CHAPITRE VI. Sur le principe de substitution 0bs infiniment petits
SU. Exemples âf uns fausse application du principe, l. Considérons les
'trois sommes suivantes :
On troare îimnédktaiMnt A. = 1 ; pois
Si n croît indéfiniment, en prenant, par exemple, les yalenrs sacœssÎTes 2, 4f 8, 16, etc., A« ne Tarie pas; B» diminue sans cesse et a pour limite 1 1 ; G. croit sans cesse, et tend yers une limite finie inférieure à la progrenion indéfinie
ayant pour somme \e:{e — 1)]. En effet, on a ner** < «"■ ou « < e"^-", puisque e est supérieur à 2, et que, par conséquent, r»^*"" >(1 + 1)"<"-"
Les trois sommes ont donc des limites inégales A, B, C. Ces limites sont d'ailleurs les aires (108) comprises entre les ordonnées correspondant à^=xO et â?:=l, Taxe des w et des lignes ajant pour équations y = l,y=l + a?, y = l + «'« r^*'*. En effet, en posant nAx = 1, les expressions A«, B», C» définies au commencemeot de ce n*, peuvent s'écrire
IL On a
Si Ton suppose p fixe et n croissant indéfiniment, on trouve
Um^=lp lim2!: = oo.
«p Op
Si Ton suppose x fixe et n croissant indéfiniment, puisque lim {n*x* : e^*' ) es 0, d'après le n"" 201^ on a
Um^=l+a?, lim 2!? =3 L
Otp dm
Dans la première hypothèse, le principe de substitution semble applicable aux sommes A» et B«, et Ton croirait, au premier abord, que Ton a
 = B ; dans la seconde, c^est à A,, et C« qu*il parait applicable et Ton est tenté de conclure que A = C. Il n'en est rien cependant : la condition LiM (|3 : a) = 1 ou LiM [y:(x) = lf ne doit donc être entendue, ni dans le premier, ni dans le second sens.
SI 9. Vrai sens delà condition d'existence du principe, I. Si Ton se reporte aux démonstrations données aux n"* 52 et 54, on verra que Ton y su^T^Be implicitement que tous les rapports 1 -)- ^ des infiniment petits substitués les uns aux autres tendent simultanément vers Tunité; ou, ce qui revient au même, qu*il en est ainsi du plus grand l + e. et du plus petit l+tm* Dans la démonstration du théorème établi n^ 10Ô-108, nous avons pu appliquer le principe de substitution, parce que, d'après le n° 93, tous les rapports (/'. : /») ont simultanément Tunité pour limite. Dans les n^ 111 (et Notes coHPL^MBNTAmBS (111)), 116, 130 nous avons introduit explicitement la condition d'existence du principe. Mais, dans les exemples du n^ précédent, cette condition n'est pas vérifiée : la plus grande valeur de (/3 : a) est égale à 2 et correspond à p = n ; la plus grande valeur de {y : a) est 1 + «^* et correspond à p = 1.
II. La condition lim (1 + e.) = Um (1 -}- £») =" 1 est suffisante, mais elle n'est pas nécessaire. Pour le montrer, considérons la somme
On a
D, = (îi H- d, + ..• + *,, ap=-A+-\
Dn = l+— f H» = l+iH H-?
n éi n
mais, si n est compris entre 2* et 2*+^ H» est inférieure à 2 + i^ (n<» 29, II); Or, 2* = (1 + 1)* = 1 +* + i A (* — l) + etc.> ^V. Donc
Pour n et il croissant indéfiniment, on a donc lim (H« : n) «= 0. Par suite, lim D« = l.
Or, si Ton compare les termes des sommes A» et D*, on trouve
— = 1-1---» — = 1 -j-— , i*. — = 1J , t.. — sl-l- — •
ai 1 «a 2 <^p V ^n ^
Ces rapports ne tendent pas tous vers l'unité et cependant l'on a lim D« = lim An = 1. Le principe de substitution subsiste donc dans des cas où la démonstration des n^ 52, 54 n'est pas applicable.
m. Outre les cas dtés pins hant (quadrature des aires planes, eabatores, dérÎTation sons le signe des intégrales définies, intégration des séries), il j a encore deax antres applications élémentaires du principe de substitution des infiniment petits où il importe d'indiquer avec précision les conditions d'équiralence des limites de sommes considérées. Nous allons les ûiire omnaitre dans les numéros suivants.
SIS. BiCii/icaHom des eomria- 1. Considérons une courbe plane f=fx^ depuis le point  {x^, jr») jusqu'au point B (X, Y), fx étant une fonction continue ainsi que sa dérivée depuis x^ jusqu'à X. Inscrivons, dans la courbe AB, un poljgone AMiM« ... Mi»tB, dont les sommets Mt, Mi, ... Mti..tB, aient pour abscisses â?t, ^49 -•» ^«-t* Un côté M^Mi^t aura pour longueur
|/(a?H, ^ XtY + (/^H« -MY = A*4 %/ 1 +(^* J'
00, d'après le théorème de Lagrange (105 ou 206), Lxt 1/ [1 + Cr^*+i)']i XkJ^i désignant une valeur de â?, intermédiaire entre Xk et Xu^t* Géométriquement, ÙLXk V/ [1 + C/'^*+0*] ®^ ^* portion de tangente à la courbe au point M^+i d'abscisse fl?4+i, qui a pour projection Aa?* et est parallèle à la corde M^M^^f (105). Le périmètre f du poljgone inscrit est donc égal à
S 1/1 + {/'Xk^^y ùiXt.
Si les côtés de ce polygone inscrit décroissent indéfiniment, d'après une loi quelconque, f aura une limite (114), savoir :
que, par définition, l'on appelle la longueur de la courbe AB.
IL Considérons une courbe gauche y=fx, z = (fX^ depuis le point A {Xof ifot a^o) jusqu'au point B (X, Y, Z),/i0, tfx étant des fonctions continues ainsi que leurs dérivées depuis Xq jusqu'à X. Inscrivons dans la courbe AB un polygone AMjMe ... Ms^^sB dont les sommets aient pour abscisses Xo, â?3, â?6, ... â^sn-s» X. On aura
UkUk^z = i/(Xk^z — XkY + (fxk^z —fXkY + (9^*+5 — 9^*)'
â?A4-ii ^A+i désignant des valeurs de a^ intermédiaires entre Xk et 0kJ^%. A cause de la continuité, et, par suite, de Téquicontinuité de f'w, (p'x (Notes complémentaires (93)), on a
1 + C/"û?*+4)* + (9'«*+i)' = 1 + i/'^k)' + (?'a?*)' + e = Pfl?A + e,
e ayant pour limite zéro, lorsque Ofk^z — ùfk tend vers zéro^ même si 0!k Tarie en même temps que cette différence (Comparez Notes complémentaires (98)), et Fû9 étant mis, pour abréger, à la place de 1 + {f'csj)^ + W<Dky. Or
|/Pfl?Jk + 6 (/Pfl?jk =
Gomme Fâ?A et Fcifk + s sont au moins égaux à Tunité, le second membre est, en valeur absolue, au plus égal à ^ e. On peut donc écrire, pour la longueur p du polygone inscrit à la courbe AB,
p=S(Fafk+^')^C9k,
e' qui, en valeur absolue, est au plus égal & ^e» ayant, comme e, zéro pour limite, en même temps que A^^, même si Wk varie avec Aâ?A* Supposons maintenant que les côtés du polygone inscrit à AB, décroissent indéfiniment diaprés une loi quelconque; p aura une limite, savoir :
•xr -wr
= j P»<te = ( /l + (/'»)» + (9'»)» <te,
qui sera, par définition, la longueur de la courbe AB.
L'expression Fa^da est la longueur de la portion de tangente menée à la courbe au point ((ii>,f(0, (px) et ayant da pour projection sur Taxe des x. A cause de la continuité de /'â?, (p'â? et, par suite, de Fx, on peut remplacer dans s = \\mp, cette portion de tangente à la courbe, par une portion de tangente Fx^dx de même projection, en un point quelconque (d*abscisse x^) de Tare qui réunit le point d'abscisse x à celui d*abscisse X+dx {106-107).
Remarques I. On peut établir la formule de rectification des courbes planes comme nous venons de le faire pour les courbes gauches; mais on ne peut pas démontrer la formule relative aux courbes gauches, comme la formule de rectification des courbes planes, parce qu'il n'est pas établi,
pour les coarbes gauches, qu'il existe une portion de tangente, en un point intermédiaire entre Mk et Ma+s, qui ait pour projection ûkXt et soit égale à la corde MikMik^.3.
II. Dans certains cas où les fonctions considérées ne sont pas toutes continues, les expressions s et Lim p peuvent ne pas être égales, comme Ta montré Sghebffbr (Allgemeine UnUrsuchungen Hber Rectification der Curven^ dans les Acta Matkematicaj 1884, t. V, pp. 49-83; voir surtout pp. ÔÔ-67). Dans ce cas, on est réduit à prendre, par convention, a» Sy ou lim p (par exemple «), pour définition de la longueur de la courbe.
S 14. Q,uadratur$ des surfaces courbes. On peut appeler aire d'une surface courbe z='/{x,y), la limite (supposée existante et unique) de Taire P de tout polyèdre inscrit dans cette surface dont les facettes décroissent indéfiniment. Si, à chaque facette du polyèdre, correspond une portion du plan tangent parallèle et de même projection d sur le plan des ay, on sait, par la géométrie analytique, que Taire de Tune de ces
facettes aura pour expression i.\/[l+/i (a?, y)' +/i(«, y) ]i ou, en abrégé, à.F(x,j/); x,jf sont respectivement Tabsclsse et Tordonnée du point de contact de ce plan tangent. On prouve aisément, comme au n^ 313, II que, si /i(a?, y), /^(a?, y) sont des fonctions équicontinues (Notes COMPLEMENTAIRES, (93)), il eu cst de même de F(â?, y). Dans ce cas, la somme de toutes les aires d.F (â?, y) a, d'après le principe de substitution des infiniment petits (312), une limite déterminée S; S est une limite de somme double (111), (Notes complémentaires (111)) que Ton peut exprimer au moyen d*une intégrale double (Notes complémentaires, (114)), et où Ton peut remplacer a, y, par les coordonnées d'un point quelconque de Taire â.
RsBfARQUE. Dans les cas où Ton ne peut démontrer l'équivalence des expressions lim P et limite de la somme des facettes tangentielles <f.F, on peut prendre, par convention, avec Cauchy {Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la Géométrie, 1826-1827; leçon 25) et M. Hermite {Faculté des Sciences de Paris. Cours de M. Hermite^ rédigé en 1882 par M. Andoyer. Troisième édition, revue par M. Hermite. Paris, Hermann, 1887; pp. 36-37) la seconde de ces expressions, pour définition de Taire de la surface.
