CHAPITRE I. Esquisse historique

M7. InvenUun de Tanalj/H ii^ndUrimàU (Développement du n<> 14). La recherche des aires et des longueurs des lignes courbes, des volumeset des aires des surfaces courbes et celle de leurs centres de gravité avaient été ramenées par AiicHiBfÂDB (267-212), dans Tantiquité, par Fermât (1601-1606) et d'autres géomètres des deux premiers tiers du XYII* siècle, au calcul des UmUet i$ êommês i'itifiiUmeiU peHiS] la détermination des tangentes aux courbes planes et d'autres questions connexes avaient été réduites aussi à celle de la limite du rappori de deua in^nlm$nt jpeUU ayant entre eux une relation connue. Dans le dernier tiers du XYII* siècle, Leibniz (1646-1716) et Newton (1642-1727) découvrirent l'un et l'autre, que h problème des ianfeniet ei celui dee çuadrahiree sont hivereee run de TaiUref et, imaginant chacun un algorithme spécial pour traiter les questions de ce genre, inventèrent ainsi le oalcui différentiel et le edeul ini^ral.

Hb firent cette découverte indépendamment l'un de l'autre et sous des formes différentes, comme l'a reconnu Newton, dans un passage célèbre its Pri$idpee{Principia maihematiea philoeophiae MfirraKf,Lib.II,prop. VU, Scholium, éd. de 1687 et de 1713; remplacé par une autre remarque dans celle de 1726) : c In litteris, quae mihi cum Geometra *peritissimo 0. O. Leifanitio annis abhinc decem intercedebant, cum signiflcarem me compotem esse methodi determinandi maximas et minimas^ ducendi tangentes et similia peragendi, quae in terminis surdis aeque ac rationalibus procederet et litteris transpositis hanc sententiam involventibus (data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire

et vice versa) eandem eelarem, rescripsit vir clarissimas se quoqne in ejusmodi methodum incidisse et methoium tuam commumcatU a mea vis àbludentem proêierquam in verhrum ei notarum formtdis {et idea çeneror tionis quantUatum). Nous donnons plus bas (289, 290) la traduction des premiers articles de Leibniz et de Newton sur le calcul différentiel.

Leibniz employait la méthode infinitésimale, la notation des différentielles et le signe sommatoire allongé pour les intégrales; il appelait la science nouvelle, calcul différentiel et calcul intégral ou sommatoire. Il en découvrit les principes un peu avant 1677 et les publia en 1684. Les développements ultérieurs du calcul infinitésimal sur le continent, à la fin du XYII* siècle et au commencement du XVIIP, sont dus surtout à lui et aux deux frères JAC9UB8 (1654-1705) et Jean BBRNauLLi (1667-1748).

Newton employait la méthode des limites, une notation équivalente à celle des dérivées (y, y, etc., pour y^, y", etc.) mais plus incopimode, pour le calcul différentiel, et une notation inverse (y, y, etc. pour ^fdSt JJâ; Jy(to) pour désigner les intégrales. U appelait la nouvelle branche des mathématiques créée par lui, cakul direei et calcul inversé des Jlumans : fluxion d*une variable signifie vitesse t accroissement à^o^i» variable. Il découvrit les fondements de la méthode des fluxions un peu avant 1667 et les publia vingt ans plus tard, dans ses immortels Prtndpes. Son principal continuateur, en Angleterre, fut Maclau&in (1698- 1746) dont le célèbre ouvrage A Treatise of Flusrians (1742; traduction française du P. Pezenas, 1749) contient, outre un grand nombre de recherches originales, un exposé rigoureux des principes, non seulement du calcul des fluxions, mais aussi de la méthode des limites, de celle des infiniment petits et des méthodes équivalentes des anciens.

Au XYIII* siècle, les deux plus grands analystes sont Euler (1707- 1783) et Lagrange (1736-1813) qui déduisirent, des principes posés par Leibniz et Newton, toutes leurs conséquences naturelles, mais en obscurcissant parfois la clarté de ces principes mêmes, surtout dans la théorie des séries. Lagrange est Tinventeur du Calcul des variations au moyen duquel il a traité, d*une manière systématique, les problèmes relatifs aux maxima et minima des intégrales définies sur lesquels Euler avait auparavant publié un ouvrage spécial.

Legbndrb (1752-1833) agrandit le domaine de l'analyse en appelant Tattention, plus que ses devanciers, sur trois espèces nouvelles de fonctions, les fonctions eulériennes, les fonctions sphériques, et surtout les

fonctions (ou plutAt les intégrales) elliptiques. Il en développa la théorie autant que possible, au moyen des ressources de l'analyse de son temps, 6t| à force de ténacité, découvrit, en particulier, sur les intégrales elliptiques de troisième espèce, des vérités nouvelles d*un abord extrêmement difficile.

Au XIX« siècle, Gauss (1777-1855) et surtout €aucht (1789-1857) réintroduisirent la rigueur dans Texposé des principes généraux de l'analyse, et ouvrirent aux géomètres un champ illimité de recherches en créant la théorie générale des fonctions d*une variable imaginaire. Abbl (1802-1829) et Jacobi (1804-1851) appliquèrent cette théorie, d'une jodanière plus ou moins explicite, avant qu'elle eût reçu son plein développement, à l'étude des fonctions elliptiques, inverses de la première intégrale elliptique de Legendre ; en outre, ils découvrirent les propriétés fondamentales d'une nouvelle espèce de fonctions, les fonctions abéliennes, plus compliquées que les précédentes, dont elles sont la généralisation.

RiBMANN (1826-1866) appliqua aussi aux fonctions abéliennes la théorie . générale des fonctions d'une variable imaginaire, qu'il avait approfondie

plus que personne; Clbbsch (1833-1872) enfin, rattacha leurs propriétés

générales à la géométrie supérieure.

Aujourd'hui, Hbrmitb en France, Wbibrstrass et Eronbcker en

Allemagne, Stlvbstbb et Gatlby en Angleterre, Briosohi en Italie,

tiennent le sceptre de l'analyse mathématique.

9§S. Précurseurs (Développement du n** 15). I. Dans l'antiquité, on

peut regarder AncHiMàDB et même Eudoxb, Euclidb et Pappus comme

des précurseurs de Newton et de Leibniz.

Eudoxb de Gnide (408-355) est l'auteur de la théorie des proportions

entre grandeurs commensurables ou incommensurables exposée dans le

cinquième livre des Éléments d'Euclide. C'est lui aussi qui a trouvé le

rapport de la pyramide au prisme de même base et de même hauteur, et

le théorème analogue sur le cône et le cylindre. Il est probable qu'on lui

doit également les démonstrations rapportées dans le livre douzième des

ÉUments sur la proportionnalité de l'aire des cercles ou du volume des

sphères au carré ou au cube de leurs diamètres. EucLiDB (vers 300 ans avant J.-O.) a exposé et étendu la théorie des

irrationnelles du second degré {Éléments^ Liv. X). Arohihbdb (287-212) est le vrai créateur de la géométrie de la mesure.

On lui doit la détermination de la longueur de la circonférence, de l'aire

dea trois corps ronds, de la parabole, de Tellipse et de la spirale qui porte son nom, celle dn volume du paraboloïde de révolution et de Thyperbo-» loïde de révolution à une nappe (appelés par lui eoncMei)^ puis de Tellip» solde de révolution (ou sphéroïde), enfin la découverte du centre de gravité du paraboloïde de révolution, ainsi que du procédé pour mener la tangente à la spirale.

Pappus (vers 300 de Tère chrétienne) a trouvé le premier des théorèmes dits de Guldin, savoir, que le volume engendré par une aire plane tournant autour d*un axe situé dans son plan est égal à Taire multipliée par la circonférence décrite par son centre de gravité, et a déterminé Taire d*une spirale sphérique analogue à la spirale plane d*Archimède.

Aufonii dans la recherche de Taire de la parabole et dn volume de la pyramide, les anciens ont ramené la solution de la question à la sommation de la progression indéfinie 1 + i -^ îV "^ ^^« (méthode d'exhaustion) ; dans la plupart des autres quadratures, les grandeurs cherchées sont enfermées entre deux grandeurs variables différant aussi peu qu*on le veut et formées de parties indéfiniment décroissantes, de sorte que leur procédé ne diffère pas essentiellement de celui des modernes; il en est de même de celui qu^Archimède emploie pour trouver la tangente a la spirale. Mais la forme de leur démonstration est complètement différente. Nulle part, ils ne supposent que le nombre des termes d'une progression ou des parties d'une surface ou d'un volume croisse indéfiniment OH que ces parties deviennent aussi petites qu'on le veut. Ils évitent tout passage explicite à la limite ; ils répètent, dans chaque cas particulier, les raisonnements par réduction à Tabsurde au moyen desquels on peut établir les principes généraux ou spéciaux de la méthode des limites. Les propositions générales auxquelles ils recourent explicitement sont les suivantes : c La différence de deux quantités inégales peut s'ajouter plusieurs fois à elle-même de manière à surpasser une quantité finie proposée de la même espèce.» — « Si, d'une grandeur, on retranche plus de la moitié, puis que Ton retranche du reste encore plus de la moitié et ainsi de suite, on obtiendra, après un nombre fini d'opérations, un reste plus petit qu'une quantité donnée. »

IL Parmi les précurseurs de Newton et de Leibniz, dans les temps modernes, il faut citer surtout Neper, Kepler, Cavalieri, Grégoire de Saint- Vincent, Descartes, Fermât, Roberval,Slu8e, Pascal, Wallis et Huygens.

Neper (1550-1617) est l'inventeur des logarithmes (1614), c'est-à-dire

de là premièrô fonction transoendftnte nouvelle que Ton ait étudiée dans les temps modernes, c La nature et la formation des logarithmes a été proposée par leur inventeur, dit Maciaurin, d'une maniera semblable à celle dont on se sert dans la méthode des fluxions pour expliquer la for* mation des quantités de toutes les espèces et il l'a exprimée presque dans les mêmes termes. »

Kbplbr (1571-lôdO) en 1615, dans la Nota itifêometria ioUommi Cavalibri (1598-1647) en 1635, dans la Geometria inUpisibilibus eanHnuarum wna quadam raiione pramota, GmiaoïRB db Saint Vincbmt (1584-1667), avant Gavalieri, dans des manuscrits assez répandus (1621), mais surtout dans son Opuê fféamettieum (1647)^ firent faire des progrès à la géométrie de la mesure, en trouvant de nouvelles quadra^ tures, le premier, par la méthode peu sûre des iniiviribleif qu'il intro* duisit dans la science avec la notion vague de Tinfini, considéré comme un nombre; le second, par la même méthode employée plus systématiquement encore ; le troisième, par la méthode rigoureuse des anciens. C'est ce dernier qui a introduit dans la géométrie les polygones à échelons, inté* rieurs ou extérieurs à une courbe, qui remplacent les polygones inscrits et circonscrits d'Archimède. On lui doit aussi Tétudede l'aire de l'hyper* bole (qui conduisit, peu après lui, dirers géomètres à la quadrature de cette courbe par les logarithmes et par les séries équivalentes), ainsi que la considération de diverses suites infinies.

Dbscartbs (1596-1650) a imaginé (en même temps que Fermât) la représentation des courbes par une équation entre elbs coordonnées (géométrie analytique) et il a rendu ainsi possible le développement moderne des mathématiques et, en particulier, de l'analyse infinitésimale. On lui doit maintes quadratures ingénieuses, mais il faut citer surtout ici, parmi ses découvertes, la méthode des coefficients indéterminés, sa méthode des tangentes (fondée sur la recherche de la normale commune à une courbe et à un cercle coupant cette courbe en deux points qui se rapprochent indéfiniment), et la construction de la normale aux roulettes.

Robbrval (1602-1675) a indiqué comment on peut donner un sens raisonnable aux indivisibles et il les a maniés avec habileté, mais il est surtout connu dans la science par sa méthode des tangentes^ généralisation de celle d'Archimède pour la spirale ; elle est fondée sur la considé* ration des vitesses simultanées dont on peut supposer un point animé, lorsqu'il parcourt- une courbe.

Pascal (1623-1662) n*a pas trouyé de méthode générale oommé Descurtes et Roberyal» mais il a étudié à fond la cydoide, la spirale et les figures qui dépendent de ces courbes ; il a effectué un grand nombre de quadratures par la méthode des indivisibles en disant avec exactitude ce qu'il faut y ijouter pour qu'elle soit rigoureuse.

Slusb (1622-1685), contrairement à Pascal, employait l'analyse de Yiète et de Descartes ; on lui doit, outre la méthode des lieux géométriques pour résoudre par l'algèbre les problèmes déterminés, des quadratures Traiment compliquées; mais sa découverte principale est celle de la règle pour mener la tangente aux courbes algébriques dont l'équation est mise sous forme rationnelle. Cette règle générale, trouvée vers 1652, mais publiée partiellement en 1668, complètement en 1673 revient à la formule Si/«(â;, y) + jt/'y(â?, y)==0, qui détermine la sous-tangente Se, quand la courbe a pour équation /(â;, y) =s 0.

Fermât (1601-1665), antérieur à Sluse et à Pascal, et même à Boberval, mais dont les écrits n'ont eu qu'une publicité restreinte de scm vivant, est, plus qu'aucun des géomètres précédents, le précurseur de Leibniz et de Newton, parce qu'il a traité, à la fois, le problème des tangentes et celui des quadratures, d'une manière approfondie et générale, quoique à propos d'exemples particuliers. Il est d'ailleurs le créateur de l'arithmétique supérieure et le co-inventeur de la géométrie analytique. Sa méthode des tangentes et des maxima et minima est, au fond, équivalente à celle du calcul différentiel ; ses procédés de quadrature, dont l'un des plus ingénieux revient à Tintégration par parties, lui permettent d'effectuer presque toutes les sommations qui dépendent des fonctions élémentaires. Les radicaux ne l'embarrassent pas, parce qu'il a trouvé une méthode d'élimination et des substitutions ingénieuses pour les faire disparaître. Fermât a aussi donné le moyen de ramener la rectification des courbes à des quadratures, ce qui n'avait été fait, avant lui, que pour des courbes particulières.

Wallis (1616-1703), antérieur aUssi à Sluse et à Pascal, a publié en 1655, son ArUhm&iiea inJlnUorum^ ouvrage où il a exposé, sous forme algébrique, les résultats obtenus sur les quadratures et les séries par Gavalieri, Grégoire de Saint Vincent et d'autres géomètres, et les a étendus considérablement par des inductions ingénieuses. Malgré le peu de rigueur des procédés employés par Wallis (il a reconnu, plus tard, le défaut de son exposition pour trouver la somme des suites des puissances

quelconques. dds nombres entiers; suites qui ToAt conduit i sa célèbre expression de tt)* ce Traité, dit Maclaurin, contribue beaucoup aux grands progrès que Ton fit peu après.

HoraBNS (1629«1695) a trouvé Taire des conoides d'Ârchimède et effectué d'autres quadratures difficiles, et il a développé une théorie des maxima et des minima, esquissée par Descartes et un peu différente de celle de Fermât; mais il faut ici surtout le citer comme auteur de la théorie des rayons de courbure et des développées, exposée à propos de la théorie du pendule, dans son Horoloffium oêcUlatorium (1673), avec une entière rigueur. C'est Hujgens qui a été le guide de Leibniz en mathématiques^ en lui faisant étudier l'analyse dans Descartes et Sluse, les quadratures dans Grégoire de Saint Vincent et Pascal. D'autre part, au point de vue de la mécanique rationnelle, son Horolofium a eu une influence considérable sur Nevrton^

Rbmarqub. Grégoire de Saint Vincent et Sluse sont belges ; Huygens, hollandais; Neper, Maclaurin, écossais; Wallis, Newton, Gayley, Syl* vester, anglais; Kepler, Leibniz, Gauss, Jacobi, Riemann, Clebsch, Weierstrass, Eronecker, allemands; Descartes, Fermât^ Roberval, Pascal, Legendre, Gauchy, Hermite, français ; les Bemoulli et Euler, suisses; Gavalieri, Lagrange, Brioschi, italiens.

CHAPITRE IL Prebuers principes du Calcul différentiel, PAR Leibniz et Newton (1684; 1687)(1).

I. Nonvelle. méthode de recherche des Maxinaa et des ■iolma et aaeei de» tangeiiteei applicable méoie daaa le cas d^ezpreaaiona fractioooalrea et irratloonellea, et calcal remarquable j relatif, par Or. G. L.(2). 9S9. 1. Définition de la iifér$niUlle. Soient Taxe AX et diverses courbes» telles que YV, WW, YY, ZZ dont les ordonnées, normales à Taxe, sont VX, WX, YX, ZX,

(1) TradactioD pubUee d'abord dans MathesU, t. IV, pp. 177-188, le 80 septembre 1884, à l'occasion da deuxième centenaire de lUnvention du calcul différentiel.

(2) Publié^ en latin, le l*' octobre 1684, dans les Acia Bruditarum de Leipzig, pp. 467-473 {Œuvres mathématiques de Leibniz, publiées par Gbrhardt, t. Y, pp. 220-226). G. Q. L. est, en abrégé, pour Guillaume Godefroid Leibniz. Les n«* I à X et les titres des alinéas sont ajoutés par nous. Nous renversons aussi la figure primitive, où les a positifs sont à gauche de l'origine.

et sont dégigoiâs paf lea lettres «, ^» y» f ; AX lui-mAiiie, aibsdsse oomptâe sur l'axe, est appelé m. Les tsagentes sont VB(3), WO, YD, ZB rencontrant Taxe respectlven^nt en B, G, D, E. Appelons ix une droite queloonqae prise arbitrairement et if> (if9, égf on iz) o'est-à-direi diffirentielle de 9 (ip, y ou z)^ une droite qui soit à i»^ comm0 « (ip, y oo s) est à XB (XG, XD ou XE) W. Gela posé, voici quelles sont les règles du nouveau calcul.

IL Diféreniiatiim d'une somnUf d'un produit^ d'un quoêieni. Si « est une constante, da^^^O etd {aa) = adx. Si y =» 9, ou si l'ordonnée d*nne courbe YY est toujours égale à Tordonnée d'une courbe correspondante V V, dy =» dv. AddUion et sousiraciion : Si^ — y + i9-«-âJ=«9, on a d{i^-^f-^nf-^at) ou dv = dii — dy + dw-^dx. MuUiplieaikn : d{av)^=xdv -ft- vdaon^ ^y=^av^ ily = â»l«-i-«ite, carilestindîflereni d'écrire xv ou, en abrégé, y. Il faut remarquer que ^ et ^ ^ traitent d^ns ce calcul, comme y et dy ou toute autre variable et sa dlfTérentielle. On doit remarquer aussi que i*on ne peut pas toujours revenir à l'équation primitive en partant de l'équation différentielle, sauf avec quelque

précaution, comme nous le dirons ailleurs. Enfin Division : i- ou

./ r\ , dzvdyzpydv 811 iP = - I, di^ = ^ — (5).

V vJ yy

IIL Interprélaiion géométrique du signe de la différeniielh; maxima et minima. Quant aux signes, il faut bien noter ceci : Lorsque dans le calcul, on introduit la différentielle d'une quantité, à la place de celle-ci, on doit lui, conserver le même signe; ainsi, à la place de +iz; on écrit +d%^ à la place de — <;, on écrit — dz^ comme il résulte des règles données pour l'addition et la soustraction. Mais quand on en vient à la discussion des valeurs des quantités considérées, c'est-à-dire quand on considère la relation de z avec x^ on voit si la valeur de dz est positive ou négative. Quand cette dernière circonstance se présente, la tangente ZE est dirigée du point Z, non vers A, mais dans le sens contraire au delà de X, et les

(3) C'est-à-dire YiBi en Vi, V|Bt en Va. Plus bas, XB pour XB^ ou XB|.

(4) Comme on le voit, dès le débat da nouveau calcul, Leibniz définit la différentielle comme Cauchy. Pour lui, dv = t^ix^ car le rapport de l'ordonnée à la 80U8-tangente,ohacune de ces lignes étant prise avec son signe,est égal à la dérivée.

(8) Une discussion attentive aurait prouvé à Leibniz qu*il est inutile de mettre les signes supérieurs, si l'ordonnée et là tangente sont prises chacune avec leur signe. Leibniz prend ces quantités en valeur absolue. Voir la note suivante.

ordennies dderolnent lor*qn« les absaissea crolsuat. Pottr tel oi^nn^ V, comme elles sont taatât croissantes, tantôt décroissantes, dv sera taatAt positif, taatât négatif i dans le premier cas, la tangente VjBi est dirigée vers A. dans le second, en sens contraire. Ni l'un ni l'autre de ces cas ne se présente en un point intermédiaire M, au moment où les r

ne croissent ni ne décroissent, mais sont stationnaires. Alors dv^=0, n'étant ni positif, ni négatif, puisque + ^ — 0. En ce point, e, c'est-à-dire l'ordonnée LM, est Maxima (ou si la convexité de la courbe est tournée vers l'axe, Uinima) : la tangente à la courbe en M n'est dirigée ni vers A en se rapprochant de l'axe, ni en sens inverse vers X, mais est parallèle à l'axe. Si dv est infini par rapport à d^, alors la tangente est perpendiculaire à l'axe et se confond avec l'ordonnée. Si dt etda sont égaux, la tangente fait avec l'axe un angle égal à la moitié d'un angle droit.

Pointi d'àtjtexio*. Si les ordonnées oroissent et que leurs accroissements ou différentielles df oroissent aussi {ou si les dt étant supposés pofitifs, il en est de même des différentielles des difi'érentielles iiv, et de même, si les dv et les ddt sont négatifs à la fois), la courbe tourne SA eonvesHU vers l'axe; sinon, c'est sa concavité qui est tournée vers

l*ax6. Mats au point où racoroissement eat maximum ou minimam, o*eti* à-dire où les aocroissements, de décroissante, deviennent croissants on inversement, il j sl un poiiU d'inflexion et la convexité et la concavité se permutent entre elles, pourvu, bien entendu, qu^en ce point les ordonnées, de croissantes, ne deviennent pas décroissantes ou inversement, parce qu'alors la concavité ou la convexité subsisterait. Il est d'ailleurs impossible que les accroissements continuent à croître ou à décroître et que les ordonnées fassent l'inverse. Il j a donc un point d*inflexion quand v et iv étant différents de zéro, on a dit =s 0. Le problème de l'inflexion correspond donc au cas où une certaine équation a trois racines égales, et non deux seulement comme dans les questions relatives aux maxima et aux minima. Tout cela dépend, comme on voit, de l'usage légitime des signes. IV. Remarque sur la différentielle des quolienis. Quelquefois il faut employer des signes aniiigus(% comme on l'a vu plus haut, pour la division; on doit procéder ainsi jusqu'à ce que Ton sache celui qull faut

employer. Quand x croit, si - croit (ou décroit), il faut prendre les signes

9 zb vdv ^ ydt dans il - ou — de manière que cette fraction soit positive (ou

y yy *— v

négative), zsp, étant le signe contraire de dr, c'est-à-dire que ai l'un est +> l'autre est — , et inversement. Plusieurs ambiguïtés de signe peuvent se présenter dans le même calcul et je les distingue par des

parenthèses. Ainsi, sin^=--*---4--»

dn> = ^ ^^^ ^ *^^^ H- (=^) y^^ i^) ^y ^ ((=!=)) Oidt ((=f)) tdx ^ yy zz fvw

Sans cela, les ambiguïtés d*origine diverse se confondraient. Notez ici qu'un signe ambigu multiplié par lui-même donne -4-, par le contraire donne — , par un autre signe ambigu, une nouvelle ambiguïté dépendant des deux premières.

(6) Comme nous l'avons dit plus haut, cet alinéa est inutile : on doit tonyonn prendre les signes supérieurs. Newton l'a bien reconnu et n'a laissé aucune ambiguïté de signe dans ses formules. Dans la célèbre lettre qu'il a adressée le 24 octobe 1676 à Oldenbourg, pour Leibniz, il fait l'observation suivante : « Leibniz ne semble pas avoir remarqué que Je représente habituellement par des lettres des quantités affectées du signe plus ou du signe moins. De cette manière, Je ne multiplie pas inutilement le nombre des théorèmes » {Œuvres math, de Letàniz, 1. 1, p. 138 ou NenUmi Opuscula, 1. 1, p. J3I6^7, de rédition de Castillon, Genève, 1744).

V. PuUiânùes et raelnes. PuUiance$ : d (â^) ^ aos^^ia^ par exemple,

1 aiof 1 Sdûf lï te») =3a?'(ïa?; i— = rn' par exemple, si » = — > dfo=^ 7-.

Xadnes : i y a* — ^^1 v^' * ( w^si, rf |/ y = — ?;= > car, dans œ cas» a=l, J=:2; ainsi -|/««""* est 5K y~* et y-' est, d'après la natare