CHAPITRE V. CARACTèRB général de CONVERiSENGE

SOS. Caractère général de convergence. Lorsqu'une quantité variable passe par une série indéfinie de valeurs «1, St, «1, . . . , Sn, en tendant vers une limite finie «, on peut choisir n tel que les différences s — #n, «— «„+i, s — ^ji+i, ..., s — Sn^p soicut, OU valcur absolue, aussi petites qu'on le veut; par exemple, inférieures à \ e, quelque petit que soit e. Il en résulte que les différences

*„+i —*„=(* — Sn) — (* — «»+ 0»

*- f F— '« = (* — '») — (» — '»+p)i pour n suffisamment grand, sont inférieures à e pour toute valeur de p. Réciproquement, si «0» '«> fij 'st •••> Skt etc., sont les valeurs successives d'une quantité variable, telles que, pour toute quantité positive e donnU d'avance, on puisse déterminer n de manière que Ton ait, en valeur absolue,

et, en général, s^^p — *n<^i quel que soit p, la suite St, St, Ss, ... tend vers une limite finie. Ce théorème, dû à Gaughy, est, avec oelui dont il est la réciproque, une seconde forme du principe fondamental de la méthode des limites, auquel il est équivalent. Il est extrêmement utile, sinon dans les Éléments, au moins dans les parties élevées des Mathématiques, comme on peut s'en convaincre, par exemple, en lisant le mémoire d'Abel sur le Binôme.

A cause de Timportance de ce théorème, nous allons en donner une démonstration minutieuse, qui est le développement de celle que l'on trouve dans les ouvrages suivants : Traité i'Alçèbre^ par J. Bertrand; deuxième partie, livre I, ch. I, n"* 6 (Troisième édition, Paris, Hachette, 1863; p. 3); A. Genogchi, Calcolo diferenzialeePrineipiidiCàlcolo intégrale, pubblieato con aggiunte dal D' G. Pbano; Calcolo differenziale, oh. I, n** 15, théorème YIII (Torino, B()cca, 1884; p. 8), et dans plusieurs Traités d'Analyse infinitésimale.

504. Préliminaires» L On peut exprimer l'hypothèse relative à e, en disant que, pour une valeur de e choisie d'avance, il y a une valeur de n, telle que

II. Si l'on choisit successivement deux quantités positives e, e' et, si s' est inférieur à e, les valeurs n, n' correspondantes (*) seront telles que n' est égal ou supérieur à n. Car, si l'on avait n' < », à cause de

on aurait aussi, à fortiori ,

Par suite, ce n'est pas », mais une valeur plus petite n\ ou une valeur moindre encore, qui correspondrait à e.