CHAPITRE IIL iNDÉFINlMfiNT PETITS. iNFINlMEirr PETITS ET PSBCDO

INFIMIMENT PETITS.

%9t . DtlfinUions. I. Un infiniment petite comme on l'a vu, est une quantité variable qui a pour limite zéro (45) ; ou encorci en évitant de se

(20) Au signe près : si AB = c% on a aB + ^AssO on a:b=:A:^B,

(21) De A* db B' = constante, on déduit 2aA d= 2dB = ou a:6 = B:qpA. (S2) Dans la seconde édition des Principeê (1*718), Newton ijoute ici : et idea

çensrationis quantitatum, c'est-à-dire que, selon lai, les deux méthodes diffèrent aussi par la manière dont on conçoit, dans l'ane et l'autre, la génération des quan* lités. Newton regarde les variables comme engendrées d'une manière continue, dans le sens vulgaire de ce mot; Leibniz, comme étant la somme de leurs accroissements successifs. Cauchy a prouvé l'équivalence des deuiE manières de voir. (Voir n? 92). (28) Dans la première et la deuxième édition des Principes^ Newton reconnaît, comme on le voit, que Leibniz a trouvé, tout comme lui, le calcul différentiel. Dans la troisième édition (1*726), àcaase de la triste querelle que l'on parvint à susciter entre lui et Leibniz, il a eu la faiblesse de remplacer ce Sekolium célèbre par un autre, où il n'est plus fait mention de son illustre émule. Leibniz, à la fin, fut injuste aussi pour Newton ; mais auparavant, il avait reconnu lee droits de celui-ci à rinvention du calcul différentiel.

serrir du moi limite, and qaantité variable qui pent DBWNia et rbbtbe inférieure à une quantité donnée axLasl petite qu*on le veut, tandis qu'une ou plusieurs variables dont dépend la première tendent vers des valeurs inaccessibles. La notion d'infiniment petit, ainsi définie, ne présente rien de plus mystérieux ou de plus incompréhensible que celle de limite. Le nom seul prête à Terreur et aurait du être remplacé par celui àHndéJIni^ fMnt petU (46). Pour éviter toute ambiguïté, nous emploierons ce dernier terme dans ce chapitre. Newton se servait, dans le même sens, du mot évanauisiafU.

La vraie méthode infiniUrimàle ou mJôhoie des indéj/ttUmeiU pUiU consiste à ramener les questions de mathématiques à la recherche de limites de sommes ou de rapports d'indéfiniment petits (56)* Cette méthode est souvent très expéditive, grâce au principe de iubetUwtion dee indéjlnimeni peiiU, savoir : Dam lee limites de sommes arithmétiques ou de rapports d^indéJfUment petits, on peut remplacer chacun d'eux par un autre dont le rapport r au premier ait pour limite F unité (51). La démonstration de ce principe suppose que les rapports r aient pour limite l'unité, même si l'on tsii varier simultanément toutes les variables dont r dépend (Voir n« 311.312).

n. On a aussi employé le nom àHt^/lniment petit (on, s'il s'agit de grandeurs concrètes, le terme synonyme dHndimsible) dans le sens littéral, pour désigner une quantité qui est (et non qui peut devenir et rester) inférieure à toute quantité donnée, quelque petite qu'elle soit.

Il est clair, d'après la définition précédente, qu'tf n'p pas de différence entre un infiniment petit pris à la lettre et une quantité nulle. Le calcul infinitésimal, dans cette manière de voir, est un calcul sur des léros, mais sur des zéros qui gardent la tface de leur origine^ si l'on peut ainsi parler. Il existe, en effet, entre ces zéros des rapports eomoentionnéls que Pon peut définir comme il suit : si a, |3 sont des infiniments petits (nuls), limites des quantités variables A, B, la limite r du rapport (A : B), est, par définition, ce que l'on appelle le rapport (a : /3) et l'on écrit a s=s r^. De même, on appelle somme d'un nombre infini d'infiniment petits (nuls) «1» atf «s» etc., la limite de la somme des quantités variables A|, A|, Ai, etc., en nombre indéfiniment croissant, dont ai, at> a») etc., sont les limites nulles.

Le principe de la méthode des infiniment petits (nuls) est un postulat qui peut se mettre sous la forme suivante : On peut remplacer un infinie uuiU petit {nul) par un autre dont le rapport au premier est égal à l'unité.

- ÎU-

QaaiKt <m axpoM atm ppéciaion, oomma nous Tenons de le &in, U seos des termes emp]o7é8 dans la méthode des iDflniment petits (nuls), on Toit qu'elle ne diflbre pai, aa fond, de la méthode de§ indéfloiment petits, pourra que l'on restreigne le postulat aux sommes arithmétiques et aux rapports d'infiniment petits (nuls), seules expressions pour lesquelles on le démontre d'une manière générale.

m. Certains géomètres ont donné un autre sens encore au mot injhmtnt ptHt. D'après eux, il existe ia fuantilei iifféreniti ie téro tt jiri tant eepmdaiU inférintra à U»Ue grandeur att^naiU. Nous désignorons les infiniment petits entendas ainsi sons le nom de pstudo-ùijlniment petit*, pour tes diàtingner des indé/ttUnuut petiti et des infinimnt petits nuls et pour rappeler, en même temps, la contradiction évidente que contient leur définition. D'après les géomètres qui ont employé cas soi-disant quantités, l'analyse infinitésimale repose sur la proposition suivante : Dans las calculs, on peut nmplMer mu q%anlM par ww OMtn qui m d^^t d'à* pMtdo-infifUmâiU petit. Heureusement, en pratique, la plupart ont oonfondn les pseudo-infiniment petits, tantôt avec les indéfiniment petits, quand ils les soumettent au calcul, comme des quantités finies, tantôt avec les infiniment petits nuls, quand ils les traitent comme des quantités plus petites que toute quantité assignable.

IV. L'emploi du terme infiiâmeiit peHt dans trois sens différents (indéfiniment petits, zéros gardant la trsoe de leur origine, pseudo-infiniment petits) n'a pas peu contribué & obscurcir les écrits des géomètres. Au XVII* et au XVIII* siècle, comme nous allons le montrer par quelques citations caractéristiques, Kepler, Cavalieri, Watlis, au fond, semblent employer les infiniment petits nuls, mais sous une forme vague ; Euler en donne systématiquement la théorie; Jean Bemoulli, l'Hospital et Poisson, paraissent être les seuls géomètres dignes de ce nom qui croient & l'existence des pseudo-infiniment petits; Fermât, Roberval, Pascal, "TVton, Leibniz se servent de la méthode des indéfiniment petits, mais iploient souvent le langage abrégé de la méthode des infiniment petits Is, et peut-être même des psendo-infiniment petits. Â.U XIX* siècle, pois Cauchy, la méthode des indéfiniment petits est à peu près seule iployée dans l'exposé scientifique du calcul infinitésimal} la méthode s infiniment petits nuls, avec son langage conventioonel à peine plus urt, est tombée en discrédit, parw qu'il est impossible d'en démontrer ^ourensement les règles, sans les faire précéder des règles équivalentes

et pins claires de la méthode des indAflniment petiiSi comme Pavaiehi fait Leibniz et Newton, il y a deux siècles.

9M. HiitmqHé. I. Ebplbb, dans la A'ofaW#r0O«is^rfeiIoZf0fiim (1615), a, le premier probablement, introduit dans la géométrie la notion ?ague des infiniment petits en regardant le cercle comme composé d*ane infinité de triangles ayant les parties indivisibles de la circonférence pour bases et le centre pour sommet commun. La sphère est, de même, la sonime d*une infinité de pyramides. Kepler décompose d'autres solides d*une manière analogue. Voici ses paroles sur le cercle : c Girculi drcumferentia partes habet totidem, quot puncta, puta inûnitas; quarum quaelibet consideratur ut basis aliciûus trianguli aequicruri, cruribus AB (se. radias) : uti ita triangula in area circuli insint infinita, omnia yerticibus in centro coeuntia (Opem ommei, iy> pp. 557-558). » Pour la sphère, il dit (Ib. p. 563) : € Corpus sphaerae •••. potestate in se continet infinités veluti conos, yerticibus in centro sphaerae coeuntes, basibus, quarum yioem sustinent puncta, in superficie stantibus* » Dans le même ouyrage (p. 634), il obserye qu'aux enyirons du maximum d'une grandeur yariable, il y a une variation insensible de cette grandeur.

Évidemment, il y a loin de là à une vraie théorie des maxima et des minima ou à une doctrine systématique sur les infiniment petits. Mais la méthode hardie de Kepler fit une impression profonde sur ses contemporains. GuLDiN, tout en critiquant les démonstrations de Kepler, exprime bien la fascination qu*elles exerçaient sur lui dans les paroles suivantes : c Quemadmodum^ disputante S. Paulo coram rege Agrippa, hic exdamaverit et dixerit Paulo : in modico me iuadêi chmtianum ft$n, sic et mihi disputans Keplerus in modico persuadet, ut Keplerianus fiam, nisi me absterreret infinitorum istorum tractatio et purioris geometriae principes, auctores et sectatoi:es {KepL Opp*t IV, p. 648, note 9). »

Il importe de remarquer les expressions dont se sert Kepler en parlant de la sphère : c Le volume de la sphère contient virêuellemeiU (potestate) comme (veluti) une infinité de cônes. » N*entrevoit-il pas les objections que Ton peut faire contre son procédé trop sommaire ?

IL Oavalieri, qui a lu la Nota it&reameiria de Kepler et la cite dans la préface de son livre, avec les écrits d'Euolide et d'Archimède, est, à proprement parler, l'auteur de la Méthode des indivisiblei. Cette méthode consiste essentiellement à déduire le rapport des aires de deux figures planes (ou des volumes de deux solides) de la considération des rapports

dé ionteii les droites parallèles à une droite (oa de toutes les seetioBS planes parallèies à on plan) de direction donnée, comicb si une aire était une somme de longueurs (ou un volume une somme d'aires).

Nous disons commb si, pour traduire exactement la pensée de Cayalieri telle qu*il Ta exprimée dans la préface de son livre et ailleurs, c Quoad continui compositionem, dit-il, manifestum est ex prâeostensiSy ad ipmm 9» indimibilibui eompoundum nos mininie oogi : solum enim continua sequi indivisibilium proportionem et e converse, probare intentum fuit; quod quidem cum utraque positione stare potest. Tandem vero dieta indivisibilium aggregata non ita pertraotavimus, ut inflnitatis rationem propter infinitas lineas seu plana subire videntur, sed quaienus flnitatis quandam conditionem et naluram sortiuntur, ut propterea et augeri et diminui possint, ut ibidem ostensum fuit, si ipsa prout diffinita sunt accipiantur (p. 483 de Téd. de 1653). » Au reste. Cavalier! trouvait lui« même des difficultés dans cette méthode, comme il le dit aussi dans la Préface; il j parle de la considération de ce nombre innammatU de parties qu'il considère dans les aires et les volumes comme d'un artiflce semblable à celui des algébristes faisant des calculs sur les nombres incommensurables. < Non aliter ipse ergo indivisibilium sive linearum, sive planornm congerie, licet quoad eorumdem numerum innominabili, surda ao ignota, quoad magnitudinem tamen conspicuis limitibos dausa, ad oontinuorum investigandam mensuram usus snm. » Pour prévenir les objections naissant de ces difficultés, il consacre le livre Vn de son ouvrage à démontrer autrement les résultats obtenus par la méthode des indivisibles, tout en disant que c'eât été un crime de ne pas communiquer oelle-ci aux géomètres.

m. RoBKRVAL, dans son Traité des Itulivisiblei, composé peu après oelni de Gavalieri (Ouvragée de maM^Mj««, La Haye, 1731, pp. 205-290) entend par là, des grandeurs aussi petites que Ton veut, et ayant pour limite zéro ; les indivisibles sont de même espèce que les grandeurs dont elles sont les éléments, quoique dans le langage on paraisse dire le oontraire, c Pour tirer des conclusions par le moyen des indivisibles, il £aat supposer que toute ligne, soit droite, soit courbe, se peut diviser en une infinité de parties ou petites lignes toutes égales entre elles, ou qui suivent telle progression que Ton voudra... Or, d'autant que toute ligne se termine par des points au Ueu de lignes on se servira de points ; et puis, au lieu de dire ^ue toutes les petites lignes sont & telle chose en certaine

raifiOBy on dira que tons oea points sont à telle chose en ladite raison (p. 208) »• « La superficie se divise aussi en nne infinité de petites superficies, lesquelles sont égales, ou ont égale différence, ou gardent entre elles quelqu'autre progression... Et d*autant que les superficies sont enfermées dans les lignes, au lieu de comparer les superficies, on comparera les lignes à une autre chose. .. De même, les solides se divisent en nne infinité de petits solides ou égaux, ou qui gardent quelque proportion, comme il a été dit des surfaces; et d'autant que les solides sont terminés par des surfaces, au lieu de dire que ces petits solides sont au grand solide pris autant de fois, je dis, l'infinité des surfaces sont à la plus grande prise autant de fois.... Par tout ce discours, on peut comprendre que la muUUude in/lme de points te prend pour une infinité de petUee lignes et compose la ligne entière. LHf^finUé de lignes représente Vin finité des petites superjteies qui composent la superficie totale. LHnJlnité de superficies r^ésente Vi^finité de petits solides qui composent ensemble le solide total (p. 209). >

Il est impossible, comme on le voit, d'expliquer plus clairement le langage conventionnel employé dans la méthode des indivisibles.

Roberval s'occupe aussi de la légitimité du procédé de sommation qu'il emploie, parce qu'en apparence, il néglige certaines quantités dans ses calculs. li fait observer, à propos d'un cas simple, traité dans son introduction, que ce qu'il trouve en trop est aussi petit que Ton veut et il conclut : « Puisqu'on voit que Texcès diminue toujours, il s'anéantira enfin dans la division indéfinie (p. 208). »

IV. Pascal a aussi beaucoup employé la méthode des indivisibles, et, comme plusieurs géomètres du temps, il a expliqué clairement pourquoi elle est rigoureuse. Voici à ce sujet, un extrait caractéristique de sa lettre à M. Carcavi (10 déc. 1659) : c J'ai voulu faire cet avertissement, pour montrer que tout ce qui est démontré par les véritables règles des indivisibles, se démontrera aussi à la rigueur et à la manière des anciens; et qu'ainsi l'une des méthodes ne diffère de l'autre qu'en la manière de parler : ce qui ne peut blesser les personnes raisonnables quand on les a une fois averties de ce qu'on entend par là. Et c'est pourquoi je ne ferai aucune difficulté, dans la suite, d'user du langage des indivisibles, la somme des lignes ou la somme des plans; et ainsi, quand je considérerai, par exemple, le diamètre d'un demi-cercle divisé en un nombre indéfini de parties égales aux points Z, d'où soient menées les

ordoiuiéefl ZM, je ne ferai aactme diAcalié d*iuer de cette expression, là gamme iss arionnéeSy qui semble ne pas être géométriqoe à oenz qni n*entendent pas la doctrine des indivisibles et qoi s'imaginent qne c'est pécher contre la géométrie qne d'exprimer an plan par un nombre indéfini de lignes; ce qoi ne vient qne de leur manqne d'intelligence, poisqu'on n'entend autre chose par là sinon la somme d'un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre, dont la somme est certainement un plan, qui ne diffère de l'espace d'un demi-cercle que d'une quantité moindre qu'aucune ûotl" née... {Œuvres^ édit Hachette, 1858, t. Il, p. 544).» A la page préoédente, après avoir fait une substitution d'infiniment petits, il dit : c Ce qui ne change rien, puisque la somme des portions substituées ne diffère de la somme des véritables que d'une quantité moindre qu'aucune donnée. »

y. Wallis, dans son Arithmetiea Infinitarum^ traduit en calcul la méthode des indivisibles de Cavalieri, mais sans rien y ajouter au point de vue de la rigueur; sous ce rapport, il est inférieur aux précédents. € Il composa ce traité, dit Maclaurin, comme il nous l'apprend, avant qu'il eût lu les écrits d'Archimède et il propose ses théorèmes sous une forme moins exacte. Il suppose ces progressions continuées jusqu'à l'infini et il cherche, par une espèce d'induction,- la proportion de la

somme des puissances [0* + 1* + 2* -| 1- «*] au produit [(« -f- 1) a*]

qui résulte, en prenant la plus grande puissance aussi souvent qu'il j a de termes (Traité des Fluxions, éd. franc., t. I, p. XLIX). » Cependant, malgré les inexactitudes de langage de Wallis (il emploie, par exemple,

le signe ^ pour désigner une partie infiniment petite d'un angle ; voir

p. 367 du tome I des Opéra Mathematica^ 1695), ça et là, il indique la raison pour laquelle il peut négliger certaines quantités vis-à-vis d'autres. Ainsi, dans la proposition XX, il trouve que le rapport de 14-4 + ^ +

...+^« à (n + 1)»' est ô+^» puis il dit: € Cum autem cresoente

numéro terminorum, excessus ille supra subtriplum ita continue minuatur, ut tandem quolibet assignabili minor évadât (ut patet;) si in inflnitum procedatur prorsus evaniturus est. >

YI. Fermât a employé plus d'une fois le langage conventionnel de la méthode des indivisibles, mais il a eu soin de faire remarquer, comme plui tard Roberval et Pascal, que les erreurs commises en apparence sont nulles en réalité, parce que, si elles existaient, on pourrait

cdrtainement les fendre moindres qne tonte quantité donnée. Dans sa théorie des maxima et des minima, il a même imaginé un terme pour dire que deux quantités sont égales à un indéfiniment petit près, négligeable dans la question traitée: < Id compare primo solide A' in B — A', tanquam essent aequalia, lioet reyerà aequalia non sint et hujusmodi oomparationem Yocayi aiaequàlikUem ( Varia ap$ra. p. 66). >

Dans son écrit si remarquable sur la quadrature des courbes, il indique d'ailleurs en quelques mots, mais avec précision, pourquoi, dans une limite de sommes d'indéfiniment petits considérée par lui, il néglige certains petits parallélogrammes et, à ce propos, il ajoute ces mots : ArcMmedaed prolùnare demomêraiione faciUime Jlrmandum (Ib. p. 46). Dans une lettre célèbre à Qassendi (Ib. p. 201-204), il a donné un exemple de ces démonstrations à la manière d*Archimède.

YII. Newton, comme nous rayons dit (p. 209, note 16; 210, note 18) a maintes fois employé le langage des infiniment petits, et probablement il Ta fait à dessein pour ne pas déyoiler complètement le secret de ses découyertes. Db Morgan {On the Barly HUiory qf InfinUeitmala in Snglani, Phil. Mag., 1852, t. XLI, pp. 321-380), égaré par cette obscurité calculée, a cru pouyoir démontrer que Newton ne s*était oonyerti à la méthode des limites et n'ayait rejeté les indiyisibles qu'entre 1693 et 1704. Mais cet historien n'a pas tenu compte d'un passage (indiqué plus haut, p. 210, note 18) du premier écrit de Newton, de ses lettres de 1676 à Leibniz et surtout des paroles si précises qui terminent la première section des Principes (yoir p. 209, note 16).

Dans cette section des Principes^ Newton expose ayec rigueur les principes généraux relatifs aux limites de sommes et de rapports d'indéfiniment petits, c'est-à-dire les principes de la vrai$ méthode infinitésimale. Qrâce à ces principes, ses démonstrations sont aussi rigoureuses que les démonstrations compliquées des anciens, aussi simples et aussi rapides que les démonstrations insuffisantes de ceux qui emploient les indiyisibles. Voici les paroles de Newton : € Praemisi yero haec Lemmata, ut effugerem taedium deduoendi perplexas demonstrationes, more yeterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum Indiyisibilium. Sed quoniam durior est Indiyisibilium hypothesis, et propterea methodus illa minus Geometrica censetur; malui demonstrationes reram sequentium ad ultimas quantitatum eyanescentium summas et rationes, primasque nascentium, id est ad summarum et rationum deducere^ et propterea limitum illorum

demoEBtrationes qaa pottii breyitate pradmittere. Hia enim idem praartatar quod per meihodam Indiyisibiliam ; et prinoipiis demonstratis jam tutias utemur. Proinde in sequentibusi si quando quantitatea tanquam ex particalis oonstantes considerayeroi vel si pro rectia asarpayero lineolas curvas; nolim indivisibilia, sed eyanesoeiitia diyisibilia, non summas et rationes partium determinatarum, sed sammaram et rationam limitea semper intelligi; yimqae taliam demonstrationum ad methodam praecedentium Lemmatam semper reyooari. »

YIII. Leibniz. Il existe relatiyement à Leibniz une tradition inexaote d*après laquelle il aurait admis Texistence des pseudo-inflntment petits. A ffioriy cela semble bien peu probable, puisque Leibniz a appris les quadratures sous la direction de Huygens, dans les écrits de oelai-ei, de Grégoire de Saint Vincent et de Pascal, c'est-à-dire d*auteurs qui se seryaient de la méthode des Anciens, ou de celle des indiyisiblesi mise sous une forme rigoureuse.

En réalité, Leibniz a employé, comme la plupart de ses contemporains, le langage conyentionnel de la méthode des indivisibles, mais en Tinterprétant dans le sens de la méthode des indéfiniment petits. Quelques citations caractéristiques suffiront pour le prouyer(yoir aussi p. 204, note 9).

Dans le discours préliminaire de la Théoitùiôf au n® 70, on trouye les paroles suivantes. (Opéra pMlosophiea, éd. Erdmann, 1840, p. 409, col. 1): c On s'embarrasse de même dans les séries des nombres, qui yont à Tinfini. On conçoit un dernier terme, un nombre infini, ou un infiniment petit; mais tout cela ne sont que des fictions. Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l'est de même et les infinis ou infiniment petits n'j signifient que des grandeurs qu'on peut prendre aussi grandes ou aussi petites que l'on youdra, pour montrer qu'une erreur est moindre que celle qu'on a assignée, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune erreur : ou bien on entend par rinfiniment petit l'état de réyanouissement ou du commencement d'une grandeur, conçus à l'imitation des grandeurs déjà formées. »

On retrouve la même doctrine dans un grand nombre d'autres passages des écrits de Leibniz, par exemple, dans celui-ci, extrait d'une lettre à M. Dangicourt du 11 septembre 1716 (Leibniz est mort deux mois après, le 14 novembre 1716) : < Je leur (à divers partisans des pseudo-infiniment petits) témoignai que je ne croyais point qu'il y eût des grandeurs véritablement infinies ni véritablement infinitésimales, que ce n'était que des fictions, mais des fictions utiles pour abréger et pour parler universelle^ ment.... Plus on faisait la proportion ou l'intervaUe grand entre cas

degrië, plus on approchait de rexactitade, et plus on ponyait rendre l'erreor petite et même la retrancher tout d*un coup par la Action d*un interyalle infini, qui pouvait toujours être réalisée à la façon de démontrer d'Archimède. Mais comme M. le Marquis de THospItal croyait que par là je trahissais la cause, ils me prièrent de n'en rien dire {Œuvres, édition Dutens, III, p. 500). >

On a Yu plus haut (n''289,I,et note4)que Leibniz définit la difierentielle d'une fonction y de 0, absolument comme Cauehy VaJaU plus tari, eu posant dj = y'dx, dx étant quelconque. Voici une note caractéristique de lui sur ce point, où il fait observer que, sur la figure que nous avons reproduite à la page 201, da est représenté par une grandeur finie. En même temps, il donne une interprétation géométrique des différentielles d'ordre supérieur: cUnum adhuc addere placet,ut omnis de realitate diflerentiarum cujuscumque gradus tollatur disputatio; posse eas semper exprimi rectis ordinariis proportionalibus. Nempe sit linea quaecumquei cujus ordinatae crescunt, vel decrescunt; poterunt ad eumdem axem in iisdem punctis applicari ordinatae secundae ad novam lineam terminataoi proportionales diflerentiis primi gradus, seu démentis ordinatarum lineàe primae. Quod si jam idem fiât pro secundis ordinatis, quod factum est pro primis, habebuntur ordinatae ad lineam tertiam, proportionales primarum ordinatarum dijSerentio-difTerentialibus, seu difFerentiis secundis; seu, quod idem est, secundarum ordinatarum differentiis primis. Et eodem modo etiam difierentiae tertiae, et aliae quaecumque per quantitates assi* gnabiles exponi possunt. Modum autem difFerentiis primi gradus proportionales exhibendi rectas ordinarias jam tum expliqui, cùm primum hujus calculi elementa traderem in Actis octobris 1684. Nempe inspiciatur ibi Tabula 6. fig 29, reperietur dw, elementum abscissae AX vel a, repraeseniafi per reetam assignabUem in figura separatim positam, et deinde dff, elementum ordinatae XY seu y, repraesentari per reetam quae sit ad dictam dw jam assignatam, ut XY ordinata, est ad XD interoeptam in axe inter tangentem et ordinatam (Dutens, III, pp. 382-333; Gerhardt, V, p. 327. Extrait des Acta Bruditorum de 1695). >

Mais, si Leibniz savait parler au besoin, aussi bien que Newton, le langage rigoureux de la méthode des indéfiniment petits, il ne voulait pas néanmoins que l'on fût trop scrupuleux, même sur le fond des doctrines : « Ego quidem fateor magni me eorum diligentiam facere, qui accurate omnia ad prima principia usque demonstrare contendunt, et in talibus

qnoqae studinm non raro posaisse ; non tamen snadere, ut nimia scrapiilositate arti inveniendi obex ponatnri aat tali praeteztu optime inyenta rejiciamus, nosque ipsos eoram fructu privemus (Datons, m, p. 328 ; Gerhardt, V, 322) »

IX» Jban Bernoulli a ou ayoc Loibniz uno longuo controyone sur rexistonco do quantités infinitésimalo8| différentes de zéro et pourtant inférieures à toute grandeur donnée, autrement dit des pseudo-infiniment petits (Voir L&ibniiii $t Johannis BemouUii ComTnerciumphilotophieum ei mathematicum^ Lausannae et Geneyae, 1745; tome I, pp. 370-440, ou le yolume correspondant de Tédition de Gerhardt). Voici le résumé de la pensée de J. Bernoulli : € Dico... inânita et inânita parya non posse demonstrari existere, sed etiam non posse demonstrari non existere; probabile tamen esse existere (Page 402). »

X. De l*Ho8pital (1667-1704) publia, en 1696, le premier traité didactique de Calcul différentiel, sous le titre : Analffse des injtnment petits pour semir à VinUlligenu des ligner courbes. Ce liyre, réimprimé plusieurs fois (1715, 1768, 1780; traduction anglaise, 1730; traduction latine à Vienne, 1764, 1790) deyint, au XVIIP siècle, le manuel de tous ceux qui s'occupaient de mathématiques supérieures, et il a contribué plus qu'aucun autre à répandre des idées yagues sur le calcul différentiel. De THospital est élèye de Jean Bernoulli et il semble qu'il ait adopté les idées de son maître, sur Texistence des pseudo-infiniment petits, d'après les deux postulats sur lesquels il fonde son Traité. Ces deux postulats sont les suiyants : 1® € On demande qu'on puisse prendre indifféremment l'une pour l'autre deux quantités qai ne diffèrent entre elles que d'ane quantité infiniment petite. » 2° < On demande qu'une ligne courbe puisse être considérée comme l'assemblage d'une infinité de lignes droites, chacune infiniment petite : ou (ce qui est la même chose) comme un polygone d'un nombre infini de côtés, chacun infiniment petit; lesquels déterminent par les angles qu'ils font entre eux, la courbure de la ligne (Pages 2, 3 de l'édition de 1715). »

On obseryera ici que les infiniment petits de l'Hospital et de Bernoulli ne sont définis nulle part; le sens raisonnable que Ton peut donner aux deux principes n'est pas indiqué; ensuite, ces principes ne sont pas démontrés f quoiqu'ils puissent l'être, dans les cas où l'auteur les emploie, mais pour le second, cela n'est pas aussi facile qu'il le pense : c Les deax demandes ou suppositions que j'ai faites au commencement de ce traité

et sur lesquelles seules il est appuyé, me paraissent si évidentes, que je ne crois pas qu*elles puissent laisser aucun doute dans l'esprit des lecteurs attentifs. Je les aurais même pu démontrer facilement à la manière des anciens (Préface, p. XV). >

XI. Maclaurin. Le Traité des Jltmons àeMHcleLXknii, publié en 1742, est aussi rigoureux que le livre de THospital Test peu; il contient d'ailleurs des recherches originales de Fauteur sur diverses questions difficiles. Mais la majeure partie de cet excellent ouvrage a une forme géométrique qui en rend la lecture laborieuse. On préféra donc aux démonstrations exactes de Maclaurin, la clarté superficielle de celles de THospital dans son Analyse des infiniment petits.

XII. EuLBR, dans ses Institutiones càlculi diferentiàlis (1755) et dans aeslnstitutiones calculi integralis (1768-70), donna un exposé systématique, assez prolixe, mais suffisamment rigoureux, du calcul infinitésimal, fondé sur la théorie des infiniment petits nuls. Gomme l'idée fondamentale de cette méthode du célèbre géomètre de Baie est exposée plus haut (291, II), nous nous contenterons de citer le passage suivant du premier de ces ouvrages (Édition de Zurich de 1787, p. 63, n"* 84) : < Si quantitas tam fuerit parva, ut omni quantitate assignabili fit minor, ea certe non poteret non esse nulla, namque nisi esset = 0, quantitas assignari posset ipsi aequalis, quod est contra hypothesin. Quaerenti ergo, quid sit quantitas infinito parva in Mathesi, respondemus eam esse rêvera = 0; neque ergo in hac idea tanta njysteria latent, quanta vulgo putantur, et quae pluribus calculum infinité parvorum admodum suspectum reddiderunt. Intérim tamen dubia, si quae supererunt, in sequentibus, ubi hune calculum sumus tradituri, funditus toUentur. >

^III. Poisson, Caught, Duhamel, Navier, Gournot. Poisson, au n^ 12 de sa Mécanique (2« édition, 1833; première édition, 1811), admet l'existence des pseudo*infiniment petits : < Un infiniment petit est une

grandeur moindre que toute grandeur donnée de la même nature

Ainsi, le temps croit par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner.... Les infiniments petits ont donc une existence réelle, et ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les

géomètres (p. 14). Le principe fondamental de l'Analyse infinitésimale

consiste en ce que deux quantités finies, qui ne diffèrent l'une de l'autre que d'un infiniment petit, doivent être regardées comme égales, puisqu'on ne saurait assigner entre elles aucune inégalité, aussi petite que l'on voudra (pp. 16-16). »

Caxjcry, en 1821 , dans Bon Analyn algébrique , balaie tontes ces notions Yagnes en exposant, sous une forme claire et simple, la théorie des indiâniment petits; elle a été Yulgarisée plus tard par les écrits plus accessibles de DuHAMBL {ÉlimênU de calcul injlnitisimal; dernière édition publiée par l'auteur en 186)) et est, pour ainsi dire, universellement adoptée. Un petit nombre d'esprits seulemenl^ séduits sans doute par l'autorité de Poisson, ont essajé de conserver les pseudo-infiniment petits, au moins partiellement. Nous en citerons deux.

Navier (Résumé des leçons d'Analyse données à V École Polytechnique;

Paris, 1840). < Il est nécessaire, dit-il, de distinguer les cas où l'on regarde

ainsi l'accroissement Àa; de la variable indépendante comme s'approchant

indéfiniment de zéro, ou ayant une valeur indéterminée plus petite que

tout nombre donné. Cet accroissement est dit alors infiniment petit....

Si Ax et Hy sont supposées infiniment petites, ces différences sont

alors appelées les différentielles des variables â; et y; et pour distinguer

ces cas on emploie la caractéristique d à la place de A, en écrivant ia

au etdy. La limite vers laquelle tend le rapport -r^ à mesure que Hx diffère

dp de moins en moins de zéro est exprimée par-^ (p. 8). > On peut entendre

dof

ces paroles dans le sens (raisonnable) des infixiiment petits nuls d'Euler,

ou dans le sens (absurde) des pseudo-infiniment petits de Poisson.

Le passage suivant semble plutôt écrit dans ce dernier système : c On

doit se représenter la variable x comme prenant successivement des

valeurs dont chacune surpasse la précédente de la quantité dx supposée

infiniment petite, c'est-à-dire plus petite que toute grandeur donnée*. ••

Chaque fois que x croit de la différentielle dx, y varie de la différentielle

correspondante dy (p. lOj. >

CouRNOT, dans son Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du

Calcul infinitésimal (Paris, Hachette, 1841), expose (tome I, pp. 81-101)

une théorie des infiniment petits extrêmement peu claire, qu'il attribue

à Leibniz, mais qui, en réalité, est tantôt celle d'Ëuler, tantôt celle de

Poisson. Au fond, il semble adopter plutôt cette dernière : < La méthode

[pseudo]-inflnitésimalo, dit-il, ne constitue pas seulement un artifice

ingénieux : elle est Texpression naturelle du mode de génération des

grandeurs physiques qui croissent par éléments plus petits que toute

grandeur donnée (p. 86). »