CHAPITRE IV. Principes généraux de la méthode des limites

La méthode des limites étant exposée d'ane manière trop brève dans le deuxième chapitre de Tintrodaction, nous la développons davantage ici, particulièrement dans les démonstrations relatives aux incommensurables.

99S. Nombre ineommensuratle. Si, par un procédé quelconque, on parvient à distinguer les nombres commensurables en deux groupes, (a, ûtt As, etc.), (A, A4, Ai, etc.) tels que tout nombre du premier groupe soit inférieur à un nombre quelconque du second, et sans qu*aucun nombre commensurable sépare ces deux groupes, on dit quMls sont séparés par un nombre incommensurable a{**]. Ainsi, par exemple, il j a des nombres commensurables dont le carré est inférieur à 2, d'autres dont le carré est supérieur à 2. On dit que ces deux groupes sont séparés par un nombre incommensurable, représenté par le symbole |/2.

&éoméMquemeiUy a étant, sur une droite Oa, un point dont la distance à n*est pas dans un rapport commensurable à Tunité de longueur OU, on dit que Oa a, avec OU, un rapport représenté par (Oa : OU) qui est un nombre incommensurable.

On dit que a est supérieur à tout nombre ùm du premier groupe, inférieur à tout nombre A» du second, et que a — dm ou A^ — a est une partie de A» — a». La différence (|3 — a) entre deux nombres incommensurables a, |3 est une partie de B, — dm, B, étant un nombre commensurable supérieur à |3. On dit qu'une différence a — a«, A« — a, |3 — a est inférieure à une quantité e, si l'on peut trouver un nombre An dans le premier cas, am dans le deuxième, des nombres B^ et am dans le troisième, tels que e surpasse A» — a», B, — Om. Enfin (1 : a) est dit intermédiaire entre (I :a«.) et (1 : An), par définition.

(*) Les principes des n^ 29^ et suivants sont tous à peu près évidents. Nous les énonçons explicitement afin d'en faire mieux ressortir la signification exacte. Nous engageons nos jeunes lecteurs à laisser de côté, dans une première lecture, les démonstrations analytiques données en note et les réciproques.

(^) Un nombre commensurable N divise les nombres commensurables en deux groupes, l'un contenant N et tous les nombres inférieurs (ou supérieurs), l'autre tous les supérieurs (ou inférieurs). On peut dire que N sépare les deux groupes, quoiqu'il appartienne à l'un ou à l'autre, par convention.

994. THÉoRfiaiE. JSntre un nombre ûm du groupe {a, at, at, ...) et un nombre kn du croupe (A, Ai, Ai, ...)il y a toujours un nombre indéfini dé nombres appartenant à chacun de ces deux groupes.

En effet, formons la suite indéfinie de nombres r^ ri, rs» r^y .,., r^ de la manière suivante : ri = |(a«» -i- A») ; r« = ^ (a.» -♦- n), si ri surpasse a, rs = ^ (A« -t- ri), si ri est inférieur à a; en général, r^^i est la moyenne arithmétique de rp et du premier r, des nombres rp^i, ^p-i9 etc., tel que a soit compris entre rp et r^ • Je dis que la suite indéfinie ri, rs, rs, r4, ... r^, etc., contiendra une infinité de nombres inférieurs et une infinité de nombres supérieurs à <t. Car, si le procédé de formation des r conduisait à un dernier nombre R, supérieur, par exemple, à a, soit R — d, le dernier nombre inférieur à a, obtenu avant R. Le procédé de formation des r, donnera, pour ces nombres, après R, la saite illimitée :

R — -5, R — -d, R — gd, ... , R — — d, etc.,

de nombres tous inférieurs à a. Tout nombre commensurable b inférieur à R, sera inférieur à R — 2~*d, si k est suffisamment grand; donc b sera < a; tout nombre commensurable B, supérieur à R, sera aussi supérieur à a. Donc, R séparerait tous les nombres inférieurs à a de tous les nombres supérieurs à a, ce qui est contraire à la définition du nombre incommensurable a. La suite des nombres r comprend donc une infinité de nombres de chacun des deux groupes (a) et (A).

995. Limite. (Voir n*' 17-21). La limite, supposée commensurable et Jlnie, d'une variable X, commensurable aussi, est une quantité constante A dont la variable approche indéfiniment sans jamais l'atteindre; autrement dit : La différence X — A» prise en valeur absolue, peut devenir et rester plus petite que toute quantité donnée d*avance, sans jamais devenir nulle. Ces derniers mots : sans jamais devenir nulle, ont un sens conventionnel et signifient que X dépend d*une ou de plusieurs variables indépendantes qui tendent vers des valeurs inaccessibles (^): elles peuvent différer aussi peu

(*) Ba analyse infinitésimale, ces yaleurs inaccessibles sont, directement on indirectement, :^éro ou Vinfini. Ainsi, la dérivée d*une fonction y de tp est, par définition, la limite de (Ay : ^œ), quand l'accroissement Mb décroît indéfiniment (94). La limite de somme ^{x)^x, de Xq à X, dépend du nombre n de parties Aâ?, dans lesquelles X — â;« est subdivisé, et, par hypothèse, n croît indéfiniment, àx décroît indéfiniment (106-106). La somme S d'une série est la limite deS», somme des n pre-

qu'on le veut de ces valeurs inaccessibles, si celles-ci sont finies ; si Ton dit que ces valeurs inaccessibles sont infinies, cela signifie seulement que les variables indépendantes peuvent, en valeur absolue, devenir et rester plus grandes que toute quantité donnée.

La variable X est dite avoir une limite iîijtnief si (1 : X) a pour limite zéro, ou si X, en valeur absolue, devient et reste plus grand que toute quantité donnée, pourvu que X garde toujours le même signe à partir d'une des valeurs par lesquelles elle passe. Si X devient définitivement positif, on dit que lim X ^=a + oo ; lim X = — oo , dans le cas contraire.

Les définitions précédentes s'étendent aux variables et aux limites inammensurallet^ pourvu que Ton se rende compte du sens conventionnel attaché aux difiérences a — Omy A« — a, |3 — a. Ainsi, en particulier, Ç étant une variable incommensurable toujours comprise entre les variables commensurables Xmf X» dont la différence X« — Wm est aussi petite qu'où le veut, on aura lim ^^=00, si lim (1 : ^) c=a 0, c'est-à-dire si lim (1 : ofm) ou lim (1 : X») est égale à zéro, ou si Xm, X«, en valeur absolue, deviennent et restent plus grands que toute quantité donnée.

Moyennant les mêmes conventions, on peut dire aussi qu'un nombre incommensurable a est la limite des nombres commensurables Om, A« qu'il sépare.

tM. AxioMB ou PRINCIPE FONDAMENTAL (u*" 26). Une quantité variable toujours croissante {ou décroissante) a une limite finie ou if^nie.

1"* La variable X croît au delà de toute limite et est commensurable; alors (1 : X) décroit sans cesse, devient et reste aussi petit qu'on le veut; donc lim X = x .

2® La variable X croit au delà de toute limite et est incommensurable; alors X est compris entre a« et A» = a« -«- d, d étant une quantité fixe aussi petite qu'on'le veut, et am et A«» croissent aussi au delà de toute limite ; (1 : Om) et (1 : A«), et, par suite, la quantité intermédiaire (1 : X) a pour limite zéro ; donc lim X = oo .

3® X ne croit pas au delà de toute limite et il y a un premier nombre commensurable L non dépassé par X. Supposons d'abord X commensu-

miers termes de la série, pour n croissant indéfiniment (117). D'après les définitions mêmes, téro est donc une valeur inaccessible pour Aâ?, l'infini une valeur inaccessible pour ». Les définitions des n»* 115, 214, impliquent de même que certaines variables tendent vers des valeurs inaccessibles.

rable aussi. Alors L — X est une quantité qui n*est jamais nulle, puisque X n'atteint pas L. Cette différence devient aussi petite que Ton yeuti puisque, par hypothèse, X dépasse toute quantité commensurable L — e, inférieure à L, quelque petite que soit e. Une fois que la différence L — X est devenue plus petite qu'une quantité quelconque e, elle reste plus petite que cette quantité, puisque L — X décroit sans cesse, quand X croit. Donc, lîmX = L, Supposons ensuite X incommensurable et compris entre deux nombres oommensurables Um et kn^=am h- d, dont la différence d, fixe ou variable, est aussi petite qu'on le veut. Puisque X est toujours inférieur à L, on peut aussi supposer A« <L; comme X surpasse toute quantité commensurable L — s, inférieure à L, quelque petit que soit e, il en est de même de An, et L — A« devient et reste plus petit que e; L — am = L — A« + d, devient et reste plus petit que e + d; donc L — X est une quantité intermédiaire entre e et £ -«- d, quantités qui deviennent et restent aussi petites qu'on le veut, et lim X = L.

4? Il n'existe pas de premier nombre commensurable non dépassé par X dans ses variations. Alors tous les nombres commenivu*ables peuvent être divisés en deux classes, les uns Im dépassés, les autres 1% non dépassés par X; ces deux classes sont séparées par un nombre incommensurable À, limite commune des Im et des Lu. La variable X ne peut dépasser À; car, si elle atteignait une valeur X' supérieure à A, elle dépasserait les nombres oommensurables compris entre A et X% ce qui est absurde, puisque tout nombre commensurable supérieur à A est de la classe des nombres L« que X ne peut dépasser. La variable X ne peut pas non plus atteindre la valeur A, puisque, dans ce cas, en croissant toujours, elle dépasserait A, ce que nous venons de démontrer être impossible. Ainsi, en premier lieu, la différence A — X n'est jamais nulle. En second lieu, la différence A — X devient et reste aussi petite qu'on le veut^ puisqu'il en est ainsi de la différence plus grande L» — Im des nombres oommensurables L» supérieurs à A et à X et des nombres Im inférieurs à A et dépassés par X. Donc enfin, lim X = A.

^•7 . Lbmmb (Voir n» 22). Une variable X ne peut tendre a la pois, vers deux limites distinctes. Ce lemme peut être regardé comme à peu près évident. On peut aussi le démontrer explicitement comme il suit, si A, B, X sont oommensurables, ou même s'ils sont incommensurables, pourvu que l'on ait recours à la représentation géométrique des incommensurables :

Si X — A derient et reste aussi petit que l'on veut, X — B = (A — B) + (X — A) devient et reste aussi peu différent de (A — B) qu'on le veut et, par suite, X n*a pas B pour limite(*).

Remarque. Naturellement, une variable peut avoir deux ou plusieurs limiies disUnetes, pour des valeurs diférentes des variables indépendantes. Considérons, par exemple, le rapport

nEi/(n»-Ha») **" 2E(i»«) '

E (x) désignant le plus grand entier contenu dans â;; on suppose n entier positif ou négatif, mais différent de — 1. Puisque n* + 2n est immédiatement inférieur à (n -f* 1)*, la partie entière de \/ {n* -+- 2n) est n si n est positif, — n — 2, si « est négatif. On aura donc, si p est positif,

simultanément,

(2p-»-l)(2p-Hl) , 1

Si n est positif et croît indéfiniment, on trouve, d*aprës ces relations, lim r = 1 ; si n est négatif et croît indéfiniment en valeur absolue, lim r -= — 1. La limite de r n'est donc pas la même pour « = -+- oo et pour n = — 00 .

99S. Principe I (voir n^" 23). Les limites ketB de deux quantités variables XelY^ égales dans leurs variations, sont égales. Ce principe est à peu près évident et, au fond, il a déjà été employé dans la remarque du n"* précédent. Par hypothèse, X et Y ne sont que deux manières

(*) Autrement. Pour fixer les idées, soit A>B. On peut trouver quatre nombres commensurables <Im, A., dp, B,, tels que l'on ait

*,<B<B,<<»»<A<A., les différences Â. — ^a», B, — h, étant aussi petites qu'on le veut. Dire que X a pour limites à la fois A et B, c'est dire que l'on peut faire en sorte que l'on ait simultanément X compris entre Om et A« et entre hp et fi,, ce qui est évidemment absurde. Cette démonstration analytique est générale.

différentes de désigner une même variable; d'après le iemme, cette ▼ariable ne peut tendre à la fois vers deux limites A |et B. Donc A = B. Exemple : L expression

^ 1 1 ^ nv

peut s'écrire ainsi

Elle est donc égale à 1 • Cette dernière quantité, pour « =» oo , a

pour limite Tunité. Il en est donc de même de Texpression (1).

t99. LiMiTB D^UNE CONSTANTE. Pour Simplifier les énoncés, il convient souvent de dire que la limiU d'une eonsianiê, c'est cette constante même.

«••. Principe II (voir n« 24). Si deux quantiUe variabUi X. Y, inégale» f ont une même limite A, UnUe quantité intennédiaire Zala mime limite. Ce principe est à peu près évident. On peut encore le démontrer explicitement comme il suit^ si X, Y, Z, A sont commensurables, et même dans le cas contraire, si Ton a recours à la représentation géométrique des incommensurables : Z — A, étant compris entre X — A et Y — A, devient et reste aussi petit que l'on veut, en même temps que ces quantités. Donc Um Z = A(*). Ce principe subsiste évidemment si l'une des trois quantités X, Y, Z est une constante. Exemple : Si n est entier positif, |3 positif et commensurable, on a (1 + P)" = 1 + ii|3 -i- etc. > n^. Par suite.

Pour « = 00 , on a lim (1 : «jS) = 0. La quantité (1 -♦- (3)~* intermédiaire entre et (1 : nl^) a donc aussi pour limite.

RÉCIPROQUE. Si Z est une variable qui a pour limite k et si Z est compris entre deux autres variables X, Y, dont la différence a pour limite

(*) Démonstration analftique générale. Dire que X et Y ont une limite finie Â, ugnifle que l'on peut trouver deux nombres commenBurables ««, A., aussi rapproches qu'on le vent, comprenant entre eox X, Y et A ; Z, qoi est compris entre X et Y, sera aussi compris entre ««, A. ; par suite, la différence Z — A sera, en valeur absolue, moindre que A« — •« et aura pour limite zéro.

zéro^ ces variables ont aussi pour limite A (*). En effet, en faisant les mêmes hypothèses que plus haut, on a, par exemple, X — A =» (Z — A) -*- (X — Z). Or, Z — A devient et reste aussi petit qu'on le veut en valeur absolue; il en est de même de X — Z, qui est inférieur à X — Y en valeur absolue. Donc aussi X — A devient et reste aussi petit qu'on le veut et, par conséquent, Um X = A. On prouve de la même manière que Um Y == A.

Corollaire. Si Xm, X» sont deux nombres commensuràbles comprenant un nombre commensurable ou incommensurable X et tels que lim{Xn—Xm) = 0, on a Um Xm = Um Xn = Um X. Ce corollaire du principe II et de sa réciproque peut souvent servir à ramener des propositions relatives aux incommensurables à des propositions relatives aux nombres commensuràbles voisins.

SOI . Principe III (voir n"* 25). La limite A d'une variable X, toujours supérieure ou égale à Y dans ses variations, est égale ou supérieure à la limite B de Y. En effet, soit, s'il est possible, A inférieur à B. On peut rendre simultanément X et Y aussi peu différents que l'on veut de A et de B. Par suite, si A est inférieur à B, on peut faire en sorte que X se rapproche assez de A, pour qu'il soit inférieur à Y, qui est aussi voisin de B que l'on veut, ce qui est contraire à l'hjpothèse. Donc, on ne peut avoir A < B, et le théorème est démontré.

Cas particuliers, l"" Si Y = 0, A est nul ou positif; si X = 0, B est nul ou négatif. Donc la limite d'une quantité positive (négative) est positive (négative) ou nulle. 2" Si Y ou X est constant, le théorème devient : la limite d'une quantité toujours supérieure (inférieure) à une constante est égale ou supérieure (ii^érienre) à cette constante.

Exemples (voir n^" 29, III) I. La quantité

(*) Démonstration analytique générale. Si Z a pour limite A, on peut trouver deux nombres commensuràbles Om) A» aussi rapprochés qu*on le veut, comprenant entre eux Z et A de quelque manière que l'on fasse varier ultérieurement les variables indépendantes dont dépendent X, Y, Z. Les variables X, Y sont aussi voisines qu'on le veut, l'une de l'autre et, par suite aussi, de la quantité intermédiaire Z; celle-ci est elle-même aussi rapprochée qu'on le veut de A ; on peut donc faire en sorte que X et Y soient également compris entre ««•, A», ce qui démontre le théorème.

peut s'écrire sous la forme suivante :

\2 3/ V4 5/ \2» — 2 2n—lJ 2»

Elle est donc inférieure & l'unité. On peut aussi écrire

ce qui prouve qu'elle est supérieure à j- et croit avec n. Elle a une limite d*après Taxiome ou principe fondamental ; cette limite est supérieure à ^ > inférieure à 1, d'après le principe IIL Auêrement (d'après M* Catalan) : En ajoutant deux fois successivement à Lu Texpression

puis retranchant, par compensation, une fois

on obtient

quantité évidemment comprise entre n fois - ou 1 et n fois â- ou ^ . De

plus, si l'on change n en n v 1, on trouve T 1 1-111

= Jjiit H"

donc Li» est une quantité croissante avec n; etc. II. L'expression

2\« + l 2nJ \2n-*-l An)

croît avec n, est supérieare au premier terme 1 -f-- — - = ^> et infé-

rieure (d'après la dernière forme) à ^ «. - -♦- 2». ;r- = 1 - • Donc, elle

tend vers une limite L' comprise entre ^ ^t 1 - •