ilix

i^ — ss — r— — * L& règle donnée pour les puissances entières aurait

suffi pour les puissances en dénominateur et pour les racines, puisque si l'exposant est négatif, la puissance vient en dénominateur et s'il est fractionnaire, la puissance se change en racine. Mais j'ai préféré tirer moi-même ces conséquences que de les laisser à déduire aux autres» parce qu'elles sont très générales et d'un usage fréquent, et en matière compliquée, il faut songer à faciliter la tâche du calculateur.

YI. Lt wmtML% càleiU comparé aux méthodeê anciennes. Grâce à VAlçofithme, si j'ose ainsi dire, de ce calcul que j'appelle d\féretUiel, toutes les équations entre différentielles peuvent être trouvées par le calcul ordinaire; on peut obtenir les maxima et les minima, et de même les tangentes, sans qu'il soit nécessaire de faire disparaître les dénominateurs et les radicaux ou autres formes d'expressions embarrassantes, comme c'est le cas pour les méthodes publiées jusqu'à présente?). La démonstration de tout ce qui précède est facile pour celui qui est versé en ces questions, en s'appujant sur une seule remarque à laquelle on n'a pas fait assez attention, savoir que l'on peut regarder dx^ efy, dv^ dfo, dz comme proportionnels respectivement aux accroissements ou décroissemeuts instantanés de œ^ y, 17, w^ z{^).

Il résulte de là que l'on peut écrire immédiatement l'équation différentielle correspondant à une équation donnée, en remplaçant chaque terme

(7) Allusion aux méthodes de Fermât, de Barrow et surtout de Slase.

(8) L'accroissement instantané d*une variable y est l'accroissement que prendrait cette variable, pendant un temps quelconque, si sa loi de génération restait, pendant ce temps, ce qu'elle est au début. C'est au fond, la définition du n<> I, sous la forme tfy = Aâ? lim (Ajr : Aâ?).

(chaque partie qai oonooart 4 former Téquaiioa par addiiioa et eoQ8tn6* tion) par sa différentielle, chaque quantité qui entre dans chacun des termes par sa différentielle, non purement et simplement, mais d'après l'Algorithme exposé plus haut. Les méthodes antérieures n*ont pas de règle analogue, mais emploient la plupart une droite telle que DX ou quelque autre analogue, mais non la droite iy, quatrième proportionnelle à DX, XY et dx, et cela trouble tout. De là vient aussi que ces méthodes prescrivent de faire disparaître les dénominateurs et les radicaux (qui se présentent avec un signe + ou un signe — ). Il est clair aussi que notre méthode s'étend aux lignes transcendantes, qui ne peuvent être traitées par le calcul algébrique ou ne sont d'ancan degré déterminé; et cela de la manière la plus générale, sans aucune supposition particulière non toujours réalisée. Il suffit que l'on admette d'une manière générale que trouver la tangente à une courbe, c'est mener la droite joignant deux points infiniment voisins de la courbe, ou prolonger le côté du polygone d*un nombre infini de sommets qui équivaut pour novLB k\9L courbe (9). Mais cette distance infiniment petite peut toujours s'exprimer par une différentielle connue, comme dv, ou par une relation avec it», c'estrà-dire, par une autre tangente connue. Bn particulier, si y est une quantité transcendante^ par exemple, l'ordonnée de la cjdoïde, et qu'elle entre dans un calcul par lequel est déterminée l'ordonnée z d'une autre courbe, et qu'il s'agisse de trouver dZy ou an mojren de dz, la tangente à cette courbe, certainement il faudra expri-

(9) Leibniz n'entend pas ceci dans un sens vague, mais dans le sens précîB de la méthode actuelle dee limites, comme Ta remarqué Lacroix qui cite le passage suivant des Acta erudUorum de 1684, p. 585 (Œw). math.^ t. V., p. 16) : a Une courbe doit être regardée comme un polygone d'une infinité de côtés. Toutes les propriétés d'un polygone pareil qui ne dépendent pas du nombre de ses côtés on qui sont telles qu'elles se vérifient d'autant mieux que le nombre des côt'és est plus grand, de manière que Verreur devienne aussi petite que To» veut^ appartiennent [par définition] à la courbe. » Dans une lettre à WalUs du 28 mai 1697 {Commer^ dum BpistoUeum, édition Lefort, p. 220), après avoir distingué nettement la méthode de quadrature par les séries (méthode d'exhaustion, employée par Archimède pour la parabole, par Budoxe pour la pyramide), de la méthode par sommation d'infiniment petits (employée aussi au fond par Archimède), Leibnii fait la remarque suivante : « Commune omnibus sit principium demonstrandi : W error ostendatur infinité parvus, seu minor quamvisdatOf Buclidisjam eumpk. m

mer da au moyen de dy; qaant à dy^ on Tobtiendrait parce que Von connaît la tangente à la cjcloïde. De même, on pourrait trouver la tangente à la cjcloïde^ si on la suppose inconnue, d'après la propriété dés tangentes au cercle.

TII. FxempU. II convient de donner ici un exemple. Nous y désigne-

rons un quotient par a:y au lieu d'écrire (t divisé par y ou -(10).

Soit une premiire équation donnée w :y + {a -hhx){e'— »a) : carré de {ew -hfaa) -♦- ax [/gg -♦- yy -^ yy : [/hh -i- te -i- mxx = 0, exprimant une relation entre â? et y ou entre AX et XY, a, b, e, 0,/, g^ A, {, m étant des données. On demande de mener par Y la tangente YD, ou l'on cherche le rapport de DX à la droite donnée XY. Pour abréger, posons a -i* iâ?=ii, c — xx = py eœ 'i-fxx = qy gg + yy = r, hh-^la ^mxx==i. On aura la deuxièffU équation x\y -k- np : qq •^ ax [/r + yy : [/$. D'après les règles de notre calcul, d{x: y)=^{±: xdy ^ydx):yy; de même d {np : qq) = [{db 2npdq (^) q {ndp -*- pdn)] : q*; d{ax\/r) = axdr : 2\/r -^ aix [/r; d {yy : \/$) = [(±) yyds (=f) 4y* dy) : 2s \/s\. Ces diverses différentielles, depuis d{x\y) jusque d {yy : \/$) ajoutées entre elles ont une somme nulle et donneront ainsi la troiriime équation, qui est donc obtenue en remplaçant chaque terme de la seconde par sa différentielle. Maintenant dn = bdXy dp=> — 2x dXy dq = edx -4* 2fxdx, dr = 2ydy, d$ = Idx -f- 2mx dx. Substituant ces valeurs dans la troisième équation, on en obtient une quairUmê où les seules différentielles qui restent sont dx, dy, lesquelles ne sont ni au dénominateur ni sous des radicaux. Chaque terme contient en facteur dx ou dy^ et quelque compliqué que soit le calcul, il en est toujours ainsi, de sorte que la dernière équation est homogèue par rapport à ces deux quantités. On peut donc toujours avoir la valeur de dx : dy ou du rapport de ces quantités, c'està-dire celui de DX à XY. Dans le cas particulier traité, on trouve, en changeant la quatrième équation en une proportion que dxenikdy comme dzx:yy -^ axy:{/r{{ài))2y:[/$ est k ztl : y{±)2np{e'^^fx) t jT» (=p) (— 2nx -f- j?J) : ^« — a [/r {{db)) yy {l + 2mx) : 2t [/s. Mais le point Y étant donné, Xy y sont connus et, par suite, aussi n, Py q, r, s. On a donc ce que Ton cherche. Nous avons traité ici cet exemple assez compliqué afin de montrer comment on doit se servir des règles exposées

(10) Noos conservonB les notations de Leibniz.

plas hast, m^me dans on ealenl pins diffloile. Maintenant, il conriént d'au faire connaître l'asa^ dans des cas pins simples.

Vin. Loi de la réfraction. Soient donnés deux points C et E et la droite SS dans un même plan. On demande de déterminer le point? SS de manière qae la somme des rectangles faits sur CF et sar ta longaeur donnée h, puis sur PB et l'autre longaenr donnée r soit la plus petite possible. Si SS est nne ligna qui sépare deux milieux, que A soit la densité du milieu qui est du c6té de G, par exemple de l'eau, r celle du milieu qui est du côté de E, par exemple de l'air, on cherche le point F tel qae le chemin de E à C par F soit le plus facile possible. Représentons toutes ces sommes de rectangles possibles, ou les difficultés de tons les chemins ppssib1e8,par les ordonnées KV de la courbe VY, perpendiculaires à GP ; appelons ces ordonnées u et cherchons celle qui est la pliu petite NM (Fig. 1). Puisque les pointa C et E sont donnés, les perpendiculaires CP — c, EQ = « & SS sont connues et aussi PQ = p. Quant i QF, qni est égale & OE ou AX, nous l'appelon s g, puj» nous faisons ÇF =/, EP = ff. Alors FP =p— «, / = y/ee -t- pp — ^ -i- ea ou en abrégé y'I, ei g = [/et •+■ tes ou en abrégé \/m. Nous avons donc u = A y/l + r \/m. On déduit de là (puisque du ^^ dans le cas du uinimnm) l'éqnation différentielle (i = 1idl:2\/l-\-rim: 2\/m, d'aprbs les règles de notre calcul. Otdl'= — S dâ! (p — 0), dM = 2» ix. Donc il vient 4(p — a):f^^re:g. Appliquons ceci & la dioptrique et posons f'^g, c'est-à-dire CF « FE, ce qni est permis puisque la loi de la réfraction reste la marne au point F, quelle que soit la longueur de CF, On aura h{^ — z)=^rai ou A;r::«:j) — «, ou *:r::QP:FP, c'est-à-dire que les sinus des angles d'incidence QF et FP sont en raison inverse de r et A, densités des milieux d'incideooe et de réfraction. H faut comprendre la densité, non par rapport à nons, mais par rapport à la résistance qu'offre les milieux aux rayons lumineux. On a ûnsi )a démonstration du calcul donné par nous ailleurs dans les Âcta erviilontm, quand nous exposions le fondement général de l'optique, de la catoptrique et de la dioptrique. Des auteurs très savants ont cherché d'ans manière

trM indireota oe qu'noa {ienoiiM rwUo dana le nical diSJnntlel peot obtenir en trois lignes.

IX. GmttmetioH tU la tangentt à une etrtaùie courbe. Je montrerai la même chose lar on autre exemple. Soit 133 une courbe telle qoe la somme des six droites 34, 35, 36, 37, 38, 39 menées d'un point quelconque 3 de la courbe ait une •omme donnée y. Soit T145267S9 l'axe, 12 l'abaciBse, 23 l'ordonnée.

On demanda la tangente 3T. Je dis

qaelon8an.Ke«ta23,comme-M--*- + ^-.^ + g-g«tà

Un« règle analogue subsiste si l'on suppose dix on plus de points axes aa lieu de six. Dans les méthodes pour trouver l«8 tangentes publiées jusqu'à présent, il serait extrêmement ennnjeux et peut-être impossible de faire entrer dans les calculs des points de ce genre, si l'on doit faire disparaître les irrationnelles en égalant à une variable nonTelle tons les produits des binâmes on trinômes relatifs i «s droites. Daas notre méthode, pour tons ces cas et d'autres plus compliqués, la facilité est toujours la même, plus grande qu'on ne peut l'imaginer et vraiment remarquable.

X. Confusion. Proiléme de De Seaune. Tels sont les commencements seulement d'une certaine Géométrie beaucoup plut tuilinê, présentant des problèmes très difficiles et très beaux, même relatifs à la uathêmatiqoe mixte, problèmes qne personne n'essaiera sans témérité de traiter avec la même focilité qu'avec notre calcul on nn calcul semblable. Comme appendice, donnons ici la solution d'un problème proposé par de Beanne et que Descartes a essayé de résoudre sans 7 réussir (Tome 3 de ses lettres) : Trouver une ligne WW telle que la tangente étant WC, XC soit toujours égal à une constante. On a le rapport XW : XG on w : a égal & dw : dw. Donc ai dx (qui est arbitraire) est supposée constante, par exemple égale à (, ou si ■= AX croît d'une manière

proportionnelles à leurs difiérentiellea ou accroiBsements ito, c'est-à-dire

qne si les â? sont en progreMion arithmétique, lee w sont en progre«ion géométriqae, ou si les fv sont les nombres, les seront les logarithmes. La ligne W W est donc ane logarithmiqae(ll).

IL PHacipe» da calcal dés laxtoiM pmw I. NmwimmW* •••• Lbmhb. £e «KHMtfn/ éTnne qnaUiiU engendra est ifàl à la wmmi ia proiuUi des momnUi de chacun des eâUs générateurs par les eoefiânits H les eœposaais de ces ctfMr(l3).

J'appelle quantité engendrée tonte quantité qui est obtenue, sans addition ni soustraction, au moyen de côtés ou termes quelconques, en arithmétique, par multiplication, division et extraction de racines; en géométrie, par la recherche du contenu des figures ou de leurs côtés, des quatrièmes ou des moyennes proportionnelles. A cette catégorie de quantités appartiennent les produits, les quotients, les racines, les rectangles, les carrés, les cubes, les côtés élevés au carré, au cube, et autres expressions analogues. Je considère ici ces quantités comme indéterminées et variables, comme croissant ou décroissant par un mouvement ou flux perpétuel ; leurs accroissements on décroissements instantanés(14) «mt ce que j'appelle leurs moments. Les accroissements sont les moments positifs, les décroissements sont les moments négatifs. Il ne faut pis entendre parla des quantités finies. Les quantités finies [déterminées] ne sont pas des moments, mais les quantités engendrées par les moments(lS).

(11) Au fond, Leibniz détennine ici une fonction par une équation différentieUei sans faire d*intégration proprement dite. La différentiation explicite de la fonction exponentielle a été faite en 1697 par Jean Bernoulli.

(12) Traduction du second lemme du livre deuxième des Prindpeê (1697), faite sur la seconde édition qui ne diffère pas essentiellement de la première.

(18) Moment s= différentielle; quantité engendrée = quantité de la forme A"*B*0 ; A, B, C sont les côtés générateurs ; A a pour exposant m, pour coeflldent A"^^B"0; le produit de dk par m et A^-^B"^ est l'une des parties du moment de A"B"0; de même, les deux autres parties sont n X A-B'-'C X rfB et p.X A-B»0-» X dC' Le sens du théorème est donc d(A*B"C^) = stA-^'B-CrfA + nA-B^-'CiiB H- pA-B»0-«rfC.

(14) Voir note 8.

(15) Dans la première édition, au lien de ces mots : ParUeulae finitae ntm sufU mamenta sed quantitates ipsae ex momeniiê genitue, on trouve les suivants : Momenta, quamprimumJlnUae sunt magnitudinis desinutU esse momenta. Finiri enim répugnât aliquatenus perpetuo eorum tncremento veî decremento, plus obscurs encore. Il faut tout entendre d'après la remarque qui termine la note suivante. Nous croyons que Newton est obscur à dessein (Voir la note 18).

Ceux-ci aont les principes naissanta des qaaDtités finies ; car» dans ce lemme, il ne s*agit pas de la grandeur des monients, mais de lears rapports à rinstant où ils naissent. On peut aassi, à la place des moments, prendre les vitesses des accroissements ou des d&croissements (quantités que l'on peut appeler mouvements, variations ou fluxions des quantités)(l^» ou des quantités quelconques, proportionnelles à ces vitesses. Quant au coefficient d'un côté générateur quelconque, c'est la quantité qui, multipliée par ce côté, produit la quantité engendrée.

Le sens du lemme est donc le suivant : Si a, i, 0, etc., sont les moments des quantités croissantes ou décroissantes A,B,C, etc., ou les vitesses(n) avec lesquelles elles varient, le moment ou la variation du rectangle AB sera aB -t- SA ; celui du volume ABC sera aBC + SAC -^ cAB; les moments des puissances

8«roitt respectivement

2ttA, 3flA«, 4aA», |«A"^ \ak\ {ak*, |aA"*,— «A-»,— 2«A-»,— ^A~^

En général, le moment d'une puissance quelconque A** sera ~ aA ** • Celui de A'B sera 2aAB-i-SA>; celui de A«B«CS 3aA>B«C> + 4SA'B>C>

+ 2(jA»B*C; celui de ^ ou A»B-*, 8aA*B-« — 2JA»B-», et ainsi de

suite. On démontre ce lemme comme il suit.

Premier cas. Le rectangle AB variable, dans le cas où les côtés sont diminués des demi-moments |a, |S, devient le produit de A — {a

(16) Aii^jourd'hui les dérivées. Newton, dans le Seholium qui termine la première section du livre premier des Principes^ dit qu^il faut entendre, dans le sens de la théorie des limites, tout ce qu'il expose ultérieurement en parlant de quantités naissantes, d'infiniment petits, etc. Voici ses propres paroles : « Igitur in sequentibus, si quando facili rerum conceptui consulens, dixero quantitas quam minimas, Tel evanescentes, vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitndine determinatas, sed cogita semper diminuendas sine limite, n (Éd. d'Amsterdam, 1714, p. 84).

(Il) Ailleurs, Newton désigne la vitesse d'accroissement d'une quantité A, par la lettre A surmontée d*un point. Leibniz a toi^ours maintenu, avec raison, que sa notation des différentieUes vaut mieux que celle de Newton par les fluxions. Newton, dit-il : « se sert d'autres caractères; mais comme la caractéristique même [la notation] est, pour ainsi dire, une grande partie de l'art d'inventer, Je crois que les nôtres donnent plus d'ouvertuxe.((7M«.ifaM.,t.Y.,p.8Û7;Dtttens,t.III,p.801).«

ié

^ 2id —

par B — {if ou AB — {oB — {tk-^^àb; quand les cAtés sont augmentés des demi-moments ^ a, | (, il devient AB -^{oB -^ {bA-^-^àb. De oe dernier rectangle, soustrayez le premier et il restera àB -i- iA. Donc les accroissements totaux a et $ donnent naissance à Taocroissementdu rectangle aB -^ bk; ce qu'il fallait démontrer (18).

Deuxième cas. Posons AB = G; d*après le premier cas, le moment da ▼olume ABC ou de GO sera gG •+- cO^ c'est-à-dire (en remplaçant G par AB, g par àB •+- bk), aBG -«- bkC + cAB. Le raisonnement est le même pour un produit d'autant de facteurs que l'on veut. G. Q. F. D.

Troiiièfne cas. Soient A = BBaG; le moment de* A% c'est-àrdire de AB, sera àB -^ bk ou 2ak ; celui de A' ou ABC sera aBC + iAC -«-

(18) Newton remplace ici, sans explication suffisante, la différentielle d{kB) par l'accroisaement A[(A ^| AA) (B — | âB)]. C'est un grave défaut de son exposition. U semble que l'illustre géomètre, sur ce point fondamental, ait toi:gour8 essayé de ne livrer sa pensée qu'& moitié, au lieu de la dévoiler toute entière. Dans son premier travail sur l'Analyse infinitésimale, écrit en 1669, mais publié seulement en 1711, savoir Tiifsa/y^ per Aequationes numéro terminorum i^finitas, une seule fois (Opuseula, I, p. 26, lignes 1 et 8 ; Comm. epist,, p. 73, lignes 16, 17, 28), il indique d'une manière fugitive, pourquoi il a le droit d'employer une égalité approximative f-^-dpssa V{iD 4- Aiv), au lieu de l'égalité rigoureuse |r + Ay = V{à + Aâ?), pour différentier p = Vm. Dans son Tractatus de Quadraiura Curvarum (publié en 1704), il est assez clair dans l'Introduction, surtout dans la recherche de la dérivée de (^(Opusc, p. 206), mais dans l'ouvrage lui-même, il remplace partout les accroia* sements par les différentielles. Enfin, il procède de même dans son livre le pins considérable sur les nouveaux calculs, savoir la Methodus Fluxiomm et Serierum it^initarum cum ejuedem appîicatione ad curvarum geometriam, écrit peut-être dès 1671, mais publié seulement en 1736, en Anglais, par Colson (Voir, en particulier, p. 59-60 dans l'édition de Castillon). Le passage où il s'est exprimé le plus clairement sur son procédé, est le suivant emprunté à sa Beeensio anonyme du Commercium BpUtolicum où il dit en parlant de lui-même : « Cum autem Propositionem aliquam demonstrat (Newtonus), literam o adhibet proflnito Momento temporis vel ejus exponentis, aut ct^usvis quantitatis uniformitei* fluentis; totamque calculationem absolvit per Geometriam veterum in finitis figuris sive schématibus sine ulla approximations ; et cum primum calculatio peracta est, et aequatio reducta, supponit momentum ù decrescere in injiniium atque evanescere. Cum vero non demonstrat, sed solum investigat Propositionem, quo citius rem conficiat, supponit momentum o esse infinité parvum, et in scribendo illud negligit, omnibusque approximationum modis utitur, quos nullum in conclusione errorem parituros autumat (Commercium epistolieumf p. 14) » Il est regrettable qu*il ne se soit pas exprimé aussi clairement dans sa MétXode des Fluwiont.

ekB on SaÂ.*. Pour la mdme raison, le moment de la pniMancé Ar est HaA«-«. C. Q. P. D.

Quatriime cas. Puisque j multiplié par A égale Tunité, le moment de j- multiplié par A, plus -j- multiplié par a est égal au moment de 1 on zéro. Donc le moment de -r ou A""' est -j^- • En général, puisque — multiplié par A* égale Tunitéi le moment de -- multiplié par A" plus t- multiplié par naA"**' est nul. Par suite, le moment

1 fUl m

de -r- ou A-* sera — i-rr- C. Q. P. D.

(Hn^UfHê cas. Puisque A^ multiplié par A* est égal à A, le moment 1 1

de A* multiplié par 2A' sera égal à a, d*après le troisième cas ; dono

le moment de A* sera — ^ ou ^aA *. En général, si Ton pose

A" = B, on aura A* == B" et, par suite, «taA*-* = hbB*-* et nuiAr* =

1IÎB-* ou hîA" ". Donc — aA » ■=»&, c'est*à-dire, le moment de A*.

SiwUme coi. Par conséquent, le moment d'une quantité A"'B" quel* conque est égal au moment de A"* multiplié par B" plus le moment de B* multiplié par A"», c'est-à-dire »wA'»"""B" + «ÎB"*"*A" et cela que les indices im, n soient entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs. Et il en est de même dans le cas du produit de plus de deux puissances.

Corollaire 1. De là résulte que dans les proportions continues, si un terme est donné, les moments des autres seront entre eux comme les termes multipliés par le nombre des intervalles qui les séparent du terme donné. Ainsi, si A, B, 0, D, E, P sont en proportion continue et si le terme C est donné, les moments des autres termes seront entre eux comme — 2A, — B, D, 2E, 3P(i9).

(19) On peut écrire, en effet, la progresBion ou proportion continue CQ"^, CQ'S C, CQ, C<y, CQ«. Ces quantités ont pour moments — 2gCQ-», — îCCr*, 0, qC, 2^C, ^C<^ égaux, au facteur {g : Q) près, à — 2CQ~% — CQ~S 0, CQ, 2C<y, 8CQ".

— ài2 —

Cancllair$ 2, Si, de qaatre quantités proportionnelleB, on donna dettx moyens, les moments des extrêmes sont entre eux oomme oes extrêmes. Il en est de même des moments des facteors d'an produit constant (^).

Corollaire 3. Si la somme on la différence de deux carrés est donnée» les moments des côtés seront réoiproqnement comme les côtés (^1).

Rbm\rqub. Dans des lettres échangées il j a une dizaine d'années [l&Jd-lQTT] avec le très habile géomètre G. G. Leibniz, je loi ai fait savoir que j*étais en possession d*Qne méthode pour déterminer les maxima et les minima, mener les tangentes et traiter les autres questions semblables» méthode qui servait aussi bien dans le cas des racines que dans celui des eipressions rationnelles; je lui cachais cette méthode dans la phrase suivante écrite en lettres transposées : Étant donnée une équa* tion contenant un nombre quelconque de quantités variables ou JlumUes, trouver leurs fluxions et inversement. Cet homme illustre me répondit qu'il était aussi tombé sur une méthode analogue et il me communiqua cette méthode qui s'écarte à peine de la mienne, sauf dans les termes et les notations (^. Le fondement des deux méthodes est contenu danA le lemme précédent(^).