TT

par suite, les rapports

^ — a?o a?" — fl?o

ont des signes contraires et, en valeur absolue, deviennent l'un et l'autre aussi grands qu'on le veut, pour m croissant indéflniment.

Il résulte immédiatement de là que fx n'a, pour x = Xo, ûi une dérivée finie, ni une dérivée infinie positive, ni une dérivée infinie négative. »

aïO. Réponse à une objection. Une étude de M. Wiener sur la fonction/i {Journal de Crelle, 1881, t XC, p. 221-252 : Geometrische und analyêische Unlertuchung der Weier$lrasscken Funetion) ayant causé certains malentendus relatifs à la conclusion précédente, M. Weierstrass a ajouté à sa note primitive, les explications suivantes € qui assurément dit-il, sont superfiues pour la plupart des lecteurs. >

€ Pour qu'une fonction continue Fa? d'une variable réelle x ait une dérivée finie, pour x = a?o, il n'est pas suffisant, mais il est nécessaire que toutes les valeurs du rapport [{Fa? — Fa?o) : {x — a?o)], soient comprises entre deux limites finies, une fois que l'on a fixé une limite que x — Xo ne peut dépasser. La fonction fx du n" précédent ne satisfait jamais à cette condition de quelque manière que l'on choisisse Xo.

Pour que Fa? ait, pour x = Xo, une dérivée infinie positive (ou native), il faut que, pour x — a?o suffisamment petit en valeur absolue, inférieur à g, par exemple, le rapport R == [(Fa? — Fa?o) î (a? — a?o)] soit

supérieur à une quantité positive G (ou inférieur à une quantité négative — G), G étant aussi grand qu'on le veut; ce rapport R, pour a — â?o inférieur à g, en valeur absolue, ne peut plus varier qu'entre G et -{- 00 (ou entre — G et — oo ). Une condition nécessaire de Texistence d'une dérivée de Fx infinie positive (ou négative) pour x = Xo^ c'est donc que le rapport R conserve toujours le' même signe, pour les valeurs de x suffisamment voisines de Xo* La fonction fx, comme on l'a vu, ne vérifie pas cette condition. Cette fonction n'a donc de dérivée déterminée, ni finie, ni infinie, pour aucune valeur de x.

Les objections de M. Wiener reposent sur un malentendu qu'il est facile de dissiper. Pour certaines valeurs de Xq^ on peut parfaitement déterminer une série indéfinie de valeurs â?i, â?9, Xt, ..., telles que lim Xn = Xot pour n == x , et en même temps telles que le rapport [{fXm — fxo) : (Xn—Xo)] ait une limite déterminée. Mais il n'est pas permis de conclure de là que fx a une dérivée pour cette valeur x = Xo] car, en raisonnant de même, on pourrait soutenir que, par exemple, Fx=^ x sin (a? -|- x"^) a une dérivée nulle pour a? = 0, parce que, si l'on fait xV =n7r, lim Xn=0 et lim (Fâ?» : a?»)=0, pour «=» , » [ce qui est absurde. En effet, en faisant tendre x d'une manière quelconque vers zéro, (Fx : x) = sin (x -f- âr*) n'a évidemment aucune limite déterminée].