m négatif ^== — (p -4- 1). On a, pour m«— oooup

41 . Limite de li -i — j pour m == 00. Posons m >» rk; pour m ea 00 ou r = 00, la limite est égale à

lim fi -^ iy* « Mmïfi -i- iYT— Tlim (i 4-IYI "" *« c"" »

41t. Limite de -^ » -i pour a = 0(1 = log. népérien).

)iniilLLf!Î=-rKml(l +a)««liml(^i + iV—Uim^^l + iy«le=l

a ak ak

43. Limite de [{(f — i)'^] pour «s=0. Posons a' = i +j3 ou X = 1 (I + 13) : la. Il viendra, pour x = 0, ou ^ s=s :

lim — «lim

^ « i(iH./3) = la.

Corollaire. Par définition (LBFëBDRB, Algèbre, C. XIII), le module M d*un système de logarithmes de base B, est égal à lim [tn"^ : (|/b — i)] pour wi = 00. Posons mx = i, il viendra M = lim [x : (B* — 1)] = 4 : IB. Le module des logarithmes népériens est égal à 1 ; c*est pourquoi, on les appelle logarithmes naturels. Il suffit de multiplier les logarithmes népériens, par le module M d*un système & base B, pour obtenir les logarithmes de ce système; car de n == B^'^v"» e^", on tire

1« = Log n IB, Log n = In Log e, M = r^ = Log e = — ^ .

\d In

44. Application. Faire de l'hyperbole équilatère xy = i^ entre les ordonnées correspondant aux abcisses 1 et X > 1 est égale à IX; d*où le nom de logarithmes hyperboliques donnés aux logarithmes népériens (Voir, note, n"" 151). Par suite, la limite L du n» 29, III, est 12. En effet, Ltn est la somme des aires de n rectangles, inscrits dans l'hyperbole xy s=s 1 , s'étendant de l'abcisse 1 k l'abcisse 2, ayant (1 : n) pour base,

(l-h-j I (1+-) ' ••• (1 -*- 1)~* pour hauteurs. De même L' = log /8, L" = log j/l2.