IS

«is «ss

—ouAt.

«Il «It «n

«It «tt «IS «13 «18 «33

Le déterminant Ai se déduit de A, At de Ai, A5=>«ii de At, quand on efface, dans chacun d'eux, la dernière ligne et la dernière colonne.

C^la pose, en imitant la discussion du cas précédent, on arrive assez aisément aux conclusions suivantes :

I. Si an =s Oft = azz = aie == 0, d*u est une forme indéfinie, sauf si l'on a aussi a^ = ajs == au = a^z => au = 034 = 0, auquel cas elle est identiquement nulle. II. Si Tun des coefficients an Hii, a^s, 044 n'est pas nul, ail par exemple, cinq cas peuvent se présenter : i* 9 ((3, y, 3) est une forme définie positive; alors an d^u est aussi une forme définie positive. ^ 9 (P» 7' ^) ^^^ "°® forme définie négative; alors, an d'u est une forme indéfinie. 5** cp (P, y^ d) est une forme mixte positive ou est identiquement nulle; alors an d^u est une forme mixte positivé, i"" 9 (|3, y^ 3) est une forme mixte négative; alors an d!'u est une forme indéfinie. 5® 9 (P, y, 3) est une forme indéfinie; alors aii d^u est aussi une forme indéfinie. III. Pratiquement, les deux cas particuliers du premier cas principal peuvent être réunis au quatrième et au troisième du second.

En résumé, Ad^u n'est une forme définie que si ait est différent de zéro et 9(6,7,^) une forme définie positive, c'est-à-dire si a]^^, On Ai, Ai sont positifs. Donc u sera minima si A, A|, A«, As sont positifs, maxima, si A, — Ai,At, — A3 sont positifs. Dans l'un et l'autre cas, ail, Oit, 033, 044 sont de même signe et d'autres inégalités analogues à celles qui sont relatives à A« et As subsistent, comme conséquence de ce que d*u est une forme définie où les quatre variables jouent le même rdle.

m. fonctions implicites; maxima et minima relatifs; méthode des mnltipllcatenra. 984. Fonctions implicites. < La théorie précédente s'applique sans changement aux fonctions implicites; on peut concevoir, en effet, que des opérations algébriques les transforment en fonctions explicites (i58); les conditions relatives aux maxima et aux minima s'expriment alors au moyen de dérivées que l'on peut calculer k l'avance par la méthode connue pour la différentiation des fonctions implicites (Bertrand). >

Le calcul de ces dérivées, pour les valeurs spéciales des variables que l'on considère, se simplifie souvent, quand la première de ces dérivées est nulle, comme nous allons le montrer, en traitant l'exemple élémentaire suivant : Chercher le maximum et le minimum, de chacune des fonctions y définies par les relations y* — ary -♦- x* — 1* = 0. On déduit de là ; {2y — x)y' — (y — 2x) = 0. Si y = 2x, y' = 0; on a d'ailleurs, si y = 2x, x« = A, x = v/i ety = 2|/i, ou x = -v/v y = -^i/^- La valeur de y" s'obtient au moyen de la relation suivante:

(2y— «)y'Vy'D,(ay— x)— yH.2=.0, qui se réduit à (ây — a:)y"=— 2, puisque j^ = 0. On a donc y" = ( — 2 : 3x), quantité négative, si x est positif, positive si x est négatif. Par suite, x = i/| correspond à on maximum y = 2 1/^9 x = — \/^ à un minimum y = — 2^|« De même, de la relation générale /'(x,y) = 0, on tire (480)

pois, chaque fois que y" = 0, saos que ft, f'*t> fn soient infinies,

dx ^' dx^^dy^ ^•

Ces dernières relations servent, avec f=^0^ i* à trouver les valeurs de X, pour lesquelles il y a peut-être un maximum ou un minimum de y tel que Ton ait y' s» 0, et les valeurs de y correspondantes; 2* i voir, par le signe de y'', si réellement la fonction y est maxima ou minima.

<65. Maxima ef minima rtlaiifs. On peut rattacher & la question précédente, la recherche des maxima et minima relatifs, c'est-à-dire des maxima et minima d'une ou de plusieurs fonctions, définies par une relation H = F (x, y, z, V, 11?) entre des variables liées entre elles par d'autres équations. Comme nous l'avons dit, c'est à ce genre de questions que revient la recherche des semi-maxima ou semi-minima (278) des fonctions de plusieurs variables.

On traite les problèmes de maxima et minima relatifs par les principes des §§ I, II et du n* 284. Exbbplb. Soit à chercher le maximum et le minimum des deux fonctions définies par les équations

i« = X* + y*, ox* -t- 26xy -*- cy* = I ,

où Ton suppose a > 0, c > 0, ac — 6* > 0. La seconde équation est celle d'une ellipse, de sorte que, si x reste compris entre certaines valeurs, y a deux valeurs réelles yi, yt ; par suite, v en a deux aussi, v, =x* "^Ho If, = x^ + yj. On trouve, en dérivant par rapport a x,

n' = 2 (x -♦- yy'), (ax -♦- 6y) + (6x +cy)y' = 0; i." = 2(! -♦-y'^-i-yy"), a -^ 26y' -t- cy'« -*- cyy" = 0.

On déduit des deux dernières relations, en éliminant y'',

±ci«" = c — o — 26y'.

La valeur de u* ne peut devenir discontinue qn*en devenant infinie, ce qui arrive ai y' = oo . Mais, si y' = oo , on sait, par la géométrie, que les valeurs correspondantes de x sont les valeurs extrêmes que peut prendre cette variable; pour ces valeurs extrêmes, yi =yt tii = ut et ut^ tit ne peuvent être que semi-maxima ou semi-roinima. Il n'y a donc pas lieu de considérer les valeurs de x, y, t/, correspondant k y' infinie. Si u' = 0, on a successivement, en faisant x = ty^

X -4- yy' = 0, (ax -^ 6y) -4- (6x -4- cy)y' = 0, y' = — «, a« -♦- 6 — (6« H- c) < = 0,

D'après l'équation en «, savoir : 6(* -♦- (c — a)t — 6 =» 0, f a deux valeurs de signes contraires. Si ( est de même signe que 6, t4" est positive, u minima; si t est de signe contraire à 6, u" est négative, u maxima. La valeur minima de u est le carré du petit axe de Tellipse, la valeur maxima, le carré du grand axe.

986. Méthode des multiplicateurs. Dans le cas ou l'on peut laisser de côté la considération des valeurs qui rendent discontinues les dérivées partielles de la fonction dont on cherche les maxima et les minima, il existe une méthode élégante, dite des mulliplicateurSj pour trouver ceux qui correspondent aux valeurs nulles de ces dérivées partielles.

Pour fixer les idées, soit u = f(Xy y, z, v, w) une fonction de cinq variables liées par les relations

L (x, y, z, r, t») = 0, M (x, y, z, u, to) = 0.

En regardant r, w comme fonctions de x, y, z, on a, pour déterminer les valeurs des variables correspondant peut-être aux maxima et minima de ti, outre L = 0, M = 0, les trois groupes de relations :

Sx dv dx dw dx * 5y dv rfy Sw dy '

if ifdv dfdw ^ Sz dv dz dw dz *

il SLdv ^l'rfti?^ SL 3Ldv ^^^ dx Sv dx Sw dx ' 3y Sv dy dw dy '

dh dL dv dL dw

%r '^ jr T"^ "z r=t):

oz ov dz ow dz

5x dv dx dw dx ' dz iv Sy dw dy

^JK dt? dz iw dz On déduit de la, X, |ul étant des constantes indéterminées,

$f dL 3M dv/of 3L dMX

^x dx' ^ dx dx \3v "*" Jt7 ^ iv)'^

dw/d£ 3L ^M\ dx ydw» dw ^ âtr/ '

df Si djA dv^/df .il SM\ îy'*' ly ^ ïy "^ dy\dv 3v ^'dv/'*'

dy \èw dw ^ dwj '

df 31 3M dv/3f ^ol^ dj&\ 3z 3z^ ^ dz"^ dz\3v ^dv "it?/"*"

dw/3f 31 ^\r.

dz\3w 3w 3w/ Ces relations deviendront

3f Jl 3M ^

3f , ai aM ^

iz'^^Tz'^^Tz-''^ ^'')

si l'on assujettit A, /x, à vérifier les deux équations

Les équations (i i), (ii), (is), (i^), (is) déterminent Xy y, jz, v, u? en fonction de A,/ui; en substituant les valeurs de x^ y, z, v, ir dans L = 0| M = 0, on trouvera A = Xo, |ca = |ulo et alors x, y, z, v, ir seront connus. On cherchera ensuite si d^u a un signe constant ou non, de quelque

tnatiière que Varient Ax, Ay, £iz supposes suffisammetit petiU, et la question sera résolue complètement.

Mais on peut interpréter autrement les équations (1). Cherchons les maxima et minima de la fonction de cinq variables, D = u + AL -h p M; les valeurs de ces cinq variables qui correspondent peut-être à des maxima ou à des minima, seront données par les équations (i). De plus, choisissons pour X et fx, les valeurs A = Ao, fx = po telles que ces solutions des équations (1) vérifient aussi L = 0, M «= et soit Uo = ti -t- Ao L + fxo M; alors, pour ces valeurs des variables exprimées en Ao, po, Uo = u-HAo.O + po.Os=ii. Les valeurs de x, y, z, v, w qui correspondent peut-être aux maxima et aux minima, sont donc les mêmes pour u et pour Uo = u -H Ao L + po M. Cela posé : i^ Si une des valeurs Uoi de Uo correspondant à ces valeurs des variables est un maximum, la valeur égale Ui de u est aussi un maximum. En effet, par hypothèse, la valeur Uoi est supérieure à toutes les valeurs infiniment voisines de Uo = u -4- AoL -H fXo M; il en est donc de même de la valeur égale Ui ; par suite, d /br- Iton', Uo4 et Ui surpasseront celles de ces valeurs infiniment voisines de Uo, pour lesquelles L = 0, M = 0, c'est-&-dire les valeurs infiniment voisines de u; donc tii est aussi un maximum de u. ^^ De même, si une des valeurs Uoi de Uo est un minimum, la valeur égale ut est aussi un minimum. 5® Mais, comme on le verra plus loin à propos du second exemple, u peut avoir des maxima ou des minima qui ne correspondent pas a des maxima ou à des minima de Uo. On conçoit, en effet, que u puisse avoir une valeur fis plus grande (ou plus petite) que toutes les valeurs infiniment voisines de u, sans que la valeur Uos = us de Uo soit plus grande (ou plus petite) que toutes les valeurs infiniment voisines de Uo = u -^ Aq L -t- fzo M, fonction plus générale que u.

Exemples. I. Chercher le maximum de i«=o'x -f- 6*y -h c*z -f- g*v h- A*tt7, sachant que x, y, z, v, w sont des variables positives vérifiant la relation L = x' -*- y' -4- z' -*- v' H- 1«?' — i = 0. Posons U =• m — ^ A L. Les maxima et les minima de U correspondent aux valeurs de x, y, z, t?, tv telles que U2=0, Uy='0, etc., c'est-à-dire, telles que

a«— Ax«=0, 6«— Ay«=0, c«— Az«=0, y« — Ar«=0, A»— Ati?«==0.

En introduisant les valeurs de x, y, z, v, w dans la relation x' -i- y' -h -j» -i, t?' -4- u;' = 1, nous trouvons A = A^ et

Ao = (a» H- 6» -^ c» H- y» + A»)*.

Tous les maxima et minima de la fonction Uo «= t< — { ^ L sont des maxima et des minima de ti. Or, dans le cas actuel, la différentielle seconde de Uo est

— lo (2x Ax* -f- 2«/ Ay* -f- izAz* -f- 2t?Av* -♦- 2tt?Atc*),

quantité négative. Donc Uo et u ont une valeur maxima pour

x = aV/Xo, y = 6\/Ao, z=^c\/7.Qj v = g\/7^^ ir = Av/^.

IL Chercher le maximum de u = rry, sachant que L = x-f-y — 2^=0. La fonction \J = u — XL = xy — À (x -»- y — 2) a pour premières et secondes dérivées partielles

Les premières dérivées partielles s'annulent pour x = y = A. Substituant ces valeurs dans L = 0, nous trouvons X = i,x=y = I.La fonction Uo = u — AL, pour ces valeurs, se réduit à u. On sait (n" 4) que « a un maximum pour x =y = I ; mais cPUo = 2AxAy, quantité qui change de signe quand l'un des deux accroissements Ax, Ay change seul de signe; donc Uo n'a ni maximum, ni minimum. Géométriquement, on peut regarder U, = xy — x — y comme la troisième coordonnée, parallèle à Taxe, dans un paraboloTde hyperbolique, et Ton sait qu'elle n'a ni maxima ni minima. Mais la section de ce parabololde par le plan x -»- y = 2 est une parabole u = x (2 — x) dont la coordonnée u a un maximum pour x = 2 — x = 1.

Cet exemple montre avec quelle précaution il faut manier la méthode des multiplicateurs.

Remarque. La méthode des multiplicateurs peut s'appliquer à la recherche des maxima et minima d'une fonction v définie par des relations implicites, par exemple, par

/*(x, y, jT, t?, u?, t<) = 0, L (x, y, jt, t?, tr, ti) »= 0, M (x, y, z, t?, tr, u) = 0.

En observant que u^ = 0, t/y «= 0, v, = 0, on trouve, dans ce cas, pour déterminer x, y, z, v, u?, ti, A, p, des équations qui ont identiquement la même forme que dans le cas précédent, sauf que u entre avec les autres variables, sous les signes fonctionnels.