CHAPITRE IV. Méthode infinitésimale
I. Déflnlttons. 45. Infiniment petit. Un infiniment petit est une quantité variable qui a pour limite 0; ou qui devient et reste aussi petite qu*on le veut sans jamais devenir nulle. Ex. : Si x a pour limite 0, il en est de même de sin x, tang x, 1 — cos x, tang x — sin x, sin Arx, lang Ax', 1 (1 -H x), 1 (1 + lcx)y a' — 1, et ces quantités variables sont des infiniment petits (56, 57, 42, 45).
46. Remarques. I. La notion d'infiniment petit ne présente rien de plus mystérieux ou de plus incompréhensible que celle de limite. Le nom seul prête à l'erreur et aurait dû êirc indéfiniment petit, U. La différence X — lim X entre une variable X et sa limite est un infiniment petit. Les idées de limite et d'infiniment petit sont donc équivalentes.
47. Ordre d'un infiniment petit. Si lim (|3:a'*) = R, a, |3 étant infinement petits, K fini, j3 est dit infiniment petit d'ordre n, par rapport à Vinfiniment petit principal a, Ex. : sin a, 1 (1 + a), a^ — 1 sont infiniment petits du J*** ordre par rapport à a; 1 —cos a du 2*; tang a — sin a du 5*; 1(1 + a') d^ordre s. Pour Cauchy, /3 est un
infiniment petit d*ordre n par rapport k a^ si lim (|3 : a**), pour r < n, est nulle, pour r'^fiy infinie. Cette définition contient la précédente.
4S. Formule générale dun infiniment petit iordre ii. De lim(|3 : a'*)=K , on déduit (|3 : a") = K + e, /3 s= a" (K + e), e étant infiniment petit; et réciproquement. Donc a* (K + e) est la formule cherchée.
49. Ordre d*une somme arithmétique, éPun produit^ d^un quotient, etc. , d'infiniment petits. I. La somme a» [K-4-e-Ha«' (K'-f-€')^a"" (K"+£")] d'un nombre fini d'infiniment petits de même signe a"(K+e), a"+"'(K'4-e'), a"+*"(K" H- e"), d'ordre n, n + n', n -4- n" est égal à Tordre n du moins élevé d'entre eux. II. Ordre d'un produit, d'une puissance positive, entière ou fractionnaire. III. Le quotient a"~"[(K : K')-«-6''] de deux infiniment petits a"* (K + e), a" (K' + e') d'ordre m, it, m > n^ est égal k la différence de l'ordre du dividende et du diviseur. IV. Sin /S, arcsin |3, l(i h- P), a^ — 1 , sont des infiniments petits de même ordre que p, par rapport à un infiniment petit principal a (36, 43, 43).
50. Rbmabqubs. I. Dans l'avant-^lernier cas, si m^sn, le quotient a pour limite K : K', et cette constante, comme toute quantité finie, peut être dite d'ordre 0; on dit quelquefois que le quotient est infiniment grand d'ordre n — m^ si n > m. IL Pour une différence d'infiniment petits de même signe, il n'existe pas de théorème général anal(^uc à 49, 1. Ainsi, la différence tang a, — sin oc, d'infininient petits du i"' ordre tang a, sin (X, est du 3* (37).
II. Principe fondamcnial. 51. I** partie. Soient a, a\ /3, ^' des
infiniments petits tels que lim(j( : a')=K, lim(|3 : a)*=i, lim(^' : a')s=4,'
. et, par suite (33, C), lim (a' : |3') = i. On aura '
liro(P : P0=ï>m((3 : «)(« : «')(«' : |S')==lim(|3: a)lim(a : a01im(a' : (3')=K.
69. IP partie. Soient ai, ai, ..., a«, j3i, ^s, ..., |3» des quantités de m^me signe, infiniment petites en même temps que (i : n), et telles que lim (Pr •' «r) = ^ 9 Itni Sor = K. La fraction (S|3r : Sar) est comprise entre la plus grande et la plus petite des fractions (|3r : a\) et a l'unité pour limite, comme ces fractions. Donc, lim SjSr = K.
6S. Énoncés. De lim ((3r : a,) ss i, on déduit (|3r : a^) = 1 -t- Cr, |3r =: Or + ar^r» /3r — «r = oLrtry ^ ctaut infiniment petit; (cv^,. : a^)» (ftr^ : ^r) ont pour limite 0. Par suite, Or et ^^ diffèrent d'une quantité infiniment petite par rapport à eux-mêmes. Donc da/i^ une limite de somme (arithmétique) ou de rapport d'infiniment petits^ on peut rem"
pheer chaque infiniment petit par un autre dont le rapport au premier a pour limite Vuniii; ou par un autre qui en diffère d'un infiniment petit d'ordre supérieur; ou, plus brièvement, qui en diffère infiniment peu.
64. AUTBB OÉMOlfâTIUTlOlf OB LA 11* PARTIB. CoBOLUIRB. Qn a S|3r = Sa,,
-^ Sor^. Soient e», ea le plus petit et le plus grand des e. On aura (en supposant les a positifs) :
ai6«^ aiti^ aieMy «,£«< aïcf< ottSUf de. ; c«Sa,< S«,^< SiSor.
Les deux sommes eitréraes ont pour limite 0; done (â4) lim SxrSr = 0, et lim S|3r s= lim Sa,* Le relation lim Sa^Cr » 0, démontrée ici directement, est très-lmppptante> Quand on prouve d*abord que lim S|3r ^s lim Sor» comme au n* 5S, on en conclut, comme corollaire, lim SarSr = 0, au moyen de la relation S^ = Sor -^ Sorer*
élk. Rbhabqubs, L Quand Sor est la somme algébrique d'infiniment pelils, les uns a^ tous positifs, les autres «Xi tous négatifs, le théorème subsiste encore si lim Sa« &== K', lim Sai = K", K', K'' étant finis, et même si lim $««=» œ, lim Sai s= — »% quand lim Sa, => K, lim Sctfer = 0.
II. On énonce quelquefois le principe sous la forme suivante : on peut négliger un infiniment petit devant un autre d*ordre inférieur. Cela est vrai dane les limites de somme ou de rapport : au lieu de lim (fi : /3')y ou lim [{a -4- os) : (a' -*- aV)], on peut écrire lim (a : a'), en négligeant ae, aV devant a, a'; au lieu de lim S/B, ou lim S(ctr -^ ^i^r)» on peut écrire lim Sor en négligeant Ott, devant a,. Mais on ne peut négliger ainsi des infiniment petits^ avec sécurité, dans d'autres cas que les deux précédents. On ne peut pas écrire, p. ex., pour a «= 0^
|/a-*-a*— |/a |/a— j/a tga— sina «— « vn
lini ^ — -!- — = lim 5r- = 0, lim ^ r := Iim — -- ^0.
aj/i ajA ^ * >
en négligeant a* devant a, (tang a, — a) devant tang a, (sin a ~ a^ devant sio a.
M. MUhode infinitésimale. BUe consiste à ramener les questions d'analyse & la recherche de limites de somme ou de rapports d'infiniment pelils; on utilise souvent le principe fondamental, dans cette recherche.
m. âppllefttten. S7. Aire des sections coniques, limite unique de Taire de tous les polygones inscrits ou circonscrits i ces courbes (comp. n"» S9, 44, 106-108).
SS. Tangente aux êeetions conique»^ définies par les relations pi 4- pt sa constante, pi — p» =a constaiite, p — rf; p, pi, pi rayons vecteurs parlant d*un foyer et aboutissant à un point de la courbe; d distance de ce point à la directrice, pour la parabole.
