CHAPITRE VII. Fonction continue sans dérivée de Weierstrass
M. Weierstrass a fait connaître, dans le Journal de Crêllê, 1874, t. 79, pp. 29-31, puis dans ses AbkatuUunçen aus der Functionenlehre (Berlin, Sprenger, 1886), pp. 97-101, une fonction continue sans dérivée, fonction qui est représentée par une série assez simple. Nous traduisons Tarticle de Téminent géomètre, afin de donner au moins un exemple de ces singulières fonctions.
315. Fonction continue sans iirivés, < Soient x une variable réelle, a un nombre entier impair^ h une constante positive, inférieure à runité,et
fx = cos Tra? + ^ ^^s anw + 8* cos a^nw + *' c^s a^na -f- etc.
Cette fonction fa est continue (*) . Nous allons montrer que, si ai est suffisamment grand, /â? n*a de dérivée pour aucune valeur de x.
Soit Xo une valeur déterminée quelconque de x, m un nombre entier positif. On peut déterminer un nombre entier ««•} positif ou négatif, tel que la différence
soit comprise entre — | exclusivement et + ^ inclusivement [Il suffit, pour cela, si a"*â?o n'est pas entier, de prendre pour Om le plus grand entier immédiatement inférieur ou supérieur à a^Xof et, si a^Xo est entier, de faire, a,, = a'^Xo]. Posons maintenant
a"* or
(*) Cette série est conveigente, parce qu'elle est déduite de la progression convergente l + ô-f-ô' + etc., en multipliant ses termes par des quantités cosTrâ?, coBO/jcXy etc., toiùours comprises entre — 1 et + 1 (122). Posons
/a? = y» 4- ^a, fx = coB 7tx-{-b cos aux -\- — + i*^* cos a*"*ffâ? ; ifa? = ^ cos tf*wa? + 4*»+* ooB a*^'*ira? -|- etc.
On aura ùfx = Aya?+ tf» {a -(- à^w) — ^x. Or, ^ et ^(x + A»), en valeur absolue, sont inférieures à la progression indéfinie *•+*■+* +^'"+«+etc., ou à [** : (1—*)]. Pour m suffisamment grand , [^ : (1 — ô)] est inférieur & } c, i étant aussi petit qu'on le veut; donc à^a> est inférieur à J c. Une fois m ainsi choisi, on peut prendre àx suffisamment voisin de zéro, pour que raccroissement ^fX de la fonction fX, qui est continue comme somme de fonctions continues, soit, en valeur absolue, inférieure aussi à i t. Donc enfin, encore en valeur absolue, âkfx est inférieur à «; autrement dit, fx est une fonction continue.
^ — - ^ SS3 — ■ ^' f a?" â?« =5
Donc tf' < fff < d?'% et, en prenant m assez grand, d^ et 9f' s'approcheront de m% autant qa*on le yondra.
On a maintenant
+* — ir^. — ■^'^•-
^ * -, coB a*icx' -- coB a*nx9 , «^ , ^ cos a*+"îra/ — coe «•^■iwPi
S (flJ)" j-^ : 1- s J*+-
Or
quantité où le produit des deux derniers facteurs est compris entre — 1 et 4* 1 exclusivement.
On a donc, en valeur absolue,
Ensuite, puisque a est un nombre entier impair,
cos a''+"7r«' = cos «•(«. — 1) TT = — ( — 1)«« , cos a"*+"7ra?o «= cos a"(amîr + Trâr.^.,) = (— l)««cos a*îrâ?.^j.
On a donc, en observant que a*(ir' — fl?o) = — (1 + â^m+i),
"*?** ^ cosû"*^"7râ?' — cos ft"+''7râ?o ^ , . ,^ *^, l+cosa'irs.+i S >•+- ; =(-l)«-(aJ)* S t" , ■ -•
Aucun des termes compris sous le dernier signe S n'est négatif; le premier (1 + cos lïXm^i) : (1 + iP-i+i), a son numérateur au moins égal à 1 ; csiv Wm^î est compris entre — ^ exclusivement et -|- j inclusivement; le dénominateur est au plus égal à 1 ^ Donc le premier terme compris sous le dernier signe S est au moins égal à | •
On a donc enfin
où n est une quantité supérieure & Tunité, tandis que e est compris entre — let + 1.
On trouve de même
où y\\ est, comme t}, une quantité positive, supérieure à Tunité, t% une quantité comprise entre — 1 et -|- 1.
Prenons a et ^ tels que ab surpasse 1 + 1 ^ ; alors on a
