AA

Le déterminant A qui multiplie A, est la valeur, pour x = X/i, y »= y^, z = Zix du hemen de /*, ou du déterminant fonctionnel de êes dérivées partielles, savoir :

La quantité a >e= AB — H* est le mineur Ai de A obtenu quand on en efface la dernière ligne et la dernière colonne, A est le mineur At de Ai, obtenu en opérant sur A| de la même manière. La différentielle oPu est donc une forme positive et u minima,' si At» Aj, A sont positifs, une forme négative et u maxima, si — As, Ai, — A sont positifs.

V. On peut observer que si a est positif ainsi que ae — 6% c l'est aussi; ensuite, a «» AB ^ H% £ = AG — 6' étant positifs, A, B, G sont de même signe. L'expression BG — F* analogue à a et à c est aussi positive; car, des relations AB »=: a + H*, AG = c ^ G*, AF = 6 -f- GH, on déduit

A« (BG — F«) = (a -^ H«) (c -4- G») — (6 + GH)«

=ac— 6» -♦- l[(aG -^ 6H)« + (ac— 6«) H«].

Ges conclusions résultent aussi de ce que dhiy dans le cas actuel, est une forme définie, où les trois variables A, &, / jouent le même rôle.

Exemple. Soit u = xyz (1 — x* — y* — «'). Les équations tti = 0, «^ s= 0, fis =B sont

y«(i— 3x>— y» — x«) = 0, xz(l — x« — 3y«--jB«) = 0,

xy (i — X* — y» — 3z») = 0.

En raisonnant comme dans l'exemple du n? prëcëdent, on trcove que les seule» valeurs qui puissent donner un maximum ou un minimum sont x* =y* = z* = j. Ensuite, il vient

A = B==C = — 6aryz, F=— 2y«z, G = — 2x2», H = — 2x«y, A = — 1 60 x'y'jK», A« = 52 xy z*, A, = — 6 xyz.

Si les valeurs de x, y, z que l'on associe ont un produit positif, u est maxima; si xyz est négatif, u est minima.

9S3. Cas d^un nombre quelconque de variables. Soit u une fonction de n variables, quatre, x, y, z, ^ par exemple. Si les dérivées premières s'annulent pour x = X;*, y == y^i*, z = z;*, t = /^, nous supposerons que, pour ces valeurs des variables,

(Pu = ùti Ax* -I- as« Ay* -*• aas Az* -4- a^é A(* -h

2ait AxAy + 2ais Ax Az + 2au AxA( + Sais AyAz -i- 2at4 Ay A( +2as4 AzAf

Pour abréger, posons Ax == a, Ay = /3, Az =: ^, A<= d. Nous aurons

ail d*u = (an a -<- aif j3 -♦- au y -f- a^ i)* -4- 9 (jS, 7, d),

9 (P, 7, i) = A/3« + B/ -f- C(î» -t- 2Fyd h- 2G(î^ -4- 2H/3y,

A = (a^,a„ — aj,), B = (a,, a„ — oî,), C = {a^,a^^ — a],),

F=(aiias4 — «18014), G=a(aiia«4 — «11^14)) E=(aiiau — aitais).

Ensuite, en écrivant aa au lieu de a',

«11 «It Ois 014

, aiiOit — Otsaii, anats — af«ai5, auau — Oitau , ciiiats — aitaiS} ana^i — Ais^is, andt* — auau , auttiA — aitciu, «11084 — «i3«i4, «11044 — ai4ai4

«Il «tfl «18 «14

De même,

«It «SI «is «t4 «18 «23 «53 «34 «14 «84 «34 «44

= flî, A.

a=:a}iAi, aiiA=afi