette singularité inattendue provient de ce que la propriété fondamentale (250) du reste de Liouville ne subsiste plus quand la différentielle à laquelle on le compare peut devenir nulle, pour certaines valeurs de Ax, Ay, etc. Dans ce C4is, pour des valeurs de ces accroissements des variables, infiniment voisines de celles qui annulent d*Uj cette différentielle peut devenir aussi petite qu'on le veut et, par suite, devenir inférieure au reste de Liouville.

9S1. Cas où l'existence du maximum ou du minimum dépend de d^u seulement. On peut souvent déterminer, par une discussion simple, les cas où d^u conserve ou non toujours le même signe, comme il suit :

Fonctions u= F {Xf y) de deux variables , Soient o;^, y^i des valeurs telles que Fi (x;*, y^) = 0, FJ (x^, y^) = 0. On aura d*u = oA* -4- 2bhk -*- ci*, si l'on pose

Ax = A, Ay = A, Fi' {x/,, y^) =» o, Fi^ (x^, y,,) = 6, FJ' (x^, y^) «= c.

Premier cas. a=sO, c=:0. Alors d'u = â6AA; cette différentielle change de signe avec A, si on laisse A invariable; donc F (x/t, y^u) n'est ni une valeur maxima, ni une valeur minima de F. Toutefois, si l'on avait 6 =3 0, d*u serait identiquement nulle et n'apprendrait rien sur l'existence du maximum ou du minimum de F.

Second cas. Si a ou e est différent de 0, a par exemple, on a

d»M =i(aW -4- 2a6AA -*- ocA*) = - [(oA h- 6A)« -f- (oc — 5«) A«]. a a

Si ac — 6' est positif, d^u est toujours du signe de a, sauf si A=0, A=0, cas évidemment exclu; car, dans une question de maximum ou de minimum, une des variables, au moins, doit recevoir un accroissement. Si a est positif, u est minima, si a est négatif, u est maxima, pour les valeurs X = X/c, y =yytc. De l'inégalité ac — 6' > résulte d'ailleurs que a et e sont tous deux positifs ou tous deux négatifs. Si ac — 6* est nul^ d*u = [{ah -f- 6A)* : a] et est encore du signe de a, sauf si A et A sont choisis de manière que ah •+- 6A = 0; alors, d*u = 0, et l'on ne peut rien conclure touchant l'existence du maximum ou du minimum. iSt ac — 6' est négatifs pour A = 0, d^u = ah* et est du signe de a; pour A quelconque et A tel que oA -^ 6A sss 0, d*u ^=» [{ac — 6*) A* : a] et est de signe contraire

& a. La fonction u n*<« donc ni maximum ni minimum pour les valeurs considérées des variables.

Remarque. Le dernier cas comprend celui où a = c = 0, puisque alors oc — 6* se réduit à Texpression négative — 6* ; l'avant-dernier comprend de même celui où a = 6 =3 c = 0. On peut donc résumer la discussion précédente comme il suit : Sij pour x= x^i, y s=yyu, /«.hessibn, ou déterminant fonctionnel (161) des dérivées partielles de la fonction considérée^

cPm cPtt

dx* dxdy

d*u d*ti dxdy dy*

(lequel est égal h ac — 6'), est positif, u est minima ou maxima pour ces valeurs des variables^ suivant que les dérivées Ux= a, Uy «= e sont toutes deux positives ou toutes deux négatives; si le hessien est négatif, u n'est ni maxima ni minima; si te hessien est nu/, on ne peut rien conclure. Exemple. Si u = acy [/{r* — x* — y'), on a

V/(r* - x« - y*) ' "' [/{f' " x« — y«) Ces dérivées s'annulent pour les systèmes de valeurs suivants :

(x=0,y=0); (x=0,y = d=r); (y=0, x=:dbr); ^x==by=dz j-^j.

Aucun des trois premiers systèmes ne conduit à un maximum ou un minimum pour u. En elTet, par exemple, pour x = 0, y = f^ on a t« -= 0; pour X = A, y = r — A, t< = A (r — *) l/[r» — (r — kY — A*] ; pour x = — A, y=r — *, ii = — A(r — A) ^/[r» — (r — A)' — A*], valeur de signe contraire à la précédente. Les quatrièmes systèmes conduisent, au contraire, à un maximum ou à un minimum. On trouve, en effet, pour x = dr y = db (r : V/3),

— 4xy

j/r" — X* — y* — 4xy

yr* — X* — y«

Les signes — de u'^^ ti^y correspondent au cas où x => y, les signes +, à celui où x=s — y* Le hessien est 4r*; u a donc une valeur maxima pour x=y==i:(r : |/3), une valeur minima pour x=» — y==fc(r : \/Z).

5ISt. Ponctions u = f(x^ y, z) de trois variables. Soient X/t^y/i^ z^u, des valeurs annulant /i (x, y, z), /^ (x, y, z), fl (x, y, z). Posons Ax = A, Ay = A, Az ==! /, et soient pour x =» Xy», y = y^», z =a z;*,

m;'=a, tt; = B, «;=€, t<;;=F, ii;;=g, i*;y = H.

En général, le signe de Au dépendra de celui de

(Pu = AA» -*. Bik« H- C/» ^- 2BA* -*- 2GA/ ^- ^¥kl.

Premier cas principal. \^ SiA=3B = G=:0, sans que F, G, H soient nuls simultanément, d^u = 2FÀ:/ + 2G/A + 2Uhk. Pour fixer les idées, soit, au moins, H dilTérent de zéro. Alors, pour A = a*, & = |3*, { = 0, cPm = 2Ha«(3«; pour A = a«, A =— (3», / = 0, d«M = — 2Ha«/î«. Puisque cPtt peut changer de signe, u n'a ni maximum ni minimum pour les valeurs xs=sXfij y =y/cf z = Z;(& des variables. 2"* Si, outre A, B, C, on a aussi F, G, H nuls, d*u est identiquement nulle et l'on ne peut rien conclure.

Second cas principal. Si A, B, ou C est différent de zéro, A par exemple, on a

Arf'tt = (AA ^- HA -*- G/)* -H <p (A, /), ç (A, /) == oA« + 26A/ + el\ a = AB-.HS 6 = AF— GH, c = AC — G».

On doit considérer cinq cas particuliers : 4® 9 (A, l) est une fonction toujours positive, quand A et / ne sont pas nuls à la fois. Gela a lieu, d'après la discussion relative aux fonctions de deux variables seulement, si a et ae — 6* sont positifs. Alors Ad^u est aussi toujours positive quand A, k, l ne sont pas nuls simultanément; car, si A «» 0, I =» 0, Ad*u = A*A' et si A et / ne sont pas nuls tous deux^ 9 (A^ l) est positive et (AA -t- HA -i- GQ' est positif ou nul. Dans cette hypothèse, d^u ayant toujours le signe de A, u est minima ou maxima suivant que A est positif ou négatif. 2* 9 (A, l) est une fonction toujours négative^ quand A et t ne sont pas nuls k la fois. Cela suppose a < 0, ac — &*>0. Alors Ad*u peut changer de signe; car, si A = 0, I s 0, Ad^u == A'A*, et, si A et I sont différents de zéro et A tel que AA + HA -4- G/ =3 0, Ad'u = 9 (A, /), quantité négative. Puisque cPm change de signe, f{XfifyfiyZfi) n'est ni une valeur maxima, ni une valeur minima de /"(x, y, z). S*" 9 (A, /) est une fonction positive ou nulle (même identiquement) quand A et / ne sont pas nuls h

la fois. Cela suppose a positif (ou nul, quand 9 est identiquement nulle), et oc — 6* =« 0. Alors, Xd*u est nulle pour toutes les valeurs de i et de / qui annulent cp (&, /) et pour h tel que AA + HA; + G/ =3 0, positive pour toute valeur autre de h combinée avec n'importe quelles valeurs de k et de /, et pour toutes les valeurs de k et I, qui n'annulent pas 9, combinée avec n'importe quelle valeur de h. Dans ce cas, puisque d*u peut être nulle, on ne peut rien conclure. 4"* 9 (ky l) est une fonction négative ou nulle (non identiquement) quand & et / ne sont pas nuls & la fois. Cela suppose a négatif, ac — 6* = 0. Alors kcPu peut changer de signe et u n*a ni maximum ni minimum pour les valeurs considérées des variables. En effet, si & = 0, / = 0, AflPu = A'A*, et, sik et l ont des valeurs telles que 9 {k, l) soit négative, en posant AA -«- HA: -1- G^ = 0, AcPu est égale h cette quantité négative 9 (&, l), 5° 9 (A, l) est une fonction qui peut être positive ou négative à volonté. Cela suppose ac — 6*<0. Alors, en prenant AA + Hj; + G/ = 0, Ad*u se réduit à 9 (A, /) et peut aussi changer de signe; donc u n'a ni maximum ni minimum.

Remarques. I. Dans le i"* du premier cas principal, on a a = — H'» 6 sa — GH, c = — G' ; par suite, a est négatif et oc — 6* == 0, comme dans le 4"* du second cas principal. Dans le 2^ du premier cas principal, on a a = 0, 6 => 0, e = 0, ac — 6* = 0, comme dans le 3** du second cas principal. Pratiquement, on peut donc fondre le premier cas principal avec le second.

II. On peut résumer plus facilement la discussion précédente, en j introduisant quelques expressions empruntées à l'algèbre ou à la théorie des nombres, que nous allons faire connaître. 1" On appelle fornu algébrique une fonction algébrique entière et homogène de deux ou plusieurs variables A, A, /. 2"* Une forme est dite définie^ si, comme A' 4- A* + l*, elle ne peut changer de signe et ne s'annule que pour des valeurs nulles des variables; indéfinie^ si comme A* -«- A* — - /*, elle peut prendre des valeurs positives et des valeurs négatives; mixte^ si elle ne peut changer de signe, mais peut s'annuler pour des valeurs des variables différentes de zéro. Ainsi (A — A -4- /)* -^ /' est une forme mixte s'annulant pour A = A = r, Z = 0, quel que soit r.

III. Cela posé, la discussion précédente se résume comme il suit : La forme d*u = AA« -4- BA« -4- CP -*- 2FAZ + 2G/A -*- 2HAA est une forme définie seulement dans le cas où a et ac — 6* sont positifs; elle est poeùive et u çst minima si A est positif; elle est négative et u est maxima

si A est négatif. Cette forme d^u est indéfinie et u n'est ni maxima ni minima, si ae *- 6* est négatif, ou si ac — 6' est nul, a étant négatif.

Dans tous les autres cas, d*u est une forme mixte (positive ou négative) ou identiquement nulle; et Ton ne peut rien conclure touchant l'existence d'un maximum ou d'un miaimum pour u.