II. Le contraire a lieu pour la quantité

On trouve

^^ JI4-1 n-^2 «-^3 n^p

(*) Si la suite («1, #1, fs».*.) n'est pas, à partir d'un certain terme, composée de quantités toutes égales entre elles, les deux suites (a, «i, Ot. ,)„ (A, Ai, Ai,...) ne peuvent pas se composer simultanément, à partir d'un certain terme, de quantités tontes égales à a. Car, 8*il en était ainsi, à partir de ce terme, toutes les quantités intermédiaires s^ devraient aussi être égales à «•

quantité toujours supérieure à

Soit fsssn. On aura H«4.p — H. supérieur à ^. On ne peut donc pas choisir n tel que B,n^f — H«, pour toute yaieor de p, devienne aussi petit qu*on le yeut, puisque, pour j? = «» et, a fortiori^ pour des valeurs plus grandes, cette différence reste toujours supérieure à \. L'expression H», n'a donc pas de limite finie, quand n croit indéfiniment (*). III. Soit encore Texpression

formée en ajoutant, dans Texpression 1» de l'exemple I, Tunité à tous les termes positifs, et retranchant l'unité de tous les termes négatifs. Si p est pair, on aura évidemment

Sn^p — S» = ^n^-p — Sny

et, par suite, cette diflerence^ est en valeur absolue, inférieure à [1 : (n -I- 1)]. Mais si p est impair

db (S»+p — S„) •= dz (s,,^p *.; -H 1.

Puisque in^p — u est encore, en valeur absolue, inférieure à [1 : (« -♦- 1)] , S«+p — S» est, en valeur absolue, supérieure à 1 — [1 :(«-*- 1 )] s= [n : (n -^ 1)]. La différence db (S«»+p — S») ne devient donc pas, pour n sufSsamment grand, inférieure à une quantité donnée e, quel QUE SOIT p^ mais seulement si p est pair. Donc S» n'a pas de limite finie. Comme S«=s^« si n est pair, et S»=s^« 4- 1, si n est impair, il est évident d'ailleurs que S« n'a pas non plus une limite infinie.

SIO. Remarques. I. On peut énoncer le caractère principal de conver-

(*) On a TU plus haut (29, II) que H* a une limite infinie. M. Catalan a fait obseryer que, si l'on prend p égal à la partie entière de la racine carrée de «, H«4.p -^ H« est inférieur à ( 1 : p) et devient aassi petit qu'on le yeut, quand n et, par suite, p croissent indéfiniment. Il peut donc y avoir des valeurs de p (ici p= B ((/n)), mâme indéfiniment croissantes avec «, telles que Sn\p —- '« soit aussi petit qu'on le vent, et en même temps, d'autres valeurs de p (dans le cas actael, p = n) pour lesquelles le contraire a lieu. Voir encore l'exemple suivant.

Cette remarque prouve qu'il faut bien faire attention aux mots quel que soit p, dans l'énoncé du caractère principal de convergence.

gence sous la forme abrégée suivante : Une quarUiU variable éUnU les oscillaiions ont pour limite zéro a une limite Jinie^ théorème qa*il faut entendre, naturellement^ dans le sens de renoncé du n? 303(*).

II. On peut donner un caractère intuitif à la longue démonstration exposée n*" 304 à 308. Pour cela, on représente sur un plan les points ajant pour coordonnées rectangulaires

[(«,*.), (n 4- 1, *«+i), etc.], [{ni, *,,), («i -♦- 1, ^«,4-0, etc.]

Par hypothèse, ils sont compris entre deux parallèles à Taxe des x\ ces parallèles, dont la distance décroit indéfiniment, ont pour équations, successivement,

y = *• ± e, y == *», ± Cl, etc.

On voit ensuite aisément que ces parallèles peuvent être remplacées par celles qui ont pour équations

(y = a, y = A), (y = a«, y == A,), etc.

Celles-ci évidemment tendent vers une position limite, ayant pour équation y^= a,

III. Dans son Lehriuch der AnalysiSj g 15, Lipschitz, dit, par ii/lnition, que la quantité variable Sk tend vers une limite, quand ses oscillations peuvent devenir et rester aussi petites qu*on le veut. D*après cela, on peut énoncer le caractère général de convergence, en disant que H une quantité variable a une limite, dans le sens de Lipschitz, elle en a aussi une dans le sens de Duhambl, Autrement dit, la démonstration des n°' 304-308 prouve que les deux définitions sont équivalentes*

ly. Une variable toujours croissante,- ou toujours décroissante, qui en valeur absolue, ne dépasse pas toute quantité donnée, a une limite finie, d'après le principe fondamental; d'après le n® 303 ci-dessus, elle vérifie aussi les conditions d'existence du caractère général de convergence. Réciproquement^ d'après la démonstration donnée, n*" 304-^308, chaque fois qu'une suite de quantités «i, ^s, Sij etc. vérifie les conditions du caractère général de convergence, Sp tend vers une limite finie a

(*) Autre énonoé : s» a une limite Jlnie, si lim (Sn^ — Sn) = 0, pour » = od, qubl QUB SOIT p. Le nombre' p peut être constant ou variable; indépendant de n, ou variant avec n, par exemple, croissant indéfiniment en même temps que celui-ci, (égal à la partie entière de la racine carrée ou cubique de fi , ou à «*, n\ etc ). Voir l'exemple précédent, note.

pour p croissant indéfiniment; de plus, a, est aussi la limite d^une suite croissante (a, ai» at, etc.), ou d'une suite décroissante (A, Aj, Ai, etc.), les quantités (a) et (A) différant aussi peu qu'on le veut des quantités (s). Le principe fondamental de la méthode des limites et le caractère général de conyei^ence sont donc équivalents et peuvent toujours se remplacer l'un l'autre dans les démonstrations où Tun des deux permet de conclure qu'une variable a une limite; néanmoins, suivant les cas, c'est l'un ou l'autre qui conduit le plus rapidement à une conclusion de ce genre.

Y. Pour LiPSCHiTz, un nombre incommensurable est la limite (dans le sens qu'il donne à ce mot) non commensurable d'une suite de nombres commensurables , procédant suivant une loi déterminée quelconque^ pourvu que ces nombres commensurables vérifient les conditions du caractère général de convergence. Au premier abord, cette définition semble un peu plus générale que celle que nous avons empruntée à Dbdbkind; car, dans celle-ci, au fond, le nombre incommensurable est la limite (dans le sens de Lipschitz) d'une suite de nombres commensurables croissants ou décroissants; or, c'est lÀ un mode de variation moins général que celui que la définition de Lipschitz permet d'imaginer. Mais, d'après la démonstration donnée plus haut (304-308), si ^i, #ti Sz, etc. sont les nombres commensurables qui ont pour limite un nombre incommensurable a, quelle que soit la loi d'après laquelle procèdent les nombres «i, 5s, fs, etc., il existe une suite croissante {a, ai, Ot» etc.) et une suite décroissante (A, Ai, At, etc.) ayant la mâme limite <x, le8*(a) et les (A) différant aussi peu qu'on le veut des («), pourvu que l'on aille assez loin dans la série de ces dernières quantités. Les deux définitions ne sont donc pas essentiellement distinctes.